这说明,在子弹射入木块过程中,木块的位移很小,可以忽略不计。
这就为分阶段处理问题提供了依据。
象这种运动物体与静止物体相互作用,动量守恒,最后共同运动的类型,全过程动能的损失量可用公式:
…④
当子弹速度很大时,可能射穿木块,这时末状态子弹和木块的速度大小不再相等,但穿透过程中系统动量仍然守恒,系统动能损失仍然是ΔEK=fd(这里的d为木块的厚度),但由于末状态子弹和木块速度不相等,所以不能再用④式计算ΔEK的大小。
3.反冲问题
在某些情况下,原来系统物体具有相同的速度,发生相互作用后各部分的末速度不再相同而分开。
这类问题相互作用过程中系统的动能增大,有其它能向动能转化。
可以把这类问题统称为反冲。
【例4】质量为m的人站在质量为M,长为L的静止小船的右端,小船的左端靠在岸边。
当他向左走到船的左端时,船左端离岸多远?
解析:
先画出示意图。
人、船系统动量守恒,总动量始终为零,所以人、船动量大小始终相等。
从图中可以看出,人、船的位移大小之和等于L。
设人、船位移大小分别为l1、l2,则:
mv1=Mv2,两边同乘时间t,ml1=Ml2,而l1+l2=L,
∴
点评:
应该注意到:
此结论与人在船上行走的速度大小无关。
不论是匀速行走还是变速行走,甚至往返行走,只要人最终到达船的左端,那么结论都是相同的。
以上列举的人、船模型的前提是系统初动量为零。
如果发生相互作用前系统就具有一定的动量,就不能再用m1v1=m2v2这种形式列方程,而要用(m1+m2)v0=m1v1+m2v2列式。
【例5】总质量为M的火箭模型从飞机上释放时的速度为v0,速度方向水平。
火箭向后以相对于地面的速率u喷出质量为m的燃气后,火箭本身的速度变为多大?
解析:
火箭喷出燃气前后系统动量守恒。
喷出燃气后火箭剩余质量变为M-m,以v0方向为正方向,
4.爆炸类问题
【例6】抛出的手雷在最高点时水平速度为10m/s,这时突然炸成两块,其中大块质量300g仍按原方向飞行,其速度测得为50m/s,另一小块质量为200g,求它的速度的大小和方向。
分析:
手雷在空中爆炸时所受合外力应是它受到的重力G=(m1+m2)g,可见系统的动量并不守恒。
但在爆炸瞬间,力远大于外力时,外力可以不计,系统动量近似守恒。
设手雷原飞行方向为正方向,则整体初速度
;m1=0.3kg的大块速度为
m/s、m2=0.2kg的小块速度为
,方向不清,暂设为正方向。
由动量守恒定律:
m/s
此结果表明,质量为200克的部分以50m/s的速度向反方向运动,其中负号表示与所设正方向相反
5.某一方向上的动量守恒
【例7】如图所示,AB为一光滑水平横杆,杆上套一质量为M的小圆环,环上系一长为L质量不计的细绳,绳的另一端拴一质量为m的小球,现将绳拉直,且与AB平行,由静止释放小球,则当线绳与AB成θ角时,圆环移动的距离是多少?
