届初三第一次联考数学考题福建省龙岩市永定区金丰片.docx

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届初三第一次联考数学考题福建省龙岩市永定区金丰片

2022届初三第一次联考数学考题（福建省龙岩市永定区金丰片）

选择题

方程x2＝4的解是（）

A.x1＝4，x2＝－4B.x1＝x2＝2C.x1＝2，x2＝－2D.x1＝1，x2＝4

【答案】C

【解析】

两边直接开平方即可得到答案．

两边直接开平方得：

x=±2．

故选C．

选择题

下列四个图形中，不是中心对称图形的是（　　）

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】试题分析：

A、是中心对称图形．故错误；

B、是中心对称图形．故错误；

C、不是中心对称图形．故正确；

D、是中心对称图形．故错误．

故选C．

选择题

抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）

A.（2，3）B.（﹣2，3）

C.（2，﹣3）D.（﹣2，﹣3）

【答案】A

【解析】

抛物线

的顶点坐标是（2，3）.

故选A.

选择题

已知点P（﹣b，2）与点Q（3，2a）关于原点对称点，则a、b的值分别是（　　）

A.﹣1、3B.1、﹣3C.﹣1、﹣3D.1、3

【答案】A

【解析】

让两个横坐标相加得0，纵坐标相加得0即可求得a，b的值．

解：

∵P（-b，2）与点Q（3，2a）关于原点对称点，

∴-b+3=0，2+2a=0，

解得a=-1，b=3，

故选：

A．

选择题

一元二次方程x2-2x-1=0的根的情况是

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定

【答案】A

【解析】

∵a=1，b=﹣2，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，

所以方程有两个不相等的实数根．故选A．

选择题

正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是（　　）

A.36°B.54°C.72°D.108°

【答案】C

【解析】分析：

根据旋转的定义，最小旋转角即为正五边形的中心角．

详解：

正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是

=72度．

故选：

C．

选择题

六一儿童节当天，某班同学每人向本班其他每个同学送一份小礼品，全班共互送1035份小礼品，如果全班有x名同学，根据题意列出方程为（）

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】试题分析：

全班有x名同学，则每人送（x-1）份小礼品，共送x（x-1）份小礼品，进而可列出方程：

.故选C．

选择题

若A（-6，y1），B（-3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2-1图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）

A.y30；②a+b+c>0；③a+c>b；④2a+b=0；⑤

=b2-4ac

A.②④⑤B.②③⑤

C.①②④D.①③④

【答案】D

【解析】

根据二次函数的性质，利用数形结合的思想一一判断即可.

解：

∵抛物线的开口向上，

∴a＞0，

∵对称轴在y轴的右侧，

∴a，b异号，

∴b＜0，

∵抛物线交y轴于负半轴，

∴c＜0，

∴abc＞0，故①正确，

∵x=1时，y＜0，

∴a+b+c＜0，故②错误，

∵x=-1时，y＞0，

∴a-b+c＞0，

∴a+c＞b，故③正确，

∵对称性x=1，

∴-

=1，

∴2a+b=0，故④正确，

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴△=b2-4ac＞0，故⑤错误，

故选：

D．

填空题

若（m﹣2）

﹣mx+1=0是一元二次方程，则m的值为_____．

【答案】﹣2

【解析】

试题一元二次方程是指：

只含有一个未知数，且未知数最高次数为2次的整式方程．根据定义可得：

，解得：

m=-2．

填空题

一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a=_____．

【答案】1

【解析】

试题把x=0代入方程得：

a2﹣1=0，所以a=

，又因为

，所以a=-1.

填空题

将抛物线y=x2－2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位得到的抛物线是_______.

【答案】

【解析】

先将抛物线的解析式化为顶点式，然后根据平移规律平移即可得到解析式．

解：

y=x2-2x=（x-1）2-1，

根据平移规律，向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是：

y=（x-5）2+2，

将顶点式展开得，y=x2-10x+27．

故答案为：

y=（x-5）2+2或y=x2-10x+27．

填空题

如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC=105°，则∠C的度数是_____．

【答案】45°

【解析】

先根据∠AOC的度数和∠BOC的度数，可得∠AOB的度数，再根据△AOD中，AO=DO，可得∠A的度数，进而得出△ABO中∠B的度数，可得∠C的度数．

解：

∵∠AOC的度数为105°，

由旋转可得∠AOD=∠BOC=40°，

∴∠AOB=105°-40°=65°，

∵△AOD中，AO=DO，

∴∠A=

（180°-40°）=70°，

∴△ABO中，∠B=180°-70°-65°=45°，

由旋转可得，∠C=∠B=45°，

故答案为：

45°．

填空题

在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（2，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是_____．

