专题06 函数的奇偶性周期性与对称性备战高考数学理一轮复习考点通.docx

专题06 函数的奇偶性周期性与对称性备战高考数学理一轮复习考点通.docx

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专题06函数的奇偶性周期性与对称性备战高考数学理一轮复习考点通

专题6函数的奇偶性、周期性与对称性

基础知识要夯实

1.函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）是偶函数

关于y轴对称

奇函数

如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）是奇函数

关于原点对称

2.函数的周期性

（1）周期函数：

对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么就称函数y＝f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期.

（2）最小正周期：

如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期.

3.函数的周期性

（1）如果一个奇函数f（x）在原点处有定义，即f（0）有意义，那么一定有f（0）＝0.

（2）如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（|x|）.

（3）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.

（4）函数周期性常用结论

对f（x）定义域内任一自变量的值x：

①若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a>0）.

②若f（x＋a）＝

，则T＝2a（a>0）.

③若f（x＋a）＝－

，则T＝2a（a>0）.

（5）对称性的三个常用结论

①若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称.

②若对于R上的任意x都有f（2a－x）＝f（x）或f（－x）＝f（2a＋x），则y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称.

③若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则函数y＝f（x）的图象关于点（b，0）中心对称.

基本技能要落实

1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）

（1）函数y＝x2在x∈（0，＋∞）时是偶函数.（　　）

（2）若函数f（x）为奇函数，则一定有f（0）＝0.（　　）

（3）若T是函数的一个周期，则nT（n∈Z，n≠0）也是函数的周期.（　　）

（4）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则函数y＝f（x）的图象关于点（b，0）中心对称.（　　）

【答案】

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）√

【解析】

（1）由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在（0，＋∞）上不具有奇偶性，

（1）错.

（2）由奇函数定义可知，若f（x）为奇函数，其在x＝0处有意义时才满足f（0）＝0，

（2）错.

（3）由周期函数的定义，（3）正确.

（4）由于y＝f（x＋b）的图象关于（0，0）对称，根据图象平移变换，知y＝f（x）的图象关于（b，0）对称，正确.

2.（必修1P35例5改编）下列函数中为偶函数的是（　　）

A.y＝x2sinxB.y＝x2cosx

C.y＝|lnx|D.y＝2－x

【答案】B

【解析】根据偶函数的定义知偶函数满足f（－x）＝f（x）且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为（0，＋∞），不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.

3.（2020·衡水模拟）下列函数既是偶函数又在区间（0，＋∞）上单调递增的是（　　）

A.y＝x3B.y＝x

C.y＝|x|D.y＝|tanx|

【答案】C

【解析】对于A，y＝x3为奇函数，不符合题意；

对于B，y＝x

是非奇非偶函数，不符合题意；

对于D，y＝|tanx|是偶函数，但在区间（0，＋∞）上不单调递增.

4.（2017·全国Ⅱ卷）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（－∞，0）时，f（x）＝2x3＋x2，则f

（2）＝________.

【答案】12

【解析】∵x∈（－∞，0）时，f（x）＝2x3＋x2，且f（x）在R上为奇函数，

∴f

（2）＝－f（－2）＝－[2×（－2）3＋（－2）2]＝12.

5.（2019·上海崇明二模）设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x＋1），则当x∈[1，2]时，f（x）＝________.

【答案】log2（3－x）

【解析】当x∈[1，2]时，x－2∈[－1，0]，2－x∈[0，1]，

又f（x）在R上是以2为周期的偶函数，

∴f（x）＝f（x－2）＝f（2－x）＝log2（2－x＋1）＝log2（3－x）.　

核心素养要做实

考点一　判断函数的奇偶性

【例1】判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝

＋

；

（2）f（x）＝

【解析】

（1）由

得x2＝3，解得x＝±

，

即函数f（x）的定义域为{－

，

}，

从而f（x）＝

＋

＝0.

因此f（－x）＝－f（x）且f（－x）＝f（x），

∴函数f（x）既是奇函数又是偶函数.