解析:
虽然小球、细绳及圆环在运动过程中合外力不为零(杆的支持力与两圆环及小球的重力之和不相等)系统动量不守恒,但是系统在水平方向不受外力,因而水平动量守恒。
设细绳与AB成θ角时小球的水平速度为v,圆环的水平速度为V,则由水平动量守恒有:
MV=mv
且在任意时刻或位置V与v均满足这一关系,加之时间相同,公式中的V和v可分别用其水平位移替代,则上式可写为:
Md=m[(L-Lcosθ)-d]
解得圆环移动的距离:
d=mL(1-cosθ)/(M+m)
6.物块与平板间的相对滑动
【例8】如图所示,一质量为M的平板车B放在光滑水平面上,在其右端放一质量为m的小木块A,m<M,A、B间动摩擦因数为μ,现给A和B以大小相等、方向相反的初速度v0,使A开始向左运动,B开始向右运动,最后A不会滑离B,求:
(1)A、B最后的速度大小和方向;
(2)从地面上看,小木块向左运动到离出发点最远处时,平板车向右运动位移大小。
解析:
(1)由A、B系统动量守恒定律得:
Mv0-mv0=(M+m)v①
所以v=
v0方向向右
(2)A向左运动速度减为零时,到达最远处,此时板车移动位移为s,速度为v′,则由动量守恒定律得:
Mv0-mv0=Mv′①
对板车应用动能定理得:
-μmgs=
mv′2-
mv02②
联立①②解得:
s=
v02
【例9】两块厚度相同的木块A和B,紧靠着放在光滑的水平面上,其质量分别为
,
,它们的下底面光滑,上表面粗糙;另有一质量
的滑块C(可视为质点),以
的速度恰好水平地滑到A的上表面,如图所示,由于摩擦,滑块最后停在木块B上,B和C的共同速度为3.0m/s,求:
(1)木块A的最终速度
;
(2)滑块C离开A时的速度
。
解析:
这是一个由A、B、C三个物体组成的系统,以这系统为研究对象,当C在A、B上滑动时,A、B、C三个物体间存在相互作用,但在水平方向不存在其他外力作用,因此系统的动量守恒。
(1)当C滑上A后,由于有摩擦力作用,将带动A和B一起运动,直至C滑上B后,A、B两木块分离,分离时木块A的速度为
。
最后C相对静止在B上,与B以共同速度
运动,由动量守恒定律有
∴
=
(2)为计算
,我们以B、C为系统,C滑上B后与A分离,C、B系统水平方向动量守恒。
C离开A时的速度为
,B与A的速度同为
,由动量守恒定律有
∴
三、针对训练
练习1
1.质量为M的小车在水平地面上以速度v0匀速向右运动。
当车中的砂子从底部的漏斗中不断流下时,车子速度将(B)
A.减小B.不变C.增大D.无法确定
2.如图所示,放在光滑水平桌面上的A、B木块中部夹一被压缩的弹簧,当弹簧被放开时,它们各自在桌面上滑行一段距离后,飞离桌面落在地上。
A的落地点与桌边水平距离0.5m,B的落地点距离桌边1m,那么(A、B、D)
A.A、B离开弹簧时的速度比为1∶2
B.A、B质量比为2∶1
C.未离开弹簧时,A、B所受冲量比为1∶2
D.未离开弹簧时,A、B加速度之比1∶2
3.如图所示,在沙堆表面放置一长方形木块A,其上面再放一个质量为m=0.10kg的爆竹B,木块的质量为M=6.0kg。
当爆竹爆炸时,因反冲作用使木块陷入沙中深度h=50cm,而木块所受的平均阻力为f=80N。
若爆竹的火药质量以及空气阻力可忽略不计,g取
,求爆竹能上升的最大高度。
解:
爆竹爆炸瞬间,木块获得的瞬时速度v可由牛顿第二定律和运动学公式求得
,
,
爆竹爆炸过程中,爆竹木块系统动量守恒
练习2
1.质量相同的两个小球在光滑水平面上沿连心线同向运动,球1的动量为7kg·m/s,球2的动量为5kg·m/s,当球1追上球2时发生碰撞,则碰撞后两球动量变化的可能值是A
A.Δp1=-1kg·m/s,Δp2=1kg·m/s
B.Δp1=-1kg·m/s,Δp2=4kg·m/s
C.Δp1=-9kg·m/s,Δp2=9kg·m/s
D.Δp1=-12kg·m/s,Δp2=10kg·m/s
2.小车AB静置于光滑的水平面上,A端固定一个轻质弹簧,B端粘有橡皮泥,AB车质量为M,长为L,质量为m的木块C放在小车上,用细绳连结于小车的A端并使弹簧压缩,开始时AB与C都处于静止状态,如图所示,当突然烧断细绳,弹簧被释放,使物体C离开弹簧向B端冲去,并跟B端橡皮泥粘在一起,以下说法中正确的是BCD
A.如果AB车表面光滑,整个系统任何时刻机械能都守恒
B.整个系统任何时刻动量都守恒
C.当木块对地运动速度为v时,小车对地运动速度为
v
D.AB车向左运动最大位移小于
L
4.质量为M的小车静止在光滑的水平面上,质量为m的小球用细绳吊在小车上O点,将小球拉至水平位置A点静止开始释放(如图所示),求小球落至最低点时速度多大?
