初三数学复习资料 解析函数和几何.docx

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初三数学复习资料解析函数和几何

函数与图形

一、知识要点概述

（一）函数有关概念

1、常量：

在某一变化过程中保持不变的量．

2、变量：

在某一变化过程中可取不同数值的量．

3、函数的定义：

在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．

4、函数的表示方法

5、画函数图象的步骤：

①列表；②描点；③连线，通常称为描点法．

6、函数自变量的取值范围

（二）平面直角坐标中点的坐标特征

3、平行于坐标轴的直线上的点

（1）平行于x轴的直线上任意两点的纵坐标相同；

（2）平行于y轴的直线上任意两点的横坐标相同．

4、对称点的坐标：

（1）点P（a，b）关于x轴的对称点坐标是P1（a，－b）即横坐标相同，纵坐标互为相反数．

（2）点P（a，b）关于y轴的对称点坐标是P2（－a，b）即横坐标互为相反数，纵坐标相同．

　　（3）点P（a，b）关于原点的对称点坐标是P3（－a，－b）即横、纵坐标都互为相反数．

5、各象限角平分线上的点

（1）第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等．

（2）第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数．

6、点与原点、坐标轴的距离

（1）点P（a，b）与原点的距离是

．

（2）点P（a，b）与x轴的距离是|b|（即其纵坐标的绝对值）．

（3）点P（a，b）与y轴的距离是|a|（即其横坐标的绝对值）

二、典型例题剖析

例1、现有点M（1＋a，2b－1）在第二象限，则点N（a－1，1－2b）在第________象限．

分析：

　　本题主要考查各象限内点的坐标符号特征．由于点M在第二象限，

，所以N点在第三象限．

例2、点A（1，m）在函数y=2x图象上，则点A关于y轴的对称点的坐标是（________，________）

分析：

　　把A（1，m）代入函数式y=2x中，求m=2，则A（1，2），再根据对称点的符号规律求A点的对称点坐标．

解：

（－1，2）

例3、已知两圆的圆心都在x轴上，A、B为两圆的交点，若点A的坐标为（1，－1），则点B的坐标为（　）

A．（1，1）　　　　　　　　　　　　B．（－1，－1）

C．（－1，1）　　　　　　　　　　　D．无法求出

分析：

由于圆是轴对称图形，故两圆的两个交点A，B关于x轴对称．

解：

选A．

例6、下列各组的两个函数是同一函数吗？

为什么？

（1）y=x和

（2）y=πx2和S=πr2（其中x≥0，r≥0）

（3）y=x＋2和

分析：

　　判断两个函数是否为同一函数：

①要判断两个函数的自变量取值范围是否相同；②要判断自变量与函数的对应规律是否完全相同．

解：

（1）不是同一函数，因为它们的自变量取值范围不同，前者是全体实数，后者是x≠0的实数；

（2）是同一函数，因为它们的自变量的取值范围相同，而且自变量与函数的对应规律完全相同；

　　（3）不是同一函数，因为它们的自变量取值范围不同，前者是全体实数，后者是x≥－2．

例7、在函数

中自变量x的取值范围是________．

分析：

　　求函数式中自变量的取值范围的一般思路是：

　　①函数解析式中的分母不能为0；

　　②偶次根式的被开方数应为非负数；

　　③零指幂和负整指数幂的底数不能为0．

　　此题中，自变量x应满足

解：

x≥－1且x≠2．

一次函数与反比例函数的图形和性质

一、知识要点概述

（一）一次函数

1、一次函数的定义：

形如y=kx＋b（k，b为常数且k≠0）的函数叫一次函数．

2、正比例函数的定义：

y=kx（k≠0）叫正比例函数．正比例函数是一次函数的特例．

3、一次函数的图象是一条经过

及（0，b）的一条直线．

4、一次函数的性质：

当k＞0时y随x的增大而增大．

　　　　　　　当k＜0时y随x的增大而减小．

5、一次函数y=kx＋b的图象与k、b的符号关系表

k、b的符号

草图

经过的象限

k＞0，b＞0

直线经过第一、二、三象限

k＞0，b＜0

直线经过第一、三、四象限

k＜0，b＞0

直线经过第一、二、四象限

k＜0，b＜0

直线经过第二、三、四象限

（二）反比例函数

1、反比例函数定义：

形如

叫做反比例函数．自变量的取值范围是x≠0．

2、反比例函数的图象是双曲线．

