第13课时直通中考.docx
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第13课时直通中考
第一部分系统复习知能提升
第三单元函数及其图象
第13课时二次函数的应用
一、选择题
1.
二次函数y＝2x2＋mx＋8的图象如图所示，则m的值是（ ）
A．－8B．8C．±8D．6
解析：
由图可知，抛物线与x轴只有一个交点，∴Δ＝m2－4×2×8＝0.解得m＝±8.∵对称轴为直线x＝－
＜0，∴m＞0.∴m的值为8.
答案：
B
2.
若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）＝m有实数根x1，x2，且x1≠x2，有下列结论：
①x1＝2，x2＝3；②m＞－
；③二次函数y＝（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2,0）和（3,0）．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
解析：
一元二次方程（x－2）（x－3）＝m化为一般形式得x2－5x＋6－m＝0.∵方程有两个不相等的实数根x1，x2，∴b2－4ac＝（－5）2－4（6－m）＝4m＋1＞0.解得m＞－
.故结论②正确；∵一元二次方程实数根分别为x1，x2，∴x1＋x2＝5，x1x2＝6－m.而结论①中x1＝2，x2＝3，只有在m＝0时才能成立，故结论①错误；二次函数y＝（x－x1）（x－x2）＋m＝x2－（x1＋x2）x＋x1x2＋m＝x2－5x＋（6－m）＋m＝x2－5x＋6＝（x－2）（x－3），令y＝0，得（x－2）（x－3）＝0.解得x＝2或3.∴抛物线与x轴的交点为（2,0）或（3,0），故结论③正确．综上所述，正确的结论有2个：
②③.
答案：
C
3.
如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是（ ）
A．－1＜x＜5 B．x＞5
C．x＜－1且x＞5 D．x＜－1或x＞5
解析：
由图象得，对称轴是x＝2，其中一个点的坐标为（5,0）．∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1,0）．利用图象可知，ax2＋bx＋c＜0的解集即是y＜0的解集．∴x＜－1或x＞5.
答案：
D
4.
如图，抛物线y＝x2＋1与双曲线y＝
的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式
＋x2＋1＜0的解集是（ ）
A．x＞1B．x＜－1
C．0＜x＜1D．－1＜x＜0
解析：
∵抛物线y＝x2＋1与双曲线y＝
的交点A的横坐标是1，∴x＝1时，
＝x2＋1.再结合图象当0＜x＜1时，
＞x2＋1，∴－1＜x＜0时，|
|＞x2＋1.∴
＋x2＋1＜0.∴关于x的不等式
＋x2＋1＜0的解集是－1＜x＜0.
答案：
D
二、填空题
5.
若关于x的函数y＝kx2＋2x－1的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为________．
解析：
令y＝0，则kx2＋2x－1＝0.∵关于x的函数y＝kx2＋2x－1的图象与x轴仅有一个公共点，∴关于x的方程kx2＋2x－1＝0只有一个根．①当k＝0时，2x－1＝0，即x＝
，∴原方程只有一个根．∴k＝0符合题意；②当k≠0时，Δ＝4＋4k＝0，解得k＝－1.综上所述，k＝0或－1.
答案：
0或－1
6.
教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝－
（x－4）2＋3，由此可知铅球推出的距离是________m.
解析：
令函数解析式y＝－
（x－4）2＋3中，y＝0时，解得x1＝10，x2＝－2（舍去）．∴铅球推出的距离是10m.
答案：
10
7.
某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种________棵橘子树，橘子总个数最多．
解析：
假设果园增种x棵橘子树，那么果园共有（x＋100）棵橘子树，∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子，∴这时平均每棵树就会少结5x个橘子，则平均每棵树结（600－5x）个橘子．∵果园橘子的总产量为y，∴则y＝（x＋100）（600－5x）＝－5x2＋100x＋60000.∴当x＝－
＝－
＝10（棵）时，橘子总个数最多．
答案：
10
三、解答题
8.