(相对地的速度)(
)
6.如图所示甲、乙两人做抛球游戏,甲站在一辆平板车上,车与水平地面间摩擦不计.甲与车的总质量M=100kg,另有一质量m=2kg的球.乙站在车的对面的地上,身旁有若干质量不等的球.开始车静止,甲将球以速度v(相对地面)水平抛给乙,乙接到抛来的球后,马上将另一质量为m′=2m的球以相同速率v水平抛回给甲,甲接住后,再以相同速率v将此球水平抛给乙,这样往复进行.乙每次抛回给甲的球的质量都等于他接到的球的质量为2倍,求:
(1)甲第二次抛出球后,车的速度大小.
(2)从第一次算起,甲抛出多少个球后,再不能接到乙抛回来的球.(
(1)
v,向左
(2)5个)
练习3
1.在光滑水平面上,两球沿球心连线以相等速率相向而行,并发生碰撞,下列现象可能的是()
A.若两球质量相同,碰后以某一相等速率互相分开
B.若两球质量相同,碰后以某一相等速率同向而行
C.若两球质量不同,碰后以某一相等速率互相分开
D.若两球质量不同,碰后以某一相等速率同向而行
2.如图所示,用细线挂一质量为M的木块,有一质量为m的子弹自左向右水平射穿此木块,穿透前后子弹的速度分别为
和v(设子弹穿过木块的时间和空气阻力不计),木块的速度大小为()
A.
B.
C.
D.
3.载人气球原静止于高h的空中,气球质量为M,人的质量为m。
若人要沿绳梯着地,则绳梯长至少是()
A.(m+M)h/MB.mh/MC.Mh/mD.h
4.质量为2kg的小车以2m/s的速度沿光滑的水平面向右运动,若将质量为2kg的砂袋以3m/s的速度迎面扔上小车,则砂袋与小车一起运动的速度的大小和方向是()
A.2.6m/s,向右B.2.6m/s,向左C.0.5m/s,向左D.0.8m/s,向右
5.车厢停在光滑的水平轨道上,车厢后面的人对前壁发射一颗子弹。
设子弹质量为m,出口速度v,车厢和人的质量为M,则子弹陷入前车壁后,车厢的速度为()
A.mv/M,向前B.mv/M,向后
C.mv/(m+M),向前D.0
6.向空中发射一物体,不计空气阻力。
当此物体的速度恰好沿水平方向时,物体炸裂成a、b两块,若质量较大的a块的速度方向仍沿原来的方向,则()
A.b的速度方向一定与原速度方向相反
B.从炸裂到落地的这段时间里,a飞行的水平距离一定比b的大
C.a、b一定同时到达水平地面
D.在炸裂过程中,a、b受到的爆炸力的冲量大小一定相等
7.两质量均为M的冰船A、B静止在光滑冰面上,轴线在一条直线上,船头相对,质量为m的小球从A船跳入B船,又立刻跳回,A、B两船最后的速度之比是_________________。
参考答案1.A、D2.B3.A4.C5.D6.C、D7.