【答案】（﹣2，2

）．

【解析】

利用旋转的性质得到OP2=2OP1=OP3=4，∠xOP2=∠P2OP3=60°，作P3H⊥x轴于H，利用含30度的直角三角形求出OH、P3H，从而得到P3点坐标．

解：

如图，∵点P0的坐标为（2，0），

∴OP0=OP1=2，

∵将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，

∴OP2=2OP1=OP3=4，∠xOP2=∠P2OP3=60°，

作P3H⊥x轴于H，

OH=

OP3=2，P3H=OH=2，

∴P3（-2，2）．

故答案为（-2，2）．

填空题

如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的一部分，已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是．

【答案】x1=﹣1，x2=5．

【解析】

试题分析：

根据二次函数的对称性求出抛物线与x轴的另一交点，然后根据二次函数与一元二次方程的关系写出即可．

解：

∵抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），

∴抛物线与x轴的另一交点是（5，0），

∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是x1=﹣1，x2=5．

故答案为：

x1=﹣1，x2=5．

解答题

解方程：

（1）2x2-4x=-1；

（2）3x（2x+1）=4x+2．

【答案】

（1）

；

（2）x1=

，x2=﹣

.

【解析】

（1）利用配方法解方程．配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数；

（2）先移项，然后提取公因式（2x+1）进行因式分解，再来解方程即可．

解：

（1）2x2﹣4x=﹣1，

x2﹣2x=﹣，

x2﹣2x+1=﹣+1，

（x﹣1）2=，

x﹣1=±

x=

；

（2）方程整理得：

3x（2x+1）﹣2（2x+1）=0，

分解因式得：

（3x﹣2）（2x+1）=0，

可得3x﹣2=0或2x+1=0，

解得：

x1=，x2=﹣．

解答题

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A（﹣3，﹣2），B（﹣5，3），C（0，4）．

（1）以C为旋转中心，将△ABC绕C逆时针旋转90°，画出旋转后的对应的△A1B1C1，写出点A1的坐标；

（2）求出

（1）中点B旋转到点B1所经过的路径长（结果保留根号和π）．

【答案】

（1）如图，点A1的坐标（6，1）；

（2）

【解析】

（1）根据旋转图形的作法，画出△A1B1C1；

（2）根据弧长公式可求点B旋转到点B1所经过的路径长．

解：

（1）如图：

∴点A1的坐标（6，1）

（2）点B旋转到点B1所经过的路径长=

=

.

解答题

已知抛物线y＝ax2﹣bx+3经过点A（1，2），B（2，3）．

（1）求此抛物线的函数解析式．

（2）判断点B（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上．

【答案】

（1）y=x2﹣0.5x+3，

（2）不在.

【解析】

（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可解决问题；

（2）求出x=-1时的函数值即可判断

解：

（1）将点A（1，2），B（2，3）代入y=ax2﹣bx+3，

得

解得

，

∴抛物线的函数解析式为y=x2﹣0.5x+3，

（2）当x=﹣1时，y=1+0.5+3=4.5≠﹣4，

∴点B（﹣1，﹣4）不在此抛物线上．

解答题

已知：

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．

（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？

（2）在

（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？

说明理由．

【答案】

（1）2或3秒；

（2）不能.

【解析】

（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于6cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．

