七年级数学下思维探究有理数的运算有答案.docx

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七年级数学下思维探究有理数的运算有答案

七年级数学下思维探究-有理数的运算（有答案）

杨辉，中国南宋时期杰出的数学家，大约于世纪中叶至末叶生活在钱塘（今杭州）一带．他一生著作很多，著名的数学书共种卷．大家熟悉的“杨辉三角”数表就在他年所著的《详解九算术》一书里记载着，他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的“纵横图”及有关的构造方法．

3．有理数的运算

有理数及其运算是整个数与代数的基础，有关式的所有运算都是建立在数的运算基础上．深刻理解有理数相关概念，掌握一定的有理数运算技能是数与代数学习的基础．

有理数的运算不同于算术数的运算：

这是因为有理数的运算每一步要确定符号，有理数的运算很多是字母运算，也就是常说的符号演算．

运算能力是运算技能与推理能力的结合．这就要求我们既能正确地算出结果，又善于观察问题的结构特点，选择合理的运算路径，提高运算的速度．有理数运算常用的技巧与方法有：

利用运算律；以符代数；恰当分组；裂项相消；分解相约；错位相减等．

问题解决

例1

（1）已知，记，，…，，则通过计算推测的表达式________．（用含的代数式表示）

（2）若、是互为相反数，、是互为倒数，的绝对值等于，则的值是____．

试一试对于

（2），运用相关概念的特征解题．

例2已知整数、、、满足，且，那么等于（）．

A．B．．D．

试一试解题的关键是把表示成个不同整数的积的形式．

例3计算

（1）；

（2）；

（3）．

试一试对于

（1），设原式，将各括号反序相加；对于

（2），若计算每个分母值，则易掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形入手；对于（3），视除数为一整体，从寻找被除数与除数的关系入手，

例4在数学活动中，小明为了求的值（结果用表示），设计了如图所示的几何图形．

（1）请你用这个几何图形求的值；

（2）请你用图②，再设计一个能求的值的几何图形．

试一试求原式的值有不同的解题方法，而剖分图形面积是构造图形的关键．

例在，，…，前面任意添上正号和负号，求其非负和的最小值．

分析与解首先确定非负代数和的最小值的下限，然后通过构造法证明这个下限可以达到即可．整数的和差仍是整数，而最小的非负整数是．代数和的最小值能是吗？

能是吗？

由于任意添“+”号或”-”号，形式多样，因此，不可能一一尝试再作解答，从奇数、偶数的性质入手．

因与的奇偶性相同，故所求代数和的奇偶性与的奇偶性相同，即为奇数．因此，所求非负代数和不会小于．

又，

所求非负代数和的最小值为．

类比

类比是一种推理方法，根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．

触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法．

例6观察下面的计算过程

．

问：

（1）从上面的解题方法中，你发现了什么？

用字母表示这一规律．

（2）“学问”，既要学会解答，又要学会发问．爱因斯坦曾说：

。

提出问题比解决问题更重要”．

请用类比的方法尽可能多地提出类似的问题．

分析与解

（1）．

（2）从连续自然数到连续偶数，从个到个，从分数到整数，类比可提出下列计算问题：

①；

②；

③；

④．

数学冲浪

知识技能广场

1．如图，每一个小方格的面积为，则可根据面积计算得到如下算式：

________．（用表示，是正整数）．2．某数学活动小组的位同学站成一列做报数游戏，规则是：

从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加，第位同学报，第位同学报，第位同学报，这样得到的个数的积为_________．

3．计算：

（1）_________．

（2）_______．

4．“数学王子”高斯从小就善于观察和思考，在他读小学时就能在堂上快速地计算出，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：

