系统的模拟图与框图.docx

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系统的模拟图与框图

6-4 系统的模拟图与框图

一、 三种运算器

系统模拟中应用的运算器有三种：

加法器、数乘器（也称标量乘法器）和积分器。

三种运算器的表示符号及其时域、s域中输入与输出的关系，如表6-3中所示。

二、系统模拟的定义与系统的模拟图

在实验室中用三种运算器：

加法器、数乘器和积分器来模拟给定系统的数学模型——微分方程或系统函数H（s），称为线性系统的模拟，简称系统模拟。

经过模拟而得到的系统称为模拟系统。

从系统模拟的定义可看出，所谓系统模拟，仅是指数学意义上的模拟。

模拟的不是实际的系统，而是系统的数学模型——微分方程或系统函数H（s）。

这就是说，不管是任何实际系统，只要它们的数学模型相同，则它们的模拟系统就一样，就可以在实验室里用同一个模拟系统对系统的特性进行研究。

例如当系统参数或输入信号改变时，系统的响应如何变化，系统的工作是否稳定，系统的性能指标能否满足要求，系统的频率响应如何变化，等等。

所有这些都可用实验仪器直接进行观测，或在计算机的输出装置上直接显示出来。

模拟系统的输出信号，就是系统微分方程的解，称为模拟解。

这不仅比直接求解系统的微分方程来得简便，而且便于确定系统的最佳参数和最佳工作状态。

这正是系统模拟的重要实用意义和理论价值。

在工程实际中，三种运算器：

加法器、数乘器和积分器，都是用含有运算放大器的电路来实现，这在电路基础课程中已进行了研究，不再赘述。

系统模拟一般都是用模拟计算机或数字计算机实现，也可在专用的实验设备上实现。

由加法器、数乘器和积分器连接而成的图称为系统模拟图，简称模拟图。

模拟图与系统的微分方程（或系统函数H（s））在描述系统特性方面是等价的。

三、常用的模拟图形式

常用的模拟图有四种形式：

直接形式、并联形式、级联形式和混联形式。

它们都可以根据系统的微分方程或系统函数H（s）画出。

在模拟计算机中，每一个积分器都备有专用的输入初始条件的引入端，当进行模拟实验时，每一个积分器都要引入它应有的初始条件。

有了这样的理解，下面画系统模拟图时，为简明方便，先设系统的初始状态为零，即系统为零状态。

此时，模拟系统的输出信号，就只是系统的零状态响应了。

1．直接形式

设系统微分方程为二阶的，即

      （6-15）

为了画出其直接形式的模拟图，将式（6-15）改写为

根据此式即可画出时域直接形式的模拟图，如图6-18（a）所示。

可见图中有两个积分器（因为微分方程是二阶的），有两个数乘器和一个加法器。

图中各变量之间的关系，一目了然，无需赘述。

若将式（6-15）进行拉普拉斯变换即有

         （6-16）

或                        

   （6-17）

根据此式即可画出s域直接形式的模拟图，如图6–18（b）所示。

                 图6-18

将图6–18（a）和（b）对照，可看出两者的结构完全相同，仅是两者的变量表示形式不同。

图（a）中是时域变量，图（b）中则是s域变量，而且两者完全是对应的。

所以，为简便，以后就不必要将两种图都画出了，而只需画出二者之一即可。

根据式（6-16）可求出系统函数为

    （6-18）

将式（6-18）与图6-18（b）进行联系对比，不难看出，若系统函数H（s）已知，则根据H（s）直接画出s域直接形式模拟图的方法也是一目了然的。

若系统的微分方程为如下的形式：

       （6-19）

则其系统函数（这里取m=n=2）为

（6-20）

为了画出与此微分方程或H（s）相对应的直接形式的模拟图，可引入中间变量x（t），使之满足下式，即

（6-21）

故有                      

                                （6-22）

与此式相对应的模拟图如图6-19（a）的下面部分所示。

将式（6-21）分别相继乘以

系数，即有

         （6-23）

                        （6-24）

                           （6-25）

将式（6-24）求导一次，将式（6-25）求导两次，即有

此两式又可写为

                       （6-26）

                        （6-27）

将式（6-23），式（6-26），式（6-27）相加并归并同类项即得

      （6-28）

将式（6-28）与式（6-19）比较，可看出必有

                                                  （6-29）

根据式（6-29）即可画出与之对应的模拟图，如图6–19（a）中的上面部分所示。