第三单元动量和能量
概述:
处理力学问题、常用的三种方法
一是牛顿定律;二是动量关系;三是能量关系。
若考查的物理量是瞬时对应关系,常用牛顿运动定律;若研究对象为一个系统,首先考虑的是两个守恒定律;若研究对象为一个物体,可优先考虑两个定理。
特别涉及时间问题时,优先考虑的是动量定理、而涉及位移及功的问题时,优先考虑的是动能定理。
两个定律和两个定理,只考查一个物理过程的始末两个状态,对中间过程不予以细究,这正是它们的方便之处,特别是变力问题,就显示出其优越性。
例题分析:
例1.如图所示,质量分别为m和2m的A、B两个木块间用轻弹簧相连,放在光滑水平面上,A靠紧竖直墙。
用水平力F将B向左压,使弹簧被压缩一定长度,静止后弹簧储存的弹性势能为E。
这时突然撤去F,关于A、B和弹簧组成的系统,下列说法中正确的是(BD)
A.撤去F后,系统动量守恒,机械能守恒
B.撤去F后,A离开竖直墙前,系统动量不守恒,机械能守恒
C.撤去F后,A离开竖直墙后,弹簧的弹性势能最大值为E
D.撤去F后,A离开竖直墙后,弹簧的弹性势能最大值为E/3
[A离开墙前墙对A有弹力,这个弹力虽然不做功,但对A有冲量,因此系统机械能守恒而动量不守恒;A离开墙后则系统动量守恒、机械能守恒。
A刚离开墙时刻,B的动能为E,动量为p=
向右;以后动量守恒,因此系统动能不可能为零,当A、B速度相等时,系统总动能最小,这时的弹性势能为E/3。
]
指出:
应用守恒定律要注意条件。
对整个宇宙而言,能量守恒和动量守恒是无条件的。
但对于我们选定的研究对象所组成的系统,守恒定律就有一定的条件了。
如系统机械能守恒的条件就是“只有重力做功”;而系统动量守恒的条件就是“合外力为零”。
例2.长为L宽为d质量为m总电阻为R的矩形导线框上下两边保持水平,在竖直平面自由落下而穿越一个磁感应强度为B宽度也是d的匀强磁场区。
已知线框下边刚进入磁场就恰好开始做匀速运动。
则整个线框穿越该磁场的全过程中线框中产生的电热是___________。
[若直接从电功率计算,就需要根据
求匀速运动的速度v、再求电动势E、电功率P、时间t,最后才能得到电热Q。
如果从能量守恒考虑,该过程的能量转化途径是重力势能EP→电能E→电热Q,因此直接得出Q=2mgd]
例3如图所示,质量为1.0kg的物体m1,以5m/s的速度在水平桌面上AB部分的左侧向右运动,桌面AB部分与m1间的动摩擦因数μ=0.2,AB间的距离s=2.25m,桌面其他部分光滑。
m1滑到桌边处与质量为2.5kg的静止物体m2发生正碰,碰撞后m2在坚直方向上落下0.6m时速度大小为4m/s,若g取10m/s2,问m1碰撞后静止在什么位置?
解析:
m1向右运动经过AB段作匀减速运动,由动能定律可以求出离开B点继续向右运动的速度为4米/秒;和m2发生碰撞后,m2作平抛运动,由平抛运动知识可以求出m2做平抛运动的初速度(碰撞之后)为2米/秒。
利用动量守恒定律可以求出碰撞之后瞬间m1的速度为1米/秒。
由动能定律可以求出返回经过AB段,离B点0.25米处停止。
例4翰林汇翰林汇222例子例如图所示,球A无初速地沿光滑圆弧滑下至最低点C后,又沿水平轨道前进至D与质量、大小完全相同的球B发生动能没有损失的碰撞。
B球用长L的细线悬于O点,恰与水平地面切于D点。
A球与水平地面间摩擦系数=0.1,已知球A初始高度h=2米,CD=1米。
问:
(1)若悬线L=2米,A与B能碰几次?