在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：
（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；
（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；
（3）在
（2）的条件下，若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．
分析：
（1）观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函数解析式，进而把其余两点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同；
（2）销售利润＝每个许愿瓶的利润×销售量；（3）根据进货成本可得自变量的取值，结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润．
解：
（1）y是x的一次函数，设y＝kx＋b，
∵图象过点（10,300），（12,240），
∴
解得
∴y＝－30x＋600.
当x＝14时，y＝180；当x＝16时，y＝120.
∴点（14,180），（16,120）均在函数y＝－30x＋600图象上．
∴y与x之间的函数关系式为y＝－30x＋600；
（2）w＝（x－6）（－30x＋600）＝－30x2＋780x－3600，
∴w与x之间的函数关系式为
w＝－30x2＋780x－3600；
（3）由题意，得6（－30x＋600）≤900.解得x≥15.
w＝－30x2＋780x－3600图象的对称轴为
x＝－
＝－
＝13.
∵a＝－30＜0，∴抛物线开口向下．
当x≥15时，w随x增大而减小．
∴当x＝15时，w最大＝1350，即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元．
9.
某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：
销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？
最大的月利润是多少？
分析：
（1）根据题意知一件玩具的利润为（30＋x－20）元，月销售量为（230－10x），然后根据月销售利润＝一件玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式；
（2）把y＝2520时代入y＝－10x2＋130x＋2300中，求出x的值即可；（3）把y＝－10x2＋130x＋2300化成顶点式，求得当x＝6.5时，y有最大值，再根据0＜x≤10且x为正整数，分别计算出当x＝6和x＝7时y的值即可．
解：
（1）根据题意，得
y＝（30＋x－20）（230－10x）＝－10x2＋130x＋2300，
自变量x的取值范围是0＜x≤10且x为正整数；
（2）当y＝2520时，得－10x2＋130x＋2300＝2520.
解得x1＝2，x2＝11（不合题意，舍去）.
当x＝2时，30＋x＝32（元），∴每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．
（3）根据题意，得
y＝－10x2＋130x＋2300＝－10（x－6.5）2＋2722.5.
∵a＝－10＜0，
∴当x＝6.5时，y有最大值为2722.5.
∵0＜x≤10且x为正整数，
∴当x＝6时，30＋x＝36，y＝2720（元）．
当x＝7时，30＋x＝37，y＝2720（元）．
∴每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．
10.
为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：
由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：
y＝－10x＋500.
（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
分析：
（1）把x＝20代入y＝－10x＋500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；
（2）由利润＝销售价－成本价，得w＝（x－10）（－10x＋500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；（3）令－10x2＋600x－5000＝3000，求出x的值，结合图象求出利润的范围，然后设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．
解：
（1）当x＝20时，y＝－10x＋500＝－10×20＋500＝300,300×（12－10）＝300×2＝600，
即政府这个月为他承担的总差价为600元．
（2）依题意，得w＝（x－10）（－10x＋500）
＝－10x2＋600x－5000＝－10（x－30）2＋4000，
∵a＝－10＜0，∴当x＝30时，w有最大值4000.
∴当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000.
（3）由题意，得－10x2＋600x－5000＝3000.
解得x1＝20，x2＝40.
∵a＝－10＜0，抛物线开口向下，
∴结合图象可知，当20≤x≤40时，w≥3000.
又∵x≤25，∴当20≤x≤25时，w≥3000.
设政府每个月为他承担的总差价为p元，
∴p＝（12－10）×（－10x＋500）＝－20x＋1000.
∵k＝－20＜0，∴p随x的增大而减小．
∴当x＝25时，p有最小值500.
∴销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．
1．已知二次函数y＝x2－3x＋m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1,0），则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是（ ）
A．x1＝1，x2＝－1B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝0D．x1＝1，x2＝3
解析：
∵二次函数的解析式是y＝x2－3x＋m（m为常数），∴该抛物线的对称轴是x＝
.又∵二次函数y＝x2－3x＋m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1,0），∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2,0），∴关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根分别是x1＝1，x2＝2.
