新北师大版九年级上册第二章一元二次方程全章教案.docx
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新北师大版九年级上册第二章一元二次方程全章教案
第二章一元二次方程
2.1认识一元二次方程-
（1）
晋公庙中学数学组
学习目标：
1、会根据具体问题列出一元二次方程。
通过“花边有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的分析，列出方程，体会方程的模型思想，
2．通过分析方程的特点，抽象出一元二次方程的概念，培养归纳分析的能力
3．会说出一元二次方程的一般形式，会把方程化为一般形式。
学习重点：
一元二次方程的概念
学习难点：
如何把实际问题转化为数学方程
学习过程：
一、导入新课：
什么是一元一次方程？
什么是二元一次方程？
？
二、自学指导：
1、自主学习：
自学课本31页至32页内容，独立思考解答下列问题：
1）情境问题：
列方程解应用题：
一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m。
苗圃的长和宽各是多少？
设未知数列方程。
你能将方程化成ax2+bx+c=0的形式吗？
阅读课本P48，回答问题：
1）什么是一元二次方程？
2）什么是一元二次方程的一般形式？
二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项？
2、合作交流：
1.一元二次方程应用举例：
1）一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽?
列方程并化成一般形式。
2）求五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。
如果设中间的一个数为x，列方程并化成一般形式。
3）如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米?
列出方程并化简。
如果设梯子底端滑动xm，列方程并化成一般形式。
2.知识梳理：
1）一元二次方程的概念：
强调三个特征：
①它是______方程；②它只含______未知数；③方程中未知数的最高次数是__________.
一元二次方程的一般形式：
在任何一个一元二次方程中，_______是必不可少的项．
2）几种不同的表示形式：
①ax2+bx+c=0（a≠0,b≠0,c≠0）②___________（a≠0,b≠0,c=0）
③____________（a≠0,b=0,c≠0）④___________（a≠0,b=0,c=0）
三、当堂训练
1、判断下列方程是不是一元二次方程,并说明理由。
（1）x2-y=1
（2）1/x2-3=2（3）2x+x2=3（4）3x-1=0
（5）（5x+2）（3x-7）=15x2（k为常数）（6）ax2+bx+c=0（7）
2、.当a、b、c满足什么条件时，方程（a-1）x2-bx+c＝0是关于x的一元二次方程?
这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?
当a、b、c满足什么条件时，方程（a-1）x2-bx+c＝0是关于x的一元一次方程
3、下列关于x的方程中，属于一元二次方程的有几个（）
①
，②
，
③
④
，
⑤
，⑥
A．6个B．5个C．4个D．3个
4.
化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常项分别为（）.
5.关于x的方程（k2－1）x2＋2（k－1）x＋2k＋2＝0,当k______时，是一元二次方程．,当k_______时，是一元一次方程．
6.当m=_________时，方程
是关于x的一元二次方程。
四、课堂小结：
一元二次方程的一般形式：
ax2+bx+c=0（a,b,c为常数，a≠0）
其中ax2，bx，c分别为二次项，一次项及常数项
五、作业：
基础题：
课本32页随堂练习1、2，知识技能2
提高题：
课本32页知识技能1
板书设计：
2.1一元二次方程
（1）
一元二次方程的一般形式：
ax2+bx+c=0（a,b,c为常数，a≠0）
其中ax2，bx，c分别为二次项，一次项及常数项
教学反思：
2.1一元二次方程
（2）
晋公庙中学数学组
学习目标：
1、探索一元二次方程的解或近似解；
2．提高估算意识和能力；
3.通过探索方程的解，增进对方解的认识，发展估算意识和能力。
学习重点：
探索一元二次方程的解或近似解
学习难点：
估算意识和能力的培养．