这样，就得到了与式（6-19）相对应的完整的直接形式的模拟图，如图6–19（a）所示。

与式（6-19）相对应的s域直接形式的模拟图如图6–19（b）所示。

此图也可根据系统函数H（s）的表示式（6-20）直接画出，其步骤和方法一目了然，也无需赘述。

从图6-19中看出，图中有两个积分器（因微分方程是二阶的）、两个加法器（因式（6-19）中等号左端和右端各有一个求和式）和五个数乘器。

推广若系统的微分方程为n阶的，且设m=n，即

（6–30a）

则其系统函数为

（6–30b）

或                  

（6–30c）

仿照上面的结论，可以很容易地画出与上两式相对应的时域和s域直接形式的模

 图6-19 （a）时域，（b）s域

拟图。

请读者自己画出。

需要指出，直接形式的模拟图，只适用于m≤n的情况。

因当m＞n时，就无法模拟了。

2．并联形式

设系统函数仍为式（6-20），即

                         （6–31a）

将式（6-31a）化成真分式并将余式

展开成部分分式，即

     （6–31b）

式中

为H（s）的单阶极点

为部分分式的待定系数，它们都是可以求得的。

根据式（6-31b）即可画出与之对应的并联形式的模拟图，如图6-20所示。

特例：

若

=0，则图中最上面的支路即断开了。

若系统函数H（s）为n阶的，则与之对应的并联形式的模拟图，也可如法炮制。

请读者研究。

并联模拟图的特点是，各子系统之间相互独立，互不干扰和影响。

      图6-20

并联模拟图也只适用于m≤n的情况。

3．级联形式

设系统函数仍为式（6-20），即

                       （6-32）

式中，

为H（s）的单阶极点；

，

为H（s）的单阶零点。

它们都是可以求得的。

根据式（6-32），即可画出与之对应的级联形式的模拟图，如图6-21所示。

              图6-21

图6-21若系统函数H（s）为n阶的，则与之对应的级联形式的模拟图，也可仿效画出。

级联模拟图也只适用于m≤n的情况。

4．混联形式

例如，设

进而再改写成

                                                  （6-33）

根据式（6-33）即可画出与之对应的混联形式的模拟图，如图6-22所示。

最后还要指出两点：

             图6-22

（1）一个给定的微分方程或系统函数H（s），与之对应的模拟图可以有无穷多种，上面仅给出了四种常用的形式。

同时也要指出，实际模拟时，究竟应采用哪一种形式的模拟图为好，这要根据所研究问题的目的、需要和方便性而定。

每一种形式的模拟图都有其工程应用背景。

（2）按照模拟图利用模拟计算机进行模拟实验时，还有许多实际的技术性问题要考虑。

例如，需要做有关物理量幅度或时间的比例变换等，以便各种运算单元都能在正常条件下工作。

因此，实际的模拟图会有些不一样。

四、系统的框图

一个系统是由许多部件或单元组成的，将这些部件或单元各用能完成相应运算功能的方框表示，然后将这些方框按系统的功能要求及信号流动的方向连接起来而构成的图，即称为系统的框图表示，简称系统的框图。

例如图6-23即为一个子系统的框图，其中图6-23（a）为时域框图，它完成了激励f（t）与单位冲激响应h（t）的卷积积分运算功能；图6-23（b）为s域框图，它完成了F（s）与系统函数H（s）的乘积运算功能。

图6–23 （a）时域框图（b）s域框图

系统框图表示的好处是，可以一目了然地看出一个大系统是由哪些小系统（子系统）组成的，各子系统之间是什么样的关系，以及信号是如何在系统部流动的。

应注意，系统的框图与模拟图不是一个概念，两者涵义不同。

例6–14已知，试用级联形式、并联形式和混联形式的框图表示之。

解：

（1）级联形式。

将H（s）改写为

式中，

。

其框图如图6-24所示。

由图即可得

故得

             图6-24

（2）并联形式。

将上面的H（s）改为

式中，

。

其框图如图6-25所示。

由图可得

故得               

（3）混联形式。

将H（s）改写为

式中，

。

其框图如图6-26所示。

由图可得

  图6–25

     图6–26

故得

例6-15求图6-27所示系统的系统函数

。

图6–27

解：

引入中间变量

，如图6-27所示。

故有

解之得

例6-16图6-28所示系统，今欲使

，求子系统的传输函数

。

图6–28

解：

引入中间变量X（s），如图中所示。

故有

又有

上三式联解得

（10分）考虑一个LTI系统，其输入和输出关系通过如下方程联系

（1）求该系统的单位冲激响应；

（2）当输入信号

时，求输出信号。

解：

（1）令

，则

还有另外两种方法，也可以。

（2）