由此猜想：
到定点距离与到定直线距离的比为常数
的点的轨迹是
.
（三）推理论证，揭示原理
1、教师引导学生探求上述结论的数学证明.
对方程
配方后，结合圆锥曲线的标准方程就可以说明方程所表示曲线的类型.由此得到圆锥曲线的统一定义：
到定点距离与到定直线距离的比为常数
的点的轨迹是
.
2、对定义的进一步认识：
教师引导学生对椭圆、双曲线的第二定义进行更深入的思考：
（1）、椭圆、双曲线的第一定义和第二定义从不同角度认识了曲线的形成；
（2）、第二定义可将圆锥曲线从轨迹形成的角度统一起来，也称为圆锥曲线的统一定义，这也是圆锥曲线统一性的一种体现；
（3）、用第一定义比较容易得到椭圆、双曲线的标准方程，而标准方程的几何意义明显，更有利于我们用方程去研究曲线；
（4）、在利用第二定义求曲线方程时按常规建系方法无法得到圆锥曲线的标准方程，必须要根据定点和定直线建立一个特殊的坐标系才能得到标准方程，因此椭圆、双曲线的第二定义多数情况作为曲线上的点的性质使用，利用曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离的关系，解决一些与距离有关的问题.
（四）练习反馈，巩固落实（略）
【评析】
圆锥曲线的统一定义是高中数学教学中的重点也是难点.按照传统教学的方法，容易得到椭圆、双曲线上的点到其焦点及准线距离的比为其离心率，从而教材马上将焦点、准线抽象成定点和定直线，得到椭圆双曲线的第二定义.实际上学生对这一定义的理解是一知半解的，对任意的定点、定直线只要给定一个0~1之间的值就能得到椭圆，给定一个大于1的值就能得到双曲线，学生对这一结论感到怀疑.采取本例的教学设计学生利用图形计算器从一般的求轨迹的方法出发，通过对方程的分析，对圆锥曲线的第二定义有了深刻的理解，较好地突破了这一教学上的难点.
2、探究式学习在学生探索新知识中的作用
在学生学习新知识的过程中，为学生提供了一个开放的宽松的环境还原知识的本来面目，使学生经历知识的产生过程，在自主探索中发现新规律，获得新知识.
典型案例：
《复合函数的性质》
【教学过程】
（一）问题的提出：
我们已经研究了指数函数和对数函数，今天我们要来研究复合函数。
面对一个函数我们都要研究它的哪些方面呢？
定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数。
对复合函数的研究也从这几方面入手。
复合函数形式多样我们研究哪个呢？
选择的函数应符合以下原则：
1．构成复合函数的函数应该是我们熟悉的简单函数，一次、二次、指数、对数的
复合；（可行性）
2．只需选择两层的复合函数即可（为了得到通性）
3．不影响探究本质的情况下，选择尽量简单的函数。
根据这几个原则，给出四个函数：
，
，
，
，
，
加以简单分析，这几个复合函数中有几类函数？
几个简单函数？
明确了这些问题同学们就可以开始自己的研究了，研究过程中同学们注意体会一下
研究复合函数与研究简单函数有什么相同和不同之处，研究复合函数主要采用什么方法，需要注意什么问题。
（二）学生研究
学生利用图形计算器进行探究，完成下表。
解析式
内层函数
外层函数
定义域
值域
草图
内层函数单调性
外层函数单调性
复合函数
单调性
奇偶性
反函数（是否存在）
（三）总结交流：
请3~4名学生展示研究成果。
教师小结：
1.定义域、值域等性质：
①复合函数值域问题通常用换元的方法；
②在研究复合函数定义域、值域、奇偶性、反函数问题时通过函数图象对这些问题有了直观的认识，但通过对图象的观察和归纳得出的结论是不可靠的有时也是不准确的，因此同学们在这几个方面又利用函数解析式和简单函数的性质，进行了求解。
这说明研究问题时我们往往从数和形两方面入手，相辅相承。
2.复合函数单调性的规律
通过对几个函数图象的研究得到：
解析式
内层函数单调性
增
减
增
减
增
减
R上增
外层函数单调性
R上增
R上减
定义域内增
u>1,增
u<1,减
复合函数
单调性
增
减
减
增
增
减
增
减
通过这几个函数的单调性发现什么规律了吗？
①总结复合函数单调性规律：
内外层函数单调性相同时，复合函数为单调增函数；
内外层函数单调性相反时，复合函数为单调减函数.