一、导入新课：
1．什么叫一元二次方程？
它的一般形式是什么？
2．指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
（1）2x2―x＋1＝0
（2）―x2＋1＝0（3x2―x＝0
（4）―
x2＝0（5）（8-2x）（5-2x）=18
二、自学指导：
1、P31花边问题中方程的一般形式：
________________________，你能求出x吗？
（1）x可能小于0吗？
说说你的理由；
（2）x可能大于4吗？
可能大于2.5吗？
为什么？
（3）完成下表
x
0.5
1
1.5
2
（8-2x）（5-2x）
（4）你知道地毯花边的宽x（m）是多少吗？
还有其他求解方法吗？
与同伴交流
2、合作探究
通过估算求近似解的方法：
先根据实际问题确定其解的大致范围，再通过具体的列表计算进行两边“夹逼”，逐步求得近似解。
三、例题解析
例题1：
P31梯子问题
梯子底端滑动的距离x（m）满足（x＋6）2＋72＝102
一般形式：
______________________
（1）你认为底端也滑动了1米吗？
为什么？
（2）底端滑动的距离可能是2m吗？
可能是3m吗？
（3）你能猜出滑动距离x（m）的大致范围吗？
x的整数部分是几？
（4）填表计算：
x
0
0.5
1
1.5
2
x2＋12x―15
进一步计算
x
x2＋12x―15
十分位是几？
照此思路可以估算出x的百分位和千分位。
四、当堂训练：
1、见课本P34页随堂练习
2．一元二次方程
有两个解为1和-1，则有
____________，且有
________.
3．若关于x的方程
有一个根为-1，则m=_____________.
4．用平方根的意义求下列一元二次方程的准确解：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
5、用直接开平方法解下列一元二次方程：
（1）
（2）
（3）
五、课堂小结：
本节课我们通过解决实际问题，探索了一元二次方程的解或近似解，并了解了近似计算的重要思想——“夹逼”思想．估计方程的近似解可用列表法求，估算的精度不要求很高
六、作业
基础题：
35页知识技能1
提高题：
1.完成基础题；2.课本35页知识技能2，数学理解3
板书设计：
2.1一元二次方程
（2）
求一元二次方程近似解，首先列表，利用未知数的取值，根据一元二次方程
的一般形式ax2+bx+c=0（a,b,c为常数，a≠0）找到使方程左边可能等于0的未知数的取值范围，再进一步在这个范围缩小未知数的取值范围，根据需要，估算出一元二次方程的近似解。
教学反思：
2.2用配方法求解一元二次方程
（1）
晋公庙中学数学组
学习目标：
1．会用开平方法解形如（x＋m）2＝n（n≥0）的方程；
2．理解一元二次方程的解法——配方法．
3．把一元二次方程通过配方转化为（x十m）2＝n（n≥0）的形式，体会转化的数学思想。
学习重点：
会利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
学习难点：
把一元二次方程通过配方转化为（x十m）2＝n（n≥0）的形式
学习过程：
一、导入新课：
1．用直接开平方法解下列方程：
（1）x2＝9
（2）（x＋2）2＝16
2．什么是完全平方公式？
利用公式计算：
（1）（x＋6）2
（2）（x－
）2
注意：
它们的常数项等于______________________________。
二、自学指导：
1、自主学习
预习课本36-37页,解方程：
x2＋12x－15＝0（配方法）
解：
移项，得：
________________
配方，得：
__________________.（两边同时加上__________的平方）
即：
_____________________
开平方，得：
_____________________
即：
______________________
所以：
_________________________
配方法：
通过配成_____________的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。
2、合作交流：
配方：
填上适当的数，使下列等式成立：
（1）x2＋12x＋_____＝（x＋6）2
（2）x2―4x＋______＝（x―____）2
（3）x2＋8x＋______＝（x＋_____）2
从上可知：
常数项配上______________________________.
三、例题解析
例1.解方程：
x
十8x一9＝0.