3、反比例函数

的性质

（1）当k＞0时，图象的两分支分别在第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．

（2）当k＜0时，图象的两分支分别在第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．

（三）基本规律

1、确定一次函数的解析式，通常采用待定系数法，由题目已知条件得到关于k，b的二元一次方程组，再求出k，b．

2、对于直线l1：

y=k1x＋b1，与l2；y=k2x＋b2．

　当l1∥l2时，k1=k2且b1≠b2，反之当k1=k2且b1≠b2时，l1∥l2．

3、画一次函数的图象时通常只需描出图象上任两点的坐标，再过这两点画一条直线，一般画出直线y=kx＋b与两坐标轴的交点

和（0，b），正比例函数图象过（0，0）和点（1，k）．

4、反比例函数

的图象是断开的，产生的原因是自变量的取值范围是x≠0，这两条曲线可以无限地接近x轴、y轴，但永远不会与x轴、y轴相交．双曲线是关于原点成中心对称的，也是轴对称的．

5、过双曲线

上任一点向x轴或y轴引垂线，并连接该点与原点，得到直角三角形，这个直角三角形的面积与点的位置无关，是一个定值为

．这一结论常常用到，应特别记住．

二、典型例题剖析

例1、

（1）若函数

是一次函数，则m=________．

（2）已知m是整数且一次函数y=（m＋4）x＋m＋2的图象不经过第二象限，则m=________．

点评：

（1）一次函数y=kx＋b中k≠0这一条件不能忽视．

（2）直线y=kx＋b不过第二象限的条件

要特别注意，此时直线经过第一、三象限是正比例函数．

例2、已知一直线经过点A（－1，1）和B（1，－5）求直线AB的解析式．

分析：

　　直线的解析式可设为y=kx＋b，因为k，b待定，由直线过A（－1，1）和B（1，－5）可以确定．

　　∴直线AB的解析式为y=－3x－2

点评：

　　求函数的解析式可采用待定系数法，这样把求函数的关系转化为解二元一次方程组的问题来解决，用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤为：

（1）设函数的解析式为y=kx＋b（k≠0）．

（2）将已知点的坐标代入函数的解析式，得出方程组．

　　（3）求k，b的值，得函数的解析式．

例3、已知关于x的函数y=k（x－1）和

它们在同一坐标系的图象大致是（　）

　　　　A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

解：

选B．

　　按比例系数的性质进行分类讨论．当k＞0时双曲线

在第二、四象限，而直线y=k（x－1）在第一、三、四象限，故只有选B．

3

例8、已知反比例函数

的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），且当x1＜0＜x2时有y1＜y2，则m的取值范围是（　）

解：

选C．由x1＜0＜x2时有y1＜y2知1－2m＞0，

例9、某批发商欲将一批海产品由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务，已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/时和100千米/时，两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示：

运输工具

运输费单价

（元/吨·千克）

冷藏费单价

（元/吨·小时）

过路费

（元）

装卸及管理费

（元）

汽车

2

5

200

0

火车

1.8

5

0

1600

　　注：

“元/吨·千米”表示每吨货物每千米运费；“元/吨·小时”表示每吨货物每小时冷藏费．

（1）设该批发商待运的海产品有x（吨），汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y1（元）和y2（元），试求y1和y2与x的函数关系式．

（2）若该批发商待运的海产品不少于30吨，为节省运费，他应选哪个货运公司承担运输业务？

分析：

这是一道图表信息题，决策题型，读懂题意，列出两个函数关系式是关键．

解：

（1）根据题意有

（2）当y1=y2即222x＋1600=250x＋200，解得：

x=50；

　　当y1＞y2即250x＋200＞222x＋1600，解得：

x＞50；

　　当y1＜y2即250x＋200＜222x＋1600，解得x＜50.

