高中数学第四章函数应用复习二教案北师大版必修1.docx

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高中数学第四章函数应用复习二教案北师大版必修1

2019-2020年高中数学第四章函数应用复习二教案北师大版必修1

【教学目标】

１．知识技能：

（１）培养学生由实际问题转化为教学问题的建模能力。

（２）使学生会利用函数图象的和性质，对函数进行处理，得出数学结论，并根据数学结论解决实际问题。

（３）通过学习函数基本模型的应用，初步向学生渗透理论与实践的辨证关系。

2．过程与方法：

（１）通过实际问题情境，使学生了解实际问题中量与量之间的变化规律，可以用函数来刻画，研究函数的性质就等价于研究实际问题中量与量之间的函数关系。

（２）通过学生的讨论、探究，使学生会将实际问题抽象、概括，化归为函数问题，进而逐步培养学生解决实际问题的能力。

３．情感、态度与价值观：

（１）体会事物发展变化的“对立统一”规律，培养学生辨证唯物主义思想。

（２）教育学生爱护环境，维护生态平衡。

（３）体会研究函数问题的一般方法，体验由具体到抽象的思维过程，感受常用的简单重要函数模型在实际问题中的作用，领悟方程与数形结合的数学思想，培养学生的合作意识，概括归纳能力和科学的思维方式。

【教学重点】常用简单函数模型的应用。

【教学难点】实际问题的函数刻画化归。

【教学方法】利用多媒体教学手段，教师引导启发，学生交流合作、讨论、观察、分析、概括、归纳、总结，达到教学目标的要求。

【教学过程】

复习:

常用简单函数模型的应用

例1．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y＝f（x），一种是平均价格曲线y＝g（x）（如f

（2）＝3表示开始交易后第2小时的即时价格为3元；g

（2）＝4表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为4元）.下面所给出的四个图象中，实线表示y＝f（x），虚线表示y＝g（x），其中可能正确的是（）

ABCD

解析：

本题考查函数及其图像的基本思想和方法，考查学生看图识图及理论联系实际的能力.

刚开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，A错误；开始交易后，平均价格应该跟随即使价格变动，在任何时刻其变化幅度应该小于即时价格变化幅度，B、D均错误.故选C.

答案：

C

练习1.在股票买卖过程中，经常用两种曲线：

一种是即时价格曲线（实线表示），另一种是平均价格曲线（虚线表示）（如是指开始买卖后第三个小时的即时价格为元；表示三小时内的平均价格为元）。

下列给出的四个图象中，其中可能正确的是

ABCD

答案：

C

2．为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：

发送

解密

加密

明文密文密文明文

已知加密为为明文、为密文，如果明文“”通过加密后得到密文为“”，

再发送，接受方通过解密得到明文“”，若接受方接到密文为“”，则原发的明文

是。

解析：

依题意中，当时，，故，解得，所以加密为，因此，当时，由，解得。

答案:

4

例2．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒。

已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：

（Ⅰ）写出从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式.

（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室?

解:

（Ⅰ）由已知和图得,当时,函数为,因为过点（0.1,1）所以k=10,所以函数为,又因为当t>0.1时,过点（0.1,1）,所以,所以函数为,所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为

（Ⅱ）当,即,即

所以从药物释放开始，至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室.

练习:

3．甲同学家到乙同学家的途中有一公园,甲到公园的距离与乙到公园的距离都是.如图表示甲从家出发到乙同学家为止经过的路程与时间的关系,其中甲在公园休息的时间是,那么的表达式为.

答案：

4．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：

分），可以有以下公式：

f（x）＝

（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？

能维持多少分钟？

（2）开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？

（3）一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？

解：

（1）当0＜x≤10时，f（x）＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1（x－13）2＋59.9

故f（x）在0＜x≤10时递增，最大值为f（10）＝－0.1（10－13）2＋59.9＝59

当10＜x≤16时，f（x）≡59

当x＞16时，f（x）为减函数，且f（x）＜59

因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力（为59），能维持6分钟时间.

（2）f（5）＝－0.1（5－13）2＋59.9＝53.5

f（20）＝－3×20＋107＝47＜53.5

故开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些.

（3）当0＜x≤10时，令f（x）＝55，解得x＝6或20（舍）

当x＞16时，令f（x）＝55，解得x＝17

因此学生达到（含超过）55的接受能力的时间为17

－6＝11

＜13（分）

老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题.