解：
可以把常数项移到方程的右边，得x
十8x=9
两边都加42（一次项系数8的一半的平方），得
x
十8x+42=9+42
即（X+4）2=25
两边开平方，得X+4=±5
即X+4=5，或X+4=-5
所以X1=1,X2=-9
四、当堂训练
1.一元二次方程x2－2x－m=0，用配方法解该方程，配方后的方程为（）
A.（x－1）2=m2+1B.（x－1）2=m－1C.（x－1）2=1－mD.（x－1）2=m+1
2．用配方法解下列方程：
（1）x
一l0x十25＝7；
（2）
（3）x
＋3x＝1；（4）x
＋2x十2＝8x＋4；
【拓展延伸】
1．关于x的方程（x+m）2=n,下列说法正确的是（）
A.有两个解x=±B.两个解x=±－m
C.当n≥0时，有两个解x=±D.当n≤0时，方程无实根
五、课堂小结：
怎样用配方法解二次项系数为1的一元二次方程？
六、作业：
1.习题2.3第1.2题.
2.习题2.3第1.2题.
板书设计：
2.2用配方法求解一元二次方程
（1）
用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：
1.移项，把方程的常数项移到方程的右边，使方程的左边只含二次项和一次项；
2.配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为（x+m）2=n（n≥0）的形式；
3.用直接开平方法求出它的解.
教学反思：
2.2用配方法求解一元二次方程
（2）
晋公庙中学数学组
学习目标：
1．会利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．
2．进一步理解配方法的解题思路，掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤．
学习重点：
会利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．
学习难点：
理解配方法的解题思路
学习过程：
一、导入新课：
1．用配方法解方程
（1）x2＋4x＋3＝0
（2）x2-2x＝1
二、自学指导：
1、自主学习
例2：
解方程：
3x2＋8x―3＝0
解：
两边都除以____，得：
移项，得：
配方，得：
（方程两边都加上________________的平方）
开平方，得：
所以:
2、合作交流：
归纳：
用配方法解一元二次方程的步骤：
1.把二次项系数化为1
2.移项，方程的左边只含二次项和一次项，右边为常数项；
3.配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；
3.用直接开平方法求出方程的根.
三、例题解析
例1.解方程：
x
十8x一9＝0.
解：
可以把常数项移到方程的右边，得x
十8x=9
两边都加42（一次项系数8的一半的平方），得
x
十8x+42=9+42
即（X+4）2=25
两边开平方，得X+4=±5
即X+4=5，或X+4=-5
所以X1=1,X2=-9
四、当堂训练
1.用配方法解下列方程时，配方错误的是（）．
A．
，化为
B．
，化为
C．
，化为
D．
，化为
2．用配方法解下列方程：
（1）3x2-9x+2=0
（2）
（3）4x2-8x-3=0
【拓展延伸】
一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：
h＝15t―5t2。
小球何时能达到10m高？
五、课堂小结：
怎样用配方法解二次项系数为1的一元二次方程？
六、作业：
基础题：
1.习题2.4第1.2题.
提高题：
2.习题2.4第3题.
板书设计：
2.2用配方法求解一元二次方程
（2）
用配方法解一元二次方程的步骤：
1.把二次项系数化为1
2.移项，方程的左边只含二次项和一次项，右边为常数项；
3.配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；
3.用直接开平方法求出方程的根.
教学反思：
2.3用公式法求解一元二次方程
（1）
晋公庙中学数学组
学习目标：
1.知道一元二次方程的求根公式的推导；
2．会用公式法解简单数字系数的一元二次方程.
3.认识根的判别式，会用根的判别式判别一元二次方程根的情况并能解答相关题型.
学习重点：
学会用公式法解一元二次方程．
学习难点：
用配方法推到一元二次方程求根公式的过程.
学习过程：
一、导入新课：
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
2、把下列方程化成（x+m）2=n的形式：
（1）x2-8x＋3＝0
（2）
x2-3x-5＝0
3、请结合一元二次方程的一般形式，说出上述方程中的a、b、c的值分别是多少？
二、自学指导：
1、自主学习
认真阅读P41～42页例题之前内容：
（1）、一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当b2－4ac≥0时，它的根是x＝
注意：
当b2－4ac<0时，一元二次方程无实数根。
（2）、公式法：
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。
利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
2、合作交流：
（1）你能解一元二次方程x2-2x+3=0吗？
你是怎么想的？
（2）对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当b2－4ac＜0时，它的根的情况是怎样的？
归纳：
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），
①当b2－4ac____0时，方程有两个不相等的实数根；
②当b2－4ac_____0时，方程有两个相等的实数根；
③当b2－4ac______0时，方程无实数根。
由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可由b2－4ac来判定.我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用希腊字母“△”来表示。
三、例题解析
例1.解方程：
（1）x2-7x―8＝0
（2）4x2+1=4x
解：
（2）将原方程化为一般形式，得：
4x2-4x+1=0
这里a=4，b=-4,c=1.