　　当所运产品刚好50吨时，选汽车公司或铁路货运公司中的任意一家均可；当所运产品不少于30吨且不足50吨时，选择汽运公司，当所运海产品多于50吨时，应选择铁路货运公司．

饿二次函数的图形和性质

知识要点概述

1、二次函数的定义：

如果y=ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，a≠0），那么y叫x的二次函数．

2、二次函数的图象：

二次函数y=ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线．

3、二次函数的解析式有下列三种形式：

（1）一般式：

y=ax2＋bx＋c（a≠0）；

（2）顶点式：

y=a（x－h）2＋k（a≠0）；

　　（3）交点式：

y=a（x－x1）（x－x2）（a≠0），这里x1，x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标．

　　确定二次函数的解析式一般要三个独立条件，灵活地选用不同方法求出二次函数的解析式是解与二次函数相关问题的关键．

4、抛物线y=ax2＋bx＋c中系数a、b、c的几何意义

　　抛物线y=ax2＋bx＋c的对称轴是

，顶点坐标是

，其中a的符号决定抛物线的开口方向．

　　a>0，抛物线开口向上，a<0，抛物线开口向下；a，b同号时，对称轴在y轴的左边；a，b异号时，对称轴在y轴的右边；c确定抛物线与y轴的交点（0，c）在x轴上方还是下方．

5、抛物线顶点式y=a（x－h）2＋k（a≠0）的特点

（1）a>0，开口向上；a<0，开口向下；

（2）x=h为抛物线对称轴；

（3）顶点坐标为（h，k）．

依顶点式，可以很快地求出二次函数的最值．

当a>0时，函数在x=h处取最小值y=k；

当a<0时，函数在x=h处取最大值y=k．

6、抛物线y=a（x－h）2＋k与y=ax2的联系与区别

　　抛物线y=a（x－h）2＋k与y=ax2的形状相同，位置不同．前者是后者通过“平移”而得到．

　　要想弄清抛物线的平移情况，首先将解析式化为顶点式．

7、抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴的两个交点为A、B，且方程ax2＋bx＋c=0的两根为x1，x2，则有A（x1，0），B（x2，0）．