答案：
B
2．如图，一次函数y1＝kx＋n（k≠0）与二次函数y2＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象相交于A（－1,5），B（9,2）两点，则关于x的不等式kx＋n≥ax2＋bx＋c的解集为（ ）
A．－1≤x≤9B．－1≤x＜9
C．－1＜x≤9D．x≤－1或x≥9
解析：
由图形可以看出，抛物线y2＝ax2＋bx＋c（a≠0）和一次函数y1＝kx＋n（k≠0）的交点的横坐标分别为－1,9.当y1≥y2时，x的取值范围正好在两交点之内（包括两交点），即－1≤x≤9.
答案：
A
3．如图，小浩从二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象中得到如下信息：
①ab＜0；②4a＋b＝0；③当y＝5时只能得x＝0；④关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝10有两个不相等的实数根．你认为其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解析：
∵抛物线开口向下，∴a＜0.∵抛物线的对称轴为直线x＝－
＝2，∴b＝－4a.∴b＞0，b＋4a＝0.∴①②正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴（0,5）和（4,5）是抛物线上两对称点．∴x＝0或4时，y＝5.∴③错误；∵抛物线的顶点坐标为（2,9），∴y的最大值为9.∴ax2＋bx＋c≤9.∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝10无实数解．∴④错误．
答案：
B
4．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知，下列说法中正确的是________．（填写序号）
①抛物线与x轴的一个交点为（3,0）;②函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线x＝
；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．
解析：
根据图表，当x＝－2，y＝0时，根据抛物线的对称性，当x＝3时，y＝0，即抛物线与x轴的交点为（－2,0）和（3,0）；∴抛物线的对称轴是直线x＝3－
＝
.根据表中数据得到抛物线的开口向下，∴当x＝
时，函数有最大值，而不是x＝0或1对应的函数值6，并且在直线x＝
的左侧，y随x增大而增大．∴①③④正确，②错．
答案：
①③④
5．如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y＝ax2＋bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需________秒．
解析：
设在10秒时到达A点，在26秒时到达B，∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同，∴A，B关于对称轴对称．∵从A到B需要16秒，∴从A到D需要8秒．∴从O到D需要10＋8＝18秒．∴从O到C需要2×18＝36秒．
答案：
36
6．
（1）请在坐标系中画出二次函数y＝x2－2x的大致图象；
（2）根据方程的根与函数图象的关系，将方程x2－2x＝1的根在图上近似的表示出来（描点）；
（3）观察图象，直接写出方程x2－2x＝1的根．（精确到0.1）
解析：
（1）确定顶点坐标和函数图象与x轴，y轴交点，作出图形；
（2）方程x2－2x＝1的根就是二次函数y＝x2－2x的函数值为1时的横坐标x的值；（3）观察图象可知交点即为方程的根．
解：
（1）如图，y＝x2－2x＝（x－1）2－1，作出顶点，作出与x轴的交点，用平滑的曲线连接三点画出函数图象；
（2）正确作出点M，N；
（3）写出方程的根为－0.4,2.4.
7．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m.
（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；
（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计）．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：
前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到拱桥最高点O时，禁止车辆通行），试问：
如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？
若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？
分析：
（1）结合题意和图所示的直角坐标系，我们可以得到D（5，－h），B（10，－h－3），即可求出抛物线的解析式；
（2）根据时间和车到桥的距离即可求出车安全过桥的最低速度．
解：
（1）设抛物线的解析式为y＝ax2（a不等于0），拱桥最高点O到水面CD的距离为h米．则D（5，－h），B（10，－h－3）．∴
解得
∴抛物线的解析式为y＝－
x2.
（2）水位由CD处涨到点O的时间为1÷0.25＝4（小时）；货车按原来速度行驶的路程为40×1＋40×4＝200＜280，
∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥．
设货车速度提高到x千米/时，
当4x＋40×1＝280时，x＝60.
∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米/时．
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