最后A球停在何处?
(2)若球B能绕悬点O在竖直平面旋转,L满足什么条件时,A、B将只能碰两次?
A球最终停于何处?
(1)20次A球停在C处
(2)L0.76米,A球停于离D9.5米处
例5如图所示,小木块的质量m=0.4kg,以速度υ=20m/s,水平地滑上一个静止的平板小车,小车的质量M=1.6kg,小木块与小车间的动摩擦因数μ=0.2.(不计车与路面的摩擦)求:
(1)小车的加速度;
(2)小车上的木块相对于小车静止时,小车的速度;
(3)这个过程所经历的时间.
[
(1)0.5m/s2;
(2)4m/s;(3)8s]
第二问:
对m、M系统研究,利用动量守恒定律很快求出木块相对小车静止时,小车的速度。
也可以利用动能定理分别研究m和M,但相对而言要麻烦得多。
表明合理选择物理规律求解,可以提高解题速度和准确程度
例6如图所示,在光滑水平地面上有一辆质量为M的小车,车上装有一个半径为R的光滑圆环.一个质量为m的小滑块从跟车面等高的平台上以速度V0滑入圆环.试问:
小滑块的初速度V0满足什么条件才能使它运动到环顶时恰好对环顶无压力?
解析:
滑块至圆环的最高点且恰好对环顶无压力,应有
式中V是滑块相对圆心O的线速度,方向向左。
设小车此时速度u,并以该速度方向为正方向,则滑块的对地速度为
对滑块和小车组成的系统,由于水平方向所受合外力为零,由动量守恒有
由滑块和小车系统的机械能守恒有
三式联立求解得:
指出:
公式
是相对圆心的线速度,而本题中的圆心是以u向右移动的,所以滑快对地速度为V—u。
而动量守恒定律、机械能守恒定律表达式中的速度均应为对地的。
例7、如图所示,小车A质量为
置于光滑水平面上。
初速度为
,带电量q=0.2C的可视为质点的物体B,质量为
轻放在小车的右端,它们的周转围存在匀强磁场,方向垂直纸面向里,磁场强度为B=0.5T,物体B与小车之间有摩擦力,小车足够长.求
(1)物体B的最大速度.
(2)小车A的最小速度.(3)在此过程中转变成多少能
[解析:
小车受到摩擦力作减速运动,物体B受到摩擦力作用而加速运动,其受到的磁场力方向向上,把A和B作为一个系统,在竖直方向上合外力为零,水平方向不受外力作用,系统总动量守恒.当物体B受到的磁场力和所受重力平衡时,其速度最大,此时小车A的速度最小,在这个过程中系统损失的动能转变成能.
(1)
(2)根据动量守恒定律有:
(3)
例8静止在太空中的飞行器上有一种装置,它利用电场加速带电粒子,形成向外发射的粒子流,从而对飞行器产生反冲力,使其获得加速度.已知飞行器的质量为M,发射的2价氧离子,发射功率为P,加速电压为U,每个氧离子的质量为m,单位电荷的电量为e,不计发射离子后飞行器质量的变化,求:
(1)射出的氧离子速度;
(2)每秒钟射出的氧离子数;(3)射出离子后飞行器开始运动的加速度。
[解析:
(1)以氧离子为研究对象,根据动能定理,有:
所以氧离子速度为
(2)设每秒钟射出的氧离子数为N,则发射功率可表示为:
所以氧离子数为N=P/2eU(3)以氧离子和飞行器为系统,设飞行器的反冲速度为V,根据动量守恒定律
所以,飞行器的加速度为
例9、质量为0.01kg的子弹以300m/s的水平速度射中一静止在光滑水平面上的木块,子弹进入木块6cm而相对于木块静止下来。
在这过程中,木块往前移动了0.2cm。
求:
(