典型剖析

例1、已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示．

下列结论：

①a＋b＋c<0；②a－b＋c>0；③abc>0；④b=2a．

其中正确结论的个数是（　）

A．4　　　　　B．3　　　　C．2　　　　　D．1

解：

　　选A．令x=1及由图象知a＋b＋c<0，①正确；

　　令x=－1及由图象a－b＋c>0，②正确；

　　由对称轴

知，④正确；

　　由④知a、b同号且抛物线与y轴的交点在x轴上方，即c>0，故③正确．所以选A．

例3、已知抛物线y=x2－（2m＋4）x＋m2－10与x轴交于A、B两点，C是抛物线的顶点．

（1）用配方法求顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；

（2）若AB的长为

，求抛物线的解析式．

解：

（1）∵y=x2－（2m＋4）x＋m2－10

　　　　　=[x－（m＋2）]2－4m－14，

　　　　∴顶点C的坐标为（m＋2，－4m－14）．

（2）∵A、B是抛物线y=x2－（2m＋4）x＋m2－10与x轴的交点且|AB|=

，

　　　　化简整理得：

16m=－48，

　　　　∴m=－3．

　　当m=－3时，抛物线y=x2＋2x－1与x轴有交点且AB=

，符合题意．故所求抛物线的解析式为y=x2＋2x－1．

例5、已知某二次函数，当x=1时有最大值－6，且其图象经过点（2，－8）．求此二次函数的解析式．

解：

∵二次函数当x=1时有最大值－6，

∴抛物线的顶点为（1，－6），

故设所求的二次函数解析式为y=a（x－1）2－6．

由题意将点（2，－8）的坐标代入上式得：

a（2－1）2－6=－8，

∴a=－2，

∴二次函数的解析式为y=－2（x－1）2－6，即y=－2x2＋4x－8．

例6、二次函数y=ax2＋bx＋c的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）．

（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由；

解：

（1）由图象可知：

a<0，

图象过点（0，1），∴c=1．

图象过点（1，0），∴a＋b＋c=0，

∴b=－（a＋c）=－（a＋1）．

由题意知，当x=－1时，应有y>0，

∴a－b＋c>0，

∴a＋（a＋1）＋1>0，

∴a>－1，

∴实数a的取值范围是－1

（2）此时函数为y=ax2－（a＋1）x＋1,与x轴两交点A、C之间的距离为

例7、根据下列条件，求抛物线的解析式．

（1）经过点（0，－1），（1，

），（－2，－5）；

（2）经过点（－3，2），顶点是（－2，3）；

（3）与x轴两交点（－1，0）和（2，0）且过点（3，6）．

分析：

　　求解析式应用待定系数法，根据不同的条件，选用不同形式求二次函数的解析式，可使解题简捷．但应注意，最后的函数式均应化为一般形式y=ax2＋bx＋c．

解：

①设y=ax2＋bx＋c，把（0，－1），（1，

），（－2，－5）代入得方程组

∴解析式为y=

＋x－1．

②设y=a（x＋2）2＋3，把（－3，2）代入得

　2=a（－3＋2）2＋3，解得a=－1．

③设y=a（x＋1）（x－2），把（3，－6）代入得

　－6=a（3＋1）（3－2），解得

．

　∴解析式为y=

（x＋1）（x－2），

　即

．

函数的应用

二、典型例题剖析

例1、已知抛物线

与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）两点与y轴交于C点，O为坐标原点．

（1）求m的取值范围；

（2）若

且OA＋OB=3OC，求抛物线的解析式．

分析：

　　一元二次方程与二次函数的关系是：

抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两根，从而可利用根的判别式及根与系数的关系来解二次函数与x轴相交的有关问题．另外OA=|x1|，OB=|x2|体现了数形结合．

解：

（1）∵抛物线

与x有两个不同的交点，

　　　∴方程

有两个不相等的实数根，

　　　∴

（2）∵A（x1，0），B（x2，0）是抛物线与x轴的两个交点，

　　　∴x1，x2是方程

的两个不等实根，

　　　∴x1＋x2=－24m

　　　　x1x2=8（18m2－m）

，∴x1＋x2＜0　　　x1x2＞0　　　∴x1与x2同负

　　　∵C点的坐标为C（0，18m2－m），∴OC=|18m2－m|=18m2－m

　　　又∵OA＋OB=3OC　　　　∴－x1－x2=3（18m2－m）

　　　即－（－24m）=3（18m2－m）

点评：

　　抛物线与x轴有两个交点，就可以转化为一元二次方程的△＞0，要根据x1＋x2与x1·x2的符号来确定x1与x2的符号，从而得|x1|与|x2|去绝对值后的值．求出m有两个值后，要及时地检验，舍去不合题意的m值，这些都是在解函数与方程有关综合题时应注意的地方，也是易错点．

例2、某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元．但实际出厂单价不能低于51元．

（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？

（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P与x的函数表达式．

　　（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？

如果订购1000元，利润又是多少元？

（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本）

解：

（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x个，则

　　因此当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好为51元．

（2）当0≤x≤100时，P=60．

　　当100＜x＜550时，

　　当x≥550时，P=51．

　　（3）设销售商一次订购量为x个时，工厂获利为W元．

　　当x=550时，W=6000；当x=1000时，W=11000．

　　因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获利6000元，若订购1000个，利润是11000元．

例5、《中华人民共和国个人所得税》规定，公民月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表计算：

全月应纳税所得额

税率

不超过500元的部分

5%

超过500元～2000元的部分

10%

超过2000元～5000元的部分

15%

……

（纳税款=应纳税所得额×对应的税率）

　　按此规定解答下列问题：

（1）设甲的月工资、薪金所得为x元（1300＜x＜2800）需缴交的所得税款为y元，试写出y与x的函数关系式．

（2）若乙一月份应交所得税款95元，那么他一月份的工资、薪金是多少元？

分析：

　　本题是用列表法表示的分段函数型应用题，解题的关键是理解税率表，要将超800元部分分段，每段对应不同的税率，应交税款是每段税款之和．

解：

（1）因为甲的月工资、薪金所得x元，而1300＜x＜2800．

　　∴500＜x－800＜2000，所交税款由两部分组成．

　　500元按税率5%交税，另一部分（x－800－500）元，按10%交税，故y与x之间的函数关系式为y=500×5%＋（x－800－500）×10%=（x－1300）×10%＋25

（2）根据第

（1）小题中，当收入在1300元至2800元之间时，纳税在500×5%=25元至500×5%＋（2800－800－500）×10%=175（元）之间，由于乙职工纳税95元，知他的工资、薪金肯定在1300元至2800元之间，适用

（1）的函数关系式：

　　∴95=（x－1300）×10%＋25

　　解得x=2000．

统计与概率

一、知识要点概述

（一）数据的描述与分析

1、基本知识

（1）几种常见的统计图：

①折线图　　②条形图　　③扇形图　　④直方图

（2）掌握几种常见统计图的优越性

（3）总体：

考查对象的全体．

个体：

总体中每一个被考察的对象．

样本：

从总体中抽取一部分个体组成总体的一个样本．

样本容量：

样本中个体的数目．

2、基本规律

　　数据的描述方式主要有统计图与统计表两种形式，其中统计图有折线图、条形图、扇形图、直方图四种形式，它们都有各自的优势，折线图可以反映一组数据的变化趋势，条形图易于比较数据之间的差别，扇形图易于显示每组数据相对于总数大小，直方图易于显示各组之间频数的差别，在描述数据时要根据具体情况来选择合适的统计图表，在分析统计图时要考虑到统计图的特征与实际需要．