（2）显然函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称.

∵当x<0时，－x>0，

则f（－x）＝－（－x）2－x＝－x2－x＝－f（x）；

当x>0时，－x<0，

则f（－x）＝（－x）2－x＝x2－x＝－f（x）；

综上可知：

对于定义域内的任意x，总有f（－x）＝－f（x）成立，∴函数f（x）为奇函数.

【思维升华】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

（1）定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

（2）判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（f（x）＋f（－x）＝0（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数））是否成立.

【迁移应用】

（1）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（　　）

A.y＝x＋sin2xB.y＝x2－cosx

C.y＝2x＋

D.y＝x2＋sinx

【答案】D

【解析】对于A，定义域为R，f（－x）＝－x＋sin2（－x）＝－（x＋sin2x）＝－f（x），为奇函数；对于B，定义域为R，f（－x）＝（－x）2－cos（－x）＝x2－cosx＝f（x），为偶函数；对于C，定义域为R，f（－x）＝2－x＋

＝2x＋

＝f（x），为偶函数；对于D，y＝x2＋sinx既不是偶函数也不是奇函数.

考点二　函数的周期性及其应用

【例2】

（1）（一题多解）（2020·全国Ⅱ卷）已知f（x）是定义域为（－∞，＋∞）的奇函数，满足f（1－x）＝f（1＋x）.若f

（1）＝2，则f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝（　　）

A.－50B.0C.2D.50

（2）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f（x）＝x3－x，则函数y＝f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.

【答案】

（1）C　

（2）7

【解析】　

（1）法一　∵f（x）在R上是奇函数，且f（1－x）＝f（1＋x）.

∴f（x＋1）＝－f（x－1），即f（x＋2）＝－f（x）.

因此f（x＋4）＝f（x），则函数f（x）是周期为4的函数，

由于f（1－x）＝f（1＋x），f

（1）＝2，

故令x＝1，得f（0）＝f

（2）＝0

令x＝2，得f（3）＝f（－1）＝－f

（1）＝－2，

令x＝3，得f（4）＝f（－2）＝－f

（2）＝0，

故f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）＝2＋0－2＋0＝0，

所以f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝12×0＋f

（1）＋f

（2）＝2.

法二　取一个符合题意的函数f（x）＝2sin

，则结合该函数的图象易知数列{f（n）}（n∈N*）是以4为周期的周期数列.

故f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝12×[f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）]＋f

（1）＋f

（2）＝12×[2＋0＋（－2）＋0]＋2＋0＝2.

（2）因为当0≤x<2时，f（x）＝x3－x.又f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且f（0）＝0，

则f（6）＝f（4）＝f

（2）＝f（0）＝0.

又f

（1）＝0，∴f（3）＝f（5）＝f

（1）＝0，

故函数y＝f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个.

【思维升华】1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.

2.若f（x＋a）＝－f（x）（a是常数，且a≠0），则2a为函数f（x）的一个周期.第

（1）题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了解题过程.

【迁移应用】

（1）（2020·南充二模）设f（x）是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝x（1＋x），则f

＝（　　）

A.－

B.－

C.

D.

（2）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x＋4）＝f（x－2）.若当x∈[－3，0]时，f（x）＝6－x，则f（919）＝________.

【答案】

（1）A　

（2）6

【解析】　

（1）∵f（x）是周期为4的奇函数，

∴f

＝－f

＝－f

，

又0≤x≤1时，f（x）＝x（1＋x），

故f

＝－f

＝－

f

＝－

.

（2）∵f（x＋4）＝f（x－2），

∴f[（x＋2）＋4]＝f[（x＋2）－2]，即f（x＋6）＝f（x），

∴f（919）＝f（153×6＋1）＝f

（1），

又f（x）在R上是偶函数，

∴f

（1）＝f（－1）＝6－（－1）＝6，即f（919）＝6.