例3.如图2．9－1，一动点P自边长为1的正方形ABCD的顶点A出发，沿正方形的边界运动一周，再回到A点．若点P的路程为x，点P到顶点A的距离为y，求A、P两点间的距离y与点P的路程x之间的函数关系式．

解

（1）当点P在AB上，即0≤x≤1时，AP＝x，也就是y＝x．

（2）当点P在BC边上，即1＜x≤2时，AB=1，AB＋BP＝x，BP＝x－1，根据勾股定理，得AP2＝AB2＋BP2

（3）当点P在DC边上，即2＜x≤3时，AD＝1，DP＝3－x．根据勾股定理，得AP2=AD2＋DP2．

（4）当点P在AD边上，即3＜x≤4时，有y=AP＝4－x．

∴所求的函数关系式为

练习5.要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户（如图2．9－2所示），在窗框为定长l的条件下，要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？

解设半圆的直径为x，矩形的高度为y，窗户透光面积为S，则

面积最大．

说明应用二次函数解实际问题，关键是设好适当的一个变量，建立目标函数．

课后练习:

1．客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是（）

A.B.C.D.

2．现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t的函数关系的是

ABCD

3．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（　）

A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　　D．

作业:

复习参考题四B组1,2

2019-2020年高中数学第四章函数应用阶段质量评估北师大版必修

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．函数y＝（x－1）（x2－2x－3）的零点为（　　）

A．1，2，3B．1，－1，3

C．1，－1，－3D．无零点

解析：

　令y＝（x－1）（x2－2x－3）＝0，解得x＝1，－1，3，故选B.

答案：

　B

2．下列函数中没有零点的是（　　）

A．f（x）＝log2x－3B．f（x）＝

－4

C．f（x）＝

D．f（x）＝x2＋2x

解析：

　由于函数f（x）＝

中，对任意自变量x的值，均有

≠0，故该函数不存在零点．

答案：

　C

3．如图所示的函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是（　　）

A．①③B．②④

C．①②D．③④

解析：

　对于①③在函数零点两侧函数值的符号相同，故不能用二分法求．

答案：

　A

4．已知函数f（x）＝ex－x2＋8x，则在下列区间中f（x）必有零点的是（　　）

A．（－2，－1）B．（－1，0）

C．（0，1）D．（1，2）

解析：

　f（－1）＝

－9<0，f（0）＝e0＝1>0，f（x）是连续函数，故f（x）在（－1，0）上有一零点．

答案：

　B

5．若函数f（x）的图像是连续不断的，且f（0）>0,f

（1）·f

（2）·f（4）<0，则下列说法中正确的是（　　）

A．函数f（x）在区间（0，1）内有零点B．函数f（x）在区间（1，2）内有零点

C．函数f（x）在区间（0，2）内有零点D．函数f（x）在区间（0，4）内有零点

解析：

　因为f（0）>0，f

（1）·f

（2）·f（4）<0，则f

（1），f

（2），f（4）恰有一负两正或三个都是负的，函数的图像与x轴相交有多种可能．例如，

所以函数f（x）必在区间（0，4）内有零点．

答案：

　D

6．二次函数y＝x2＋px＋q的零点为1和m，且－1

A．p>0且q<0　　　　　　B．p>0且q>0

C．p<0且q>0D．p<0且q<0

解析：

　由已知得f（0）<0，－

>0，解得q<0，p<0.

答案：

　D

7．若x0是方程lnx＋x＝4的解，则x0属于区间（　　）

A．（0，1）B．（1，2）

C．（2，3）D．（3，4）

解析：

　构造函数f（x）＝lnx＋x－4，则函数f（x）的图像是连续不断的一条曲线，又f

（2）＝ln2＋2－4<0，f（3）＝ln3＋3－4>0，所以f

（2）·f（3）<0，故函数的零点所在区间为（2，3），即方程lnx＋x＝4的解x0属于区间（2，3），故选C.

答案：

　C

8．若函数f（x）＝ax＋b只有一个零点2，那么函数g（x）＝bx2－ax的零点是（　　）

A．0，2B．0，－

C．0，

D．2，

解析：

　函数f（x）＝ax＋b只有一个零点2，则2a＋b＝0，所以b＝－2a（a≠0），所以g（x）＝－2ax2－ax＝－ax（2x＋1），故函数g（x）有两个零点0，－

，故选B.

答案：

　B

9．当x∈（4，＋∞）时，f（x）＝x2，g（x）＝2x，h（x）＝log2x的大小关系是（　　）

A．f（x）>g（x）>h（x）B．g（x）>f（x）>h（x）

C．g（x）>h（x）>f（x）D．f（x）>h（x）>g（x）

解析：

　在同一坐标系中，画出三个函数的图像，如右图所示．

当x＝2时，f（x）＝g（x）＝4，当x＝4时，f（x）＝g（x）＝16，

当x>4时，g（x）图像在最上方，h（x）图像在最下方，故g（x）>f（x）>h（x）．

答案：

　B

10．为了改善某地的生态环境，政府决心绿化荒山，计划第一年先植树0.5万亩，以后每年比上年增加1万亩，结果第x年植树亩数y（万亩）是时间x（年）的一次函数，这个函数的图像是（　　）

解析：

　函数解析式为y＝x＋0.5，故选A.