②注意外层函数在定义域上的单调性不一致时，如何利用外层函数的单调性确定复合函数的单调区间，
复合函数单调性的规律是通过图象观察再结合解析式分析得到的，能否进行严格的证明？
（幻灯片演示证明过程）
求证：
若函数
在区间A上是增函数，且在A上的值域为B，函数
在区间B上是减函数，则复合函数
在区间A上为减函数。
证明：
设
，
在区间A上是增函数
又
函数
在区间B上是减函数，
即：
函数
在区间A上为减函数。
（四）、例题：
判断函数的单调区间：
1、
2、
（五）、小结：
1.研究函数的一般过程和方法：
主要通过函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等方面来研究函数；
数形结合，解析式和图象相辅相成；
2.研究复合函数的性质主要使用了换元的方法；
3.复合函数单调性的规律。
（六）、思考：
1.复合函数单调性规律的证明。
2.复合函数奇偶性与内、外层函数奇偶性的关系，并对结论进行证明。
【评析】
本课例改变了传统的教学方法，在进行复合函数单调性概念教学时，在学生现有的知识水平上，通过学生的自主探究，及教师的不断设问，形成了新的概念.在整个过程中，图形计算器充分发挥了“学具”的作用，使学生的自主探究成为可能.因此本课例采用了教师引导下学生自主探究的教学方法.力求通过这样的教学设计使讲授概念的过程变为学生对知识的主动建构过程.从而最大限度地提高学生的思维水平，并且使学生对概念的理解正确而透彻.
[课例二]《正切函数的性质》
本课例从教材的内容看，无论是知识的理解、性质的掌握、应用的技巧，难度都不大，而且正切函数在正、余弦之后学生已基本掌握研究的方法，因此确立本节课的教学模式为学生独立探索，自主学习.利用图形计算器培养学生独立探求新知识，得到结论.
由于正切函数是高中课本中最后一个具体函数，本节课力求让学生充分体验研究函数的一般过程及研究函数时图象与性质相辅相承的关系，体现数形结合的数学思想，因此整个的教学设计一直是图象与性质的研究相伴而行.图形计算器的作图功能在学生探究过程中起到了重要作用.
[课例三]《抛物线的焦点弦》
本课例的内容来源于全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）信息技术整合本142、151页.希望借助“抛物线焦点弦”的研究，将所学知识在这里进行整理，归纳.性质本身的得出并不是本课的唯一关注点，渗透研究一个数学问题的方法是本节课的另一重点.这节课在培养数学思维活动中的数学探索能力上做了一点尝试.在数学中，探索能力表现在提出数学问题，探求数学结论，探索解题途径，寻找解题规律等一系列有意义的发现活动之中.本节课让学生通过研究“抛物线的焦点弦”，借助图形计算器能够将自己的猜想马上进行试验，使大胆想像成为可能，更能激发学习的兴趣.同时在探究中让学生了解到探索的过程就是一个不断提出设想，验证设想，修正和发展设想的过程，从而逐步形成善于质疑、乐于探究、勤于动手、努力求知的积极态度，产生积极情感，激发他们探索、创新的欲望.
（二）、探究式学习在课外学习中的作用
除了课堂教学以外，我们还在研究性学习和课外活动课中引导学生进行探究式的学习.指导学生进行了一些研究性学习的课题研究，并形成了论文.下面举例说明.
[案例]艺术作图
在使用图形计算器的过程中，学生对图形计算器的作图功能产生了兴趣，结合课堂的函数知识，学生在教师的引导下通过输入不同的分段函数解析式，画出了各种富有意义的图像.
如：
改变一下正弦函数的周期，再加上余弦函数，可以画出海上的景象.
首先是海浪
y1=sinx
y2=sin（x+1）
y3=sin（x+2）
然后是船身
y4=-1.5x-3∣-3≤x≤-2
y5=1.5x-3∣2≤x≤3
y6=x*0+1.5∣-3≤x≤3（注2）
然后是船尖
y7=x+3∣-1.5≤x≤0
y8=-x+3∣0≤x≤1.5
还可以加海鸥，是由两条抛物线和一条直线组成的.
（三）、探究式学习下的教学内容与教学模式的探讨
1、探究式学习方式适应的学习内容
学生的学习方式是多样的，传统的学习方式是一种接受式的学习方式，现在倡导学生进行探究式学习，合作交流式的学习，在教学中应当引导学生采取适当的学习方式进行学习。
通过实践得出，与探究式的学习方式相适应的学习内容可分为两类：
第一类为问题具有较强的开放性，具有较大的探索空间，此类问题多为课本知识的进一步拓展；第二类问题为涉及内容较有深度，问题较为明确，解决问题的过程体现了思维的深刻性，此类问题多为较难理解的课本知识.