考点三　函数性质的综合运用　

多维探究

角度1　函数单调性与奇偶性

【例3－1】（2020·石家庄模拟）设f（x）是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，则f（x－1）≥f（3）的解集为（　　）

A.[－3，3]B.[－2，4]C.[－1，5]D.[0，6]

【答案】B

【解析】　因为f（x）是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，

所以有－2b＋3＋b＝0，解得b＝3，

由函数f（x）在[－6，0]上为增函数，得f（x）在（0，6]上为减函数.故f（x－1）≥f（3）⇒f（|x－1|）≥f（3）⇒|x－1|≤3，故－2≤x≤4.

【思维升华】1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.

2.本题充分利用偶函数的性质f（x）＝f（|x|），避免了不必要的讨论，简化了解题过程.

角度2　函数的奇偶性与周期性

【例3－2】

（1）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋5）＝f（x），且当x∈

时，f（x）＝x3－3x，则f（2018）＝（　　）

A.2B.－18C.18D.－2

（2）（2020·洛阳模拟）已知函数y＝f（x）满足y＝f（－x）和y＝f（x＋2）是偶函数，且f

（1）＝

，设F（x）＝f（x）＋f（－x），则F（3）＝（　　）

A.

B.

C.πD.

【答案】

（1）D　

（2）B

【解析】　

（1）∵f（x）满足f（x＋5）＝f（x），

∴f（x）是周期为5的函数，

∴f（2018）＝f（403×5＋3）＝f（3）＝f（5－2）＝f（－2），

∵f（x）是奇函数，且当x∈

时，f（x）＝x3－3x，

∴f（－2）＝－f

（2）＝－（23－3×2）＝－2，故f（2018）＝－2.

（2）由y＝f（－x）和y＝f（x＋2）是偶函数知f（－x）＝f（x），且f（x＋2）＝f（－x＋2），则f（x＋2）＝f（x－2）.

∴f（x＋4）＝f（x），则y＝f（x）的周期为4.

所以F（3）＝f（3）＋f（－3）＝2f（3）＝2f（－1）＝2f

（1）＝

.

答案　

（1）D　

（2）B

【思维升华】周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.

【迁移应用】

（1）（2020·重庆九校模拟）已知奇函数f（x）的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0，3]时，f（x）＝－x，则f（－16）＝________.

（2）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞）上是单调递增函数.如果实数t满足f（lnt）＋f

≤2f

（1），那么t的取值范围是________.

【答案】

（1）2　

（2）

【解析】

（1）根据题意，函数f（x）的图象关于直线x＝3对称，则有f（x）＝f（6－x），

又由函数为奇函数，则f（－x）＝－f（x），

则有f（x）＝－f（6－x）＝f（x－12），

则f（x）的最小正周期是12，

故f（－16）＝f（－4）＝－f（4）＝－f

（2）＝－（－2）＝2.

（2）由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，

所以f（lnt）＝f

，

由f（lnt）＋f

≤2f

（1），

得f（lnt）≤f

（1）.

又函数f（x）在区间[0，＋∞）上是单调递增函数，

所以|lnt|≤1，即－1≤lnt≤1，故

≤t≤e.

达标检测要扎实

1.下列函数中，既是偶函数，又在（0，1）上单调递增的函数是（　　）

A.y＝|log3x|B.y＝x3

C.y＝e|x|D.y＝cos|x|

【答案】C

【解析】对于A选项，函数定义域是（0，＋∞），故是非奇非偶函数，显然B项中，y＝x3是奇函数.

对于C选项，函数的定义域是R，是偶函数，且当x∈（0，＋∞）时，函数是增函数，故在（0，1）上单调递增，正确.

对于D选项，y＝cos|x|在（0，1）上单调递减.

2.（一题多解）（2019·河北“五个一”名校联盟二模）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）＝

，则g（－8）＝（　　）

A.－2B.－3C.2D.3

【答案】A

【解析】法一　当x<0时，－x>0，且f（x）为奇函数，

则f（－x）＝log3（1－x），所以f（x）＝－log3（1－x）.

因此g（x）＝－log3（1－x），x<0，

故g（－8）＝－log39＝－2.