答案：

　A

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上）

11．用二分法求方程x3＋4＝6x2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间（0，1）内，则下一步可断定该根所在的区间为________．

解析：

　设f（x）＝x3－6x2＋4，

显然f（0）>0，f

（1）<0，

又f

＝

－6×

＋4>0，

∴下一步可断定方程的根所在的区间为

.

答案：

12．函数f（x）＝x3－x2－x＋1在[0，2]上的零点有________个．

解析：

　x3－x2－x＋1＝（x－1）2（x＋1），

由f（x）＝0得x＝1或x＝－1.

∴f（x）在[0，2]上有1个零点．

答案：

　1

13．已知函数f（x）＝

若函数y＝f（x）－k有两个零点，则实数k的取值范围是________．

解析：

　画出分段函数f（x）的图像如图所示．

结合图像可以看出，函数y＝f（x）－k有两个零点，即y＝f（x）与y＝k有两个不同的交点，k的取值范围为（0，1）．

答案：

　（0，1）

14．已知函数t＝－144lg

的图像可表示打字任务的“学习曲线”，其中t（小时）表示达到打字水平N（字/分钟）所需的学习时间，N（字/分钟）表示每分钟打出的字数，则按此曲线要达到90字/分钟的水平，所需的学习时间是________小时．

解析：

　当N＝90时，t＝－144lg

＝144.

答案：

　144

三、解答题（本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（12分）若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求实数a的取值范围．

解析：

（1）若a＝0，则f（x）＝－x－1为一次函数，函数必有一个零点－1.

（2）若a≠0，函数是二次函数，因为二次方程ax2－x－1＝0只有一个实数根，所以Δ＝1＋4a＝0，得a＝－

.

综上，当a＝0和－

时函数只有一个零点．

16．（12分）以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解（精确度0.1）的不完整的过程，请补充完整，并写出结论．

设函数f（x）＝x3＋3x－5，其图像在（－∞，＋∞）上是连续不断的一条曲线．

先求值：

f（0）＝________，f

（1）＝________，f

（2）＝________，f（3）＝________．

所以f（x）在区间________内存在零点x0，填表：

区间

中点m

f（m）的符号

区间长度

结论：

________________________________________________________________________.

解析：

　－5　－1　9　31　（1，2）

区间

中点m

f（m）的符号

区间长度

（1，2）

1.5

＋

1

（1，1.5）

1.25

＋

0.5

（1，1.25）

1.125

－

0.25

（1.125，1.25）

1.1875

＋

0.125

（1.125，1.1875）

0.0625

∵|1.1875－1.125|＝0.0625<0.1，

∴原方程的近似解可取为1.1875.

17．（13分）某商品在近100天内，商品的单位f（t）（元）与时间t（天）的函数关系式如下：

f（t）＝

销售量g（t）与时间t（天）的函数关系式是（　　）

g（t）＝－

＋

（0≤t≤100，t∈Z）．

这种商品在这100天内哪一天的销售额最高？

解析：

　依题意，该商品在近100天内日销售额F（t）与时间t（天）的函数关系式为F（t）＝f（t）·g（t）＝

（1）若0≤t≤40，t∈Z，则F（t）＝

＝－

（t－12）2＋

，当t＝12时，F（t）max＝

（元）．

（2）若40

F（t）＝

＝

（t－108）2－

，∵t＝108>100，

∴F（t）在（40，100]上递减，∴当t＝41时，F（t）max＝745.5.

∵

>745.5，∴第12天的日销售额最高．

18．（13分）据气象中心观察和预测：

发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图像如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）．

（1）当t＝4时，求s的值；

（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；

（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？

如果不会，请说明理由．

解析：

（1）由图像可知：

当0≤t≤10时，v＝3t，则

当t＝4，v＝3×4＝12，

故s＝

×4×12＝24.

（2）当0≤t≤10时，

s＝

·t·3t＝

t2，

当10

s＝

×10×30＋30（t－10）＝30t－150；

当20

s＝

×10×30＋10×30＋（t－20）×30－

×（t－20）×2（t－20）＝－t2＋70t－550.

综上，可知s＝

（3）∵t∈[0，10]时，smax＝

×102＝150<650，

t∈（10，20]时，smax＝30×20－150＝450<650，

∴当t∈（20，35]时，令－t2＋70t－550＝650.

解得t1＝30，t2＝40.

∵20

∴t＝30.

即沙尘暴发生30h后将侵袭到N城．