2、探究式学习方式适应的教学模式
经过教学实践可将探究式学习下所用的教学模式总结为“问题解决”的教学模式.
“问题解决”的教学模式就是从问题出发，以数学思维方法为主线，以问题解决为目的，使数学教学成为数学活动的教学，数学思维的教学，再发现、再创造的教学.针对某些教学内容，采取这种教学模式对培养学生发散思维、创造性思维能力等方面有更好的效果.
对于上述与探究式学习方式相适应的两类学习内容，总结出“问题解决”教学模式的两种操作过程：
①适用于开放性问题的操作过程
②适用于较有深度的数学问题的操作过程：
三、引导学生进行探究式学习的体会与反思
（一）、问题的创设
探究式学习方式的关键是从激活问题出发，利用启发法引导学生进行“探索学习”.教学中教师的主导作用主要在把学生带入问题情景后，让学生在问题解决的过程中，获取知识，形成技能，发展思维，提高能力.这种学习方式是围绕问题展开的.因此，对于探究式的学习方式，教师应创设有价值的问题，问题应是学生经过分析思考，能够基本解答出来，既能让学生得到，又不能轻取.只有这样才能起到启发学生动脑、锻炼思维能力的作用.
（二）、因材施教
学生的思维能力是各不相同的，高中数学教育的最终目的也不是要将所有学生培养成数学专业的人才.钱学森教授曾指出：
“教育工作的最终机智在于人脑的思维过程.”思维活动的研究，是教学研究的基础，数学教学与思维的关系十分密切，数学教学就是指数学思维活动的教学，数学教学实质上就是学生在教师指导下，通过数学思维活动，学习数学家思维活动的成果，并发展数学思维，使学生的数学思维结构向数学家的思维结构转化的过程.但是数学思维能力中不是只有“数学推理能力”，如果从解析式入手因为代数恒等变形能力的差异，使部分学生的学习进程受阻，为什么不可以帮助他（她）换个角度思考，一方面激发探索的兴趣，另一方面得出结论后再证，使目标明确，也同样可以达到锻炼理论推导的目的.在学生对问题进行探究的过程中，由教师提出问题，不规定研究方法，学生可根据自己的情况选择不同的途径研究问题，允许学生采用不同的探究方式，这样使不同的学生在探究活动中都会得到锻炼.
（三）、情感体验
关注学生学习数学过程中的“情感体验”.调查表明，学生学习数学的感受大致分为以下几类：
第一，对学习内容和过程感到有趣；第二，虽然谈不上对学习有趣的感受，但完成学习任务或者取得好的成绩感觉到愉快和满足；第三，对考试和测验的焦虑，对考试成绩很担心；第四，对数学学习活动的厌倦.而且后三类占绝大多数学生.其实学生对某一学科兴趣的建立除学生自身因素以外，教师在本学科上的引导也是起很大影响的.做为一名数学教师，即使不能让所有的学生热爱数学，也不能作“灭火器”，令学生畏惧数学，厌恶数学.探究式学习方式考虑到学生在解决问题中的情感体验，努力使学生在解决问题的过程中充分体验发现数学规律的愉悦.
（四）、信息技术的介入
在上述课例中所展现的学生的探究活动中，学生利用了图形计算器对问题进行研究。
实际上，学生还可以利用几何画板等软件进行探究。
图形计算器的介入主要作用在于给
学生研究问题提供一个更广阔的平台，改变原有的一支笔，一张纸的旧有模式，通过运用图形计算器可以将数学实验引进课堂，使学生在数学实验的探索中，凭借自己的观察、猜测、探究，他们的智慧以及对数学的理解去“作数学”.我们希望通过让信息技术的介入，激励学生对数学过程的欣赏，成为主动的学习者.
结束语：
新的教育理念下的教学活动不仅是要教学生学会知识，更主要的任务是教
给学生学习知识的方法，培养学生主动获取知识的能力，为学生成为一个终生学习者打好基础.
为了达到创设一个欣赏数学、探索数学的学习环境，做了一些初步的尝试和探索，学生学习方式的转变需要长期的实践与探索，今后还将在教学实践中坚持不懈地努力，使得学生通过我们的数学教育不仅能够获取知识而且能够拥有学习的智慧。
参考文献
1.郅庭瑾《教会学生思维》教育科学出版社2001年12月第1版
2.李果民《中学数学教学建模》广西教育出版社2003年5月第1版
3.王尚志《数学教学研究与案例》高等教育出版社2006年12月第1版
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