法二　由题意知，g（－8）＝f（－8）＝－f（8）＝－log39＝－2.

3.已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x＋4）＝f（x），当x∈（－2，0）时，f（x）＝2x2，则f（2019）等于（　　）

A.－2B.2C.－98D.98

【答案】B

【解析】由f（x＋4）＝f（x）知，f（x）是周期为4的函数，

f（2019）＝f（504×4＋3）＝f（3），

又f（x＋4）＝f（x），∴f（3）＝f（－1），

由－1∈（－2，0）得f（－1）＝2，

∴f（2019）＝2.

4.（一题多解）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）＝xf（x）.若a＝g（－log25.1），b＝g（20.8），c＝g（3），则a，b，c的大小关系为（　　）

A.a

C.b

【答案】C

【解析】法一　易知g（x）＝xf（x）在R上为偶函数，

∵奇函数f（x）在R上是增函数，且f（0）＝0.

∴g（x）在（0，＋∞）上是增函数.

又3>log25.1>2>20.8，且a＝g（－log25.1）＝g（log25.1），

∴g（3）>g（log25.1）>g（20.8），则c>a>b.

法二　（特殊化）取f（x）＝x，则g（x）＝x2为偶函数且在（0，＋∞）上单调递增，又3>log25.1>20.8，

从而可得c>a>b.

5.（2020·山东、湖北部分重点中学模拟）已知定义在R上的函数f（x）在[1，＋∞）上单调递减，且f（x＋1）是偶函数，不等式f（m＋2）≥f（x－1）对任意的x∈[－1，0]恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

A.[－3，1]B.[－4，2]

C.（－∞，－3]∪[1，＋∞）D.（－∞，－4]∪[2，＋∞）

【答案】A

【解析】因为f（x＋1）是偶函数，所以f（－x＋1）＝f（x＋1），所以f（x）的图象关于x＝1对称，由f（m＋2）≥f（x－1）得|（m＋2）－1|≤|（x－1）－1|，即|m＋1|≤|x－2|在x∈[－1，0]恒成立，所以|m＋1|≤|x－2|min，所以|m＋1|≤2，解得－3≤m≤1.

6.（2020·石家庄模拟）已知奇函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，且f

（1）＝0，若f（x－1）>0，则x的取值范围为（　　）

A.{x|02}

B.{x|x<0或x>2}

C.{x|x<0或x>3}

D.{x|x<－1或x>1}

【答案】A

【解析】由题意知函数f（x）在（－∞，0）上单调递增，且f（－1）＝0，

不等式f（x－1）>0⇔f（x－1）>f

（1）或f（x－1）>f（－1）.

∴x－1>1或0>x－1>－1，

解之得x>2或0

5．[多选题]对于定义在R上的函数f（x），下列说法正确的是（　　）

A．若函数f（x）是偶函数，则f（－2）＝f

（2）

B．若f（－2）≠f

（2），则函数f（x）不是偶函数

C．若f（－2）＝f

（2），则函数f（x）不是奇函数

D．若x0是二次函数y＝f（x）的零点，且m＜x0＜n，则f（m）f（n）＜0

【答案】AB

【解析】对于选项A，若函数f（x）是偶函数，有f（－x）＝f（x），当x＝2时，有f（－2）＝f

（2），正确；对于选项B，假设函数f（x）是偶函数，必有f（－x）＝f（x）对所有实数均成立，而f（－2）≠f

（2），则函数f（x）不是偶函数，正确；对于选项C，当f（－2）＝f

（2）＝0时，函数f（x）可能为奇函数，错误；对于选项D，对于二次函数f（x）＝x2，其零点x0＝0，若m＜x0＜n，那么f（m）f（n）＞0，错误．

6．[多选题]函数f（x）的定义域为R，若f（x＋1）与f（x－1）都是奇函数，则（　　）

A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数

C．f（x）＝f（x＋4）D．f（x＋3）是奇函数

【答案】CD

【解析】∵f（x＋1）与f（x－1）都是奇函数，∴函数f（x）关于点（1,0）及点（－1,0）对称，∴f（x）＋f（2－x）＝0，f（x）＋f（－2－x）＝0，故有f（2－x）＝f（－2－x），函数f（x）是周期T＝2－（－2）＝4的周期函数，选项C正确；∵f（－x－1＋4）＝－f（x－1＋4），即f（－x＋3）＝－f（x＋3），∴f（x＋3）是奇函数，选项D正确．故选C、D.