∵b2－4ac=（-4）2-4×4×1=0
∴x=
=
即X1=X2=
四、当堂训练
1.不解方程,判断下列方程的根的情况：
（1）2x2+5=7x
（2）3x2+2x+1=0
（3）4x（x+1）+3=0（4）4（y2+0.09）=2.4y
2．用公式法解下列方程：
（1）2x2-9x+8=0
（2）9x2+6x+1=0
（3）16x2+8x=3（4）x（x-3）+5=0
五、课堂小结：
用公式法解一元二次方程的步骤：
1.化成一般形式；
2.确定a,b,c的数值；
3.求出b2－4ac的数值，并判别其是否是非负数；
4.若b2－4ac≥0，用求根公式求出方程的根；若b2－4ac<0，直接写出原方程无解，不要代入求根公式。
六、作业：
基础题：
1.习题2.5第1、2题.
提高题：
2.习题2.5第3、4题.
板书设计：
2.3用公式法求解一元二次方程
一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当b2－4ac≥0时，它的根是x＝
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），
①当b2－4ac____0时，方程有两个不相等的实数根；
②当b2－4ac_____0时，方程有两个相等的实数根；
③当b2－4ac______0时，方程无实数根。
教学反思：
2.3用公式法求解一元二次方程
（2）
晋公庙中学数学组
学习目标：
1.会根据具体情境构建一元二次方程解决实际问题，体会方程模型思想.
2．进一步熟练求解一元二次方程.
3．会解决简单的开放性问题，即如何设计方案问题
学习重点：
会根据具体情境构建一元二次方程，并能熟练求解，从而解决实际问题，体会方程模型思想.
学习难点：
会解决简单的开放性问题，即如何设计方案问题.
学习过程：
一、导入新课：
1、用配方法解方程：
（1）x2-8x＋3＝0
（2）
x2-3x-5＝0
2、用公式法解方程：
（1）2x2-9x+8=0
（2）16x2+8x=3
二、合作探究：
1.在一块长为16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，你能给出设计方案吗？
小明：
我的设计方案如右图所示，其中
花园四周小路的宽度相等。
（1）设花园四周小路的宽度均为xm，可列怎样
的一元二次方程？
（2）求出一元二次方程的解？
（3）这两个解都合要求吗？
为什么？
2．小亮：
我的设计方案如图所示，其中花园每个角上
的扇形都相同。
你能帮小亮求出图中的x吗？
（1）设花园四角的扇形半径均为xm，可列
怎样的一元二次方程？
（2）估算一元二次方程的解是什么？
（∏取3）
（3）符合条件的解是多少？
3、你还有其他设计方案吗？
请设计出来与同伴交流。
三、课堂练习
1、课本44页随堂练习1，对于本课花园设计问题，小颖的方法如图所示，你能帮她求出图中的x吗？
2、课本p45第2题。
四、课堂小结：
1、本节内容的设计方案不只一种，只要符合条件即可。
2、一元二次方程的解一般有________个，要根据_________舍去不合题意的解。
五、作业：
基础题：
1.习题2.6第1、3题.
提高题：
2.习题2.6第4题.
板书设计：
2.3用公式法求解一元二次方程
（2）
教学反思：
2.4用因式分解法求解一元二次方程
晋公庙中学数学组
学习目标：
会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程，通过“降次”把一元二次方程转化为两个一元一次方程，体会转化思想。
学习重点：
正确、熟练地用因式分解法解一元二次方程．
学习难点：
正确、熟练地用因式分解法解一元二次方程.