①

②

①+②有，．

请类比以上做法，回答下列问题：

若为正整数，，则_______．

．设，在代数式，，，，，，中负数的个数是（）

A．B．．D．

6．我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：

克以内元，每增加克（不足克按克计）元．某人从成都邮寄一本书到上海，书的质量为克，则他应付邮资（）元．

A．B．．D．

7．为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照上面推理计算出的值是（）．

A．B．．D．

8．下面是按一定规律排列的一列数：

第个数：

；

第个数：

；

第个数：

；

……

第个数：

．

那么，在第个数、第个数、第个数、第个数中，最大的数是（）

A．第个数B．第个数．第个数D．第个数

9．观察图形，解答问题：

（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：

图①图②图③

三个角上

三个数的积

三个角上

三个数的和

积与和的商

（2）请用你发现的规律求出图④中的数和图⑤中的数．

10．观察下列等式：

第个等式：

；

第个等式：

；

第个等式：

；

第个等式：

；

……

请解答下列问题：

（1）按以上规律列出第个等式：

_______=_______；

（2）用含的代数式表示第个等式：

_______=________（为正整数）；

（3）求的值．

思维方法天地

11．计算：

（1）______．

（2）_______．

（3）_________．

12．设三个互不相等的有理数，既可分别表示为，，的形式，又可分别表示为，，的形式，则_______．

13．已知，则________．

14．已知、、满足且，则代数式的值是______．

1．的值是（）

A．B．．D．

16．如果个不同的正整数、、、满足，那么等于（）

A．B．．D．E．

17．如果，那么的值为（）

A．B．．D．不确定

18．观察下列各式：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

……

请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是（）

A．B．

．D．

19．观察下面的等式：

，；

，；

，；

，．

（1）小明归纳上面各式得出一个猜想：

“两个有理数的积等于这两个有理数的和”，小明的猜想正确吗？

为什么？

（2）请你观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想．

20．同学们，我们曾经研究过的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为．但为时，应如何计算正方形的具体个数呢？

下面我们就一起研究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道

时，我们可以这样做：

（1）观察并猜想：

，

，；

……

（2）归纳结论：

=（________）+（___________）

=________+_________

；

（3）实践应用：

通过以上探究过程，我们就可以算出当为时，正方形网格中正方形的总个数是________．

应用探究乐园

21．我国著名数学家华罗庚曾说过：

“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．

例如，求的值，其中是正整数．

对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对的奇偶性进行讨论．

如果采用数形结合的方法，即用图形的性质说明数量关系的事实，那就非常的直观，现利用图形的性质求的值，方案如下：

如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为，，，…，个小圆圈排列组成的，而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有行，每行有个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为，即．

（1）仿照上述数形结合的思想方法；设计相关图形，求的值，其中是正整数．（要求：

画出图形，并利用图形作必要的推理说明）

（2）试设计另外一种图形，求的值，其中是正整数．（要求：

画出图形，并利用图形作必要的推理说明）

22．在“”的小方格中填上“+”、“-”号，如果可以使其代数和为，就称数是“可被表出的数”（如是可被表出的数，这是因为是的一种可被表出的方法）．

（1）求证：

是可被表出的数，而是不可被表出的数；

（2）求可被表出的不同方法的种数．

̳

3．有理数的运算

问题解决

例1

（1）

（2）

例2D，，，，．

例3

（1）设原式，又，两式相加得，所以；

（2）；

（3）原式，其中．

例4

（1）原式；

（2）略．

数学冲浪

1．2．3．

（1）；

（2）

4．由，得

．B6．A7．D

8．A提示：

第个数为，把第、、、个数分别求出．

9．

（1）略

（2）图④：

，，；

图⑤：

，解得．

10．

（1）；

（2）；（3）原式

11．

（1）；

（2）；（3）

12．这两个三数组在适当的顺序下对应相等，于是可以断定，与中有一个为，与中有一个为，可推得，．

13．14．1．B16．E

17．A18．

19．

（1）小明的猜想显然是不正确的，易举出反例，如．

（2）将第一组等式变形为，，得出如下猜想：

“若是正整数，则”．

证明：

左边右边．

20．

（1）；；；

（2）；；

；；；

（3）．

21．原式，构造平行四边形或正方形．

22．

（1），无论怎样填“”、“”号，代数好一定是奇数，又，故是可被表出的数，而是不可被表出的数．

（2）设填“”号的数字和为，填“”号的数字和为，则，又，解得，，因，，故填“”号的数字至少有个至多有个，由此知填“”号的数之和为，只要计算出从到中选出若干个其和为的数字的不同方法，就得到可表出的不同方法，经讨论知有种．