6.若函数f（x）＝xln（x＋

）为偶函数，则a＝________.

【答案】1

【解析】f（x）为偶函数，则y＝ln（x＋

）为奇函数，

所以ln（x＋

）＋ln（－x＋

）＝0，

则ln（a＋x2－x2）＝0，∴a＝1.

7.若函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0

＋f

（2）＝________.

【答案】－2

【解析】∵f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（0）＝0，

又f（x）在R上的周期为2，

∴f

（2）＝f（0）＝0.

又f

＝f

＝－f

＝－2，

∴f

＋f

（2）＝－2.

8.设函数f（x）＝ln（1＋|x|）－

，则使得f（x）＞f（2x－1）成立的x的取值范围是________.

【答案】

【解析】　由f（x）＝ln（1＋|x|）－

，知f（x）为R上的偶函数，于是f（x）＞f（2x－1）即为f（|x|）＞f（|2x－1|）.

当x≥0时，f（x）＝ln（1＋x）－

，所以f（x）为[0，＋∞）上的增函数，则由f（|x|）＞f（|2x－1|）得|x|＞|2x－1|，两边平方得3x2－4x＋1＜0，解得

＜x＜1.

13.设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x＋1）＝f（x－1），已知当x∈[0，1]时，f（x）＝2x，则有

①2是函数f（x）的周期；

②函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数；

③函数f（x）的最大值是1，最小值是0.

其中所有正确命题的序号是________.

【答案】①②

【解析】在f（x＋1）＝f（x－1）中，令x－1＝t，

则有f（t＋2）＝f（t），

因此2是函数f（x）的周期，故①正确；

当x∈[0，1]时，f（x）＝2x是增函数，

根据函数的奇偶性知，f（x）在[－1，0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数，故②正确；

由②知，f（x）在[0，2]上的最大值f（x）max＝f

（1）＝2，f（x）的最小值f（x）min＝f（0）＝f

（2）＝20＝1且f（x）是周期为2的周期函数，∴f（x）的最大值是2，最小值是1，故③错误.

9.已知函数

是奇函数.

（1）求实数m的值；

（2）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.

【解析】

（1）设x<0，则－x>0，

所以f（－x）＝－（－x）2＋2（－x）＝－x2－2x.

又f（x）为奇函数，所以f（－x）＝－f（x）.

于是x<0时，f（x）＝x2＋2x＝x2＋mx，

所以m＝2.

（2）要使f（x）在[－1，a－2]上单调递增，

结合f（x）的图象知

，所以1

故实数a的取值范围是（1，3].

14.设f（x）是（－∞，＋∞）上的奇函数，f（x＋2）＝－f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x.

（1）求f（π）的值；

（2）当－4≤x≤4时，求f（x）的图象与x轴所围成图形的面积.

【解析】

（1）由f（x＋2）＝－f（x）得，

f（x＋4）＝f[（x＋2）＋2]＝－f（x＋2）＝f（x），

所以f（x）是以4为周期的周期函数，

所以f（π）＝f（－1×4＋π）＝f（π－4）＝－f（4－π）＝－（4－π）＝π－4.

（2）由f（x）是奇函数且f（x＋2）＝－f（x），

得f[（x－1）＋2]＝－f（x－1）＝f[－（x－1）]，

即f（1＋x）＝f（1－x）.

故知函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称.

又当0≤x≤1时，f（x）＝x，且f（x）的图象关于原点成中心对称，则f（x）的图象如下图所示.

当－4≤x≤4时，f（x）的图象与x轴围成的图形面积为S，

则S＝4S△OAB＝4×

＝4.