学习过程：
一、导入新课：
1、如何对一个多项式进行因式分解？
有哪些方法？
2、如果两个数a、b,且满足ab=0,你能得到哪些结论？
二、自学指导：
1、自主学习
认真阅读P46～47页内容：
⑴、分解因式法：
利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。
⑵、因式分解法的理论根据是：
如果ab=0,则a=0或b=0。
⑶、自学例1，注意看清楚每一步是如何变形的？
其目的是什么？
2、合作交流：
（1）你能例题中的思路解一元二次方程x2-4=0吗？
你是怎么想的？
（2）对于一元二次方程（x+1）2-25＝0可以怎样求解？
三、例题解析
例.用因式分解法解下列方程：
（1）（x+2）（x+4）＝0
（2）4x（2x+1）=3（2x+1）
（3）5（x2-x）=3（x2+x）
解：
（2）：
原方程可变形为
4x（2x+1）-3（2x+1）=0
（2x+1）（4x-3）=0
2x-1=0，或4x-3=0
∴X1=
X2=
（3）：
原方程可变形为
5x2-5x=3x2+3x
5x2-3x2-5x-3x=0
2x2-8x=0
2x（x-4）=0
2x=0,或x-4=0
∴X1=0，X2=4
四、当堂训练
1.用因式分解法解下列方程：
（1）（4x-1）（5x-7）=0
（2）3x（x-1）=2-2x
（3）（2x+3）2=4（2x+3）（4）2（x-3）2=x2-9
2．用因式分解法解下列方程：
（1）（x-2）2=（2x+3）2
（2）（x-2）（x+3）=12
（3）2x+6=（x+3）2
3.一个数的平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数。
五、课堂小结：
1、分解因式法：
利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。
2、用因式分解法的基本思想是：
把方程化为ab=0的形式，如果ab=0那么a=0或b=0。
3、用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是：
（1）通过移项，将方程右边化为零：
（2）将方程左边分解成两个一次因式之积；
（3）分别令每个因式都等于零，得到两个一元一次方程，
（4）分别解这两个一元一次方程，求得方程的解
六、作业：
1.习题2.7第2题（3）、（4）、（5）题.
2.习题2.7第3题.
板书设计：
2.4用因式分解法求解一元二次方程
1.用因式分解法的基本思想是：
把方程化为ab=0的形式，如果ab=0那么a=0或b=0。
2.用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是：
（1）通过移项，将方程右边化为零：
（2）将方程左边分解成两个一次因式之积；
（3）分别令每个因式都等于零，得到两个一元一次方程，
（4）分别解这两个一元一次方程，求得方程的解
教学反思：
2.5一元二次方程的根与系数的关系
晋公庙中学数学组
学习目标：
1.知道一元二次方程根与系数关系的推导过程.
2.理解一元二次方程根与系数的关系.
3.能用两根确定一元二次方程的系数.
4.能用根与系数的关系已知一根，不解方程确定另一根。
学习重点：
一元二次方程根与系数关系．
学习难点：
一元二次方程根与系数关系的应用.
学习过程：
一、导入新课：
通过前面的学习我们发现，一元二次方程的根完全由它的系数来决定。
求根公式就是根与系数关系的一种形式。
除此之外，一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢？
今天我们就来一起学习：
2.5一元二次方程的根与系数的关系
二、自学指导：
1、解下列方程：
（1）x2-2x+1=0
（2）x2+2
x-1=0
（3）x2+7x+6=0（4）2x2-3x+1=0
2、根据解方程求出的两个解
，计算两个解的和与积，完成下表：
方程
x2-2x+1=0
x2+2
x-1=0
x2+7x+6=0
2x2-3x+1=0
3、观察表格中方程的两个解的和、两个解的乘积，与原方程中的系数之间的关系有什么规律？
写出你的结论。
4、对于任何一个二元一次方程，这种关系都成立吗？
请认真自学P49一元二次方程根与系数关系的推导过程部分内容。
三、例题解析
例1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x2+7x+6=0
（2）2x2-3x-2=0
解：
（1）：
这里a=1,b
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