（二）数据的特征

1、平均数

（1）如果有n个数x1，x2，…，xn，则

叫这n个数的平均数．

（2）求平均数的常用方法

　　设所给出的n个数据x1，x2，x3，…，xn－1，xn，求它们的平均数

．

　　①基本方法：

　　②新数据法：

当x1，x2，…，xn－1，xn数据较大时，选择一个与这些数比较接近的数a，令

先计算这组新数据x1′，x2′，…，x′n的平均数

　　③加权法：

若x1出现f1次，x2出现x2次，…，xk出现fk次，且f1＋f2＋…＋fk=n，则

．

　　④新数据加权法：

新数据同②，若x1′出现f1次，x′2出现f2次，……

出现fk次，且f1＋f2＋…＋fk=n．

．

2、中位数、众数、极差

（1）中位数：

将一组数据按大小依次排列，把处在正中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫这组数据的中位数．

（2）众数：

在一组数据中，出现次数最多的数据叫这组数据的众数．

　　（3）极差：

一组数据的最大数与最小数据之差．

3、方差、标准差

（1）方差：

样本中各数据与样本平均数的差的平方的平均数叫样本方差．

（2）标准差：

样本方差的算术平方根叫做样本标准差．

　　（3）求方差的方法

　　①设n个数据x1，x2，…，xn的平均数为

，则其方差

　　②当数据比较大时，仿前面选择一个适当的常数a，得一组新数据

，则方差

．

　　（4）样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或标准差越大，样本数据波动越大．

4、基本规律

（1）反映一组数据的集中程度的统计量主要有平均数、中位数、众数这三种；而反映一组数据的离散程度的统计量有极差、方差、标准差三种，在对一组数据进行分析时，要考虑到分析的目的，再来选择合适的统计量来作出合理的分析，为正确的决策提供依据．

（2）统计在日常生活中得到最广泛的应用，在利用统计的结果进行估计总体或利用统计的结果进行决策时要注意决策的目的和决策的实际意义．

（三）概率

（1）事件按发生可能性的大小分为不可能事件、必然事件和随机事件．

（2）事件发生的可能性的大小可以用概率来衡量．

　　（3）获取某一事件发生的概率的大小的方法有实验法和分析法．

　　（4）概率的计算法为列表法和画树状图法；在计算概率时，我们关注的是所有机会均等的结果和我们所关注的结果，求出后者与前者的比值，从而求出某一事件的概率；通过用替代物模拟实验获取概率，应注意实验次数对概率的准确性的影响，实验次数越多，得到的实验数据与实际就越接近．

二、典型例题剖析

例1、为了了解一批电视机的寿命，从中抽取100台电视机进行试验，这个问题中的样本是（　）

A．这批电视机的寿命

B．抽取的100台电视机

C．100

D．抽取的100台电视机的寿命

答案：

D

例2、某省有7万名学生参加毕业会考，要想了解这7万名学生的数学成绩，从中抽取了1000名学生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（　）

A．这1000名学生是总体的一个样本

B．每位考生的数学成绩是个体

C．7万名考生是总体

D．1000名考生是样本容量

分析：

　　总体是7万名考生的数学成绩的全体，故C项错误，样本应是1000名考生的数学成绩，所以A项错误，而样本容量只是个数据，不带单位，则D项也错．

答案：

B

例4、某中学为了了解全校的耗电情况，抽查了10天中全校每天的耗电量．数据如下表（单位：

度）

度数

90

93

102

113

114

120

天数

1

1

2

3

1

2

（1）写出上表中数据的众数和平均数．

（2）由上题获得的数据，估计该校某月的耗电量（按30天计）

　　（3）若当地每度电的定价是0.5元，写出该校应付电费y（元）与天数x（x取正整数，单位：

天）之间的函数关系式．

解：

（1）显然113出现了3次，是出现次数最多的数，故113是众数．

　　平均数为

．

（2）根据平均数估计某月共耗电量为：

108×30=3240（度）．

　　（3）y=0.5×18