届江苏省南通市泰州市高三年级第一次调研测试数学试题理.docx

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届江苏省南通市泰州市高三年级第一次调研测试数学试题理

2018届江苏省南通市、泰州市高三年级第一次调研测试

数学试题（理）

数学Ⅰ

一、填空题：

本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

1.已知集合，.若,则实数的值为．

2.已知复数，其中为虚数单位，则复数的实部为．

3.已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400,400,500.为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年纪抽取名学生．

4.根据如下图所示的伪代码，可知输出的结果为．

5.某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中的概率为．

6.若实数，满足则的最大值为．

7.在平面直角坐标系中，已知点为抛物线的焦点，则点到双曲线的渐进性的距离为．

8.在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值为．

9.在平面直角坐标系中，将函数的图象向右平移个单位长度，若平移后得到的图象经过坐标原点，则的值为．

10.若曲线在与处的切线互相垂直，则正数的值为．

11.如下图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成.已知正六棱柱的底面边长、高都为4cm，圆柱的底面积为.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为．（不计损耗）

12.如图，已知矩形的边长，.点，分别在边，上，且，则的最小值为．

13.在平面直角坐标系中，已知点，，从直线上一点向圆引两条切线，，切点分别为，.设线段的中点为，则线段长的最大值为．

14.已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围是．

第Ⅱ卷（共90分）

二、解答题：

本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在三棱锥中，，，是的中点，点在棱上，点是的中点.

求证：

（1）平面；

（2）平面平面.

16.在中，角，，所对的边分别是，，，且，.

（1）求的值；

（2）求的值.

17.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的离心率为，两条准线之间的距离为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知椭圆的左顶点为，点在圆上，直线与椭圆相交于另一点，且的面积是面积的2倍，求直线的方程.

18.如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是长边为的正方形，另一部分是以为直径的半圆，其圆心为.规划修建的3条直道，，将广场分割为6个区域：

I、III、V为绿化区域（图中阴影部分），II、IV、VI为休闲区域、其中点在半圆弧上，分别与，相交于点，.（道路宽度忽略不计）

（1）若经过圆心，求点到的距离；

（2）设，.

试用表示的长度；

当为何值时，绿化区域面积之和最大.

19.已知函数（）有极值，且函数的极值点是的极值点，其中是自然对数的底数.（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值）

（1）求关于的函数关系式；

（2）当时，若函数的最小值为，证明：

.

20.若数列同时满足：

对于任意的正整数，恒成立；对于给定的正整数，对于任意的正整数（）恒成立，则称数列是“数列”.

（1）已知判断数列是否为“数列”，并说明理由；

（2）已知数列是“数列”，且存在整数（），使得，，，成等差数列，证明：

是等差数列.

数学II（附加题）

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，饼子啊相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.[选修4-1：

几何证明选讲]

如图，已知的半径为2，的半径为1，两圆外切于点.点为上一点，与切于点.若，求的长.

B.[选修4-2：

矩阵与变换]

已知，向量是矩阵的属于特征值的一个特征向量，求与.

C.[选修4-4：

坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中，直线与曲线（为参数）相交于，两点，求线段的长.

D.[选修4-5：

不等式选讲]

已知，，求的最小值.

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20份.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22.如图，在四棱锥中，，，两两垂直，，且，.

（1）求二面角的余弦值；

（2）已知点为线段上异于的点，且，求的值.

23.

（1）用数学归纳法证明：

当时，

（，且，）；

（2）求的值.

试卷答案

一、填空题

1.12.3.254.10

5.6.57.8.

9.10.11.12.

13.14.

三、解答题

15.

（1）在中，是的中点，是的中点，

所有.

又因为平面，平面，

所有平面.

（2）在中，，是的中点，

所以，

又因为，平面，平面，，

所有平面.

又因为平面，

所有平面平面.

16.

（1）在中，根据余弦定理及，.

又因为，所有.

在中，由余弦定理得，

.

（2）因为，所有，及得，

又，所有

在中，，

所有

.

17.

（1）设椭圆的焦距为，由题意得，，，

解得，，所有，

所以椭圆的方程为.

（2）方法一：

因为，

所以，

所以点为的中点，

因为椭圆的方程为，

所有.

设，则.

所有，，

由得，

解得，（舍去）.

把代入，得，

所有，

因此，直线的方程为即，.

方法二：

因为，所以，所以点为的中点，

设直线的方程为.

由得，

所有，解得.

所有，，

代入得，

化简得，

即，解得，

所以，直线的方程为即，.

18.以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系.

（1）直线的方程为，

半圆的方程为（）,

由得.

所有，点到的距离为.

（2）由题意，得.

直线的方程为，

令，得.

直线的方程为，

令，得.

所有，的长度为

，.

区域IV、VI的面积之和为

，

区域II的面积为

，

所以（）.

设，则，

，

当且仅当，即时“=”成立.

所有，休闲区域II、IV、VI的面积的最小值为.

答：

当时，绿化区域I、III、V的面积之和最大.

19.

（1）因为，令，解得.

列表如下.

-

0

+

↓

极小值

↑

所以时，取得极小值.

因为，

由题意可知，且

所以，

化简得.

由，得.

所以，.

（2）因为，

所以

记，则，令，解得，

列表如下.

-

0

+

↓

极小值

↑

所有时，取得极小值，也是最小值，

此时，

.

令，解得.

列表如下.

-

0

+

↓

极小值

↑

所以时，取得极小值，也是最小值.

所以

.

令，则，

记，，

则，.

因为，，

所以，所有单调递增.

所以，

所以.

20.

（1）当为奇数时，，所以.

.

当为偶数时，，所以.

.

所以，数列是“数列”.

（2）由题意可得：

，

则数列，，,…是等差数列，设其公差为，

数列，，,…是等差数列，设其公差为，

数列，，,…是等差数列，设其公差为.

因为，所以，

所以，

所以①，②.

若，则时，①不成立；

若，则时，②不成立；

若，则①和②都成立，所以.

同理得：

，所以，记.

设，

则

.

同理可得：

，所以，

所以是等差数列.

【另解】，

，

，

以上三式相加可得：

，所以，

所以，

，

，

所以，所以，

所以，数列是等差数列.

21.

A．延长交与点，

连结，，，则过点，

由切割线定理得：

.

因为，

与均为等腰三角形，

所以，所以，

所以，即.

因为，所以.

B．由已知得，

所以所以.

设，

则即.

所以，，.

所以，.

C．曲线的普通方程为.

联立解得或

所以，，

所以.

D．因为，，

所以，.

两式相加：

，

所以.

当且仅当且时“=”成立.

即时，取得最小值8.

22.以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系.

则，，，，

（1）由题意可知，，.

设平面的法向量为，

则即令，

则，.

所以.

平面的法向量为，

所以，

由题意可知，，，

设，

则，

因为，所以，

化简得，所以或.

又因为点异于点，所以.

23.

（1）①当时，等式右边

等式左边，等式成立.

②假设当时等式成立，

即.

那么，当时，有

这就是说，当时等式也成立.

根据①和②可知，对任何等式都成立.

（2）由

（2）可知，，

同时求导，得

，

所以

，

所以.