（2）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8cm2．

解：

（1）设经过x秒以后△PBQ面积为6cm2，则

×（5﹣x）×2x=6，

整理得：

x2﹣5x+6=0，

解得：

x=2或x=3．

答：

2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2．

（2）设经过x秒以后△PBQ面积为8cm2，则

×（5﹣x）×2x=8，

整理得：

x2﹣5x+8=0，

△=25﹣32=﹣7＜0，

所以，此方程无解，

故△PQB的面积不能等于8cm2．

解答题

二次函数y=ax2+2x﹣1与直线y=2x﹣3交于点P（1，b）．

（1）求出此二次函数的解析式；

（2）求此二次函数的顶点坐标，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．

【答案】

（1）y=﹣2x2+2x﹣1．

（2）当x＞

时，y随x的增大而减小．

【解析】

（1）利用待定系数法即可解决问题；

（2）利用配方法求出顶点坐标即可解决问题

解：

（1）∵点P（1，b）在直线y=2x﹣3上，

∴b=2﹣3=﹣1，

∴P（1，﹣1），

把P（1，﹣1）代入y=ax2+2x﹣1，得到a=﹣2，

∴二次函数的解析式为y=﹣2x2+2x﹣1．

（2）∵y=﹣2（x﹣）2﹣，

∴顶点坐标为（，﹣），

当x＞时，y随x的增大而减小．

解答题

如图，在△ABC中，AB＝AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△EFC，连接AF、BE．

（1）求证：

四边形ABEF是平行四边形；

（2）当∠ABC为多少度时，四边形ABEF为矩形？

请说明理由．

【答案】

（1）证明见解析

（2）当∠ABC=60°时，四边形ABEF为矩形

【解析】

（1）根据旋转得出CA=CE，CB=CF，根据平行四边形的判定得出即可；

（2）根据等边三角形的判定得出△ABC是等边三角形，求出AE=BF，根据矩形的判定得出即可．

（1）∵将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△EFC，∴△ABC≌△EFC，∴CA=CE，CB=CF，∴四边形ABEF是平行四边形；

（2）当∠ABC=60°时，四边形ABEF为矩形，理由是：

∵∠ABC=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．

∵CA=CE，CB=CF，∴AE=BF．

∵四边形ABEF是平行四边形，∴四边形ABEF是矩形．

解答题

某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．

设每个房间每天的定价增加x元．求：

（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；

（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；

（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？

最大值是多少？

【答案】

（1）y=60-

；

（2）z=-

x2+40x+12000；（3）w=-x2+42x+10800，当每个房间的定价为每天410元时，w有最大值，且最大值是15210元．

【解析】试题分析：

（1）根据题意可得房间每天的入住量=60个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10；

（2）已知每天定价增加为x元，则每天要（200+x）元．则宾馆每天的房间收费=每天的实际定价×房间每天的入住量；

（3）支出费用为20×（60﹣），则利润w=（200+x）（60﹣）﹣20×（60﹣），利用配方法化简可求最大值．

试题解析：

解：

（1）由题意得：

y=60﹣

（2）p=（200+x）（60﹣）=﹣

+40x+12000

（3）w=（200+x）（60﹣）﹣20×（60﹣）

=﹣+42x+10800

=﹣（x﹣210）2+15210

当x=210时，w有最大值．

此时，x+200=410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w有最大值，且最大值是15210元．

解答题

如图，在ABCD中，AB=1，BC=

，对角线AC，BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交于BC，AD于点E，F．

（1）证明：

当旋转角为　　时，四边形ABEF是平行四边形；

（2）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？

如果不可能，请说明理由；如果可能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．

【答案】

（1）90°；

（2）在旋转过程中，四边形BEDF能是菱形，此时AC绕点O顺时针旋转的度数是45°．

【解析】

（1）根据∠BAC=∠AOF=90°推出AB∥EF，根据平行四边形性质得出AF∥BE，即可推出四边形ABEF是平行四边形；

（2）证△DFO≌△BEO，推出OF=OE，得出四边形BEDF是平行四边形，根据勾股定理求出AC，求出OA=AB=1，求出∠AOB=45°，根据∠AOF=45°，推出EF⊥BD，根据菱形的判定推出即可．

解：

（1）结论：

旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形．

理由：

∵∠AOF=90°，∠BAO=90°，

∴∠BAO=∠AOF，

∴AB∥EF，

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AF∥EB，

∴四边形ABEF是平行四边形；

（2）当旋转角∠AOF=45°时，四边形BEDF是菱形．理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，BO=DO，

∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，

在△DFO和△BEO中

∵

，

∴△DFO≌△BEO（AAS），

∴OF=OE，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∵AB=1，BC=

，

∴在Rt△BAC中，由勾股定理得：

AC=2，

∴AO=1=AB，∵∠BAO=90°，

∴∠AOB=45°，

又∵∠AOF=45°，

∴∠BOF=90°，

∴BD⊥EF，

∴四边形BEDF是菱形，

即在旋转过程中，四边形BEDF能是菱形，此时AC绕点O顺时针旋转的度数是45°．

解答题

在平面直角坐标系中，抛物线

与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．

（1）请直接写出点A，C，D的坐标；

（2）如图

（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；

（3）如图

（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？

若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】

（1）A（﹣3，0），C（0，3），D（﹣1，4）；

（2）E（

，0）；（3）P（2，﹣5）或（1，0）．

【解析】

试题

（1）令抛物线解析式中y=0，解关于x的一元二次方程即可得出点A、B的坐标，再令抛物线解析式中x=0求出y值即可得出点C坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D的坐标；

（2）作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，由点C的坐标可找出点C′的坐标，根据点C′、D的坐标利用待定系数法即可求出直线C′D的解析式，令其y=0求出x值，即可得出点E的坐标；

（3）根据点A、C的坐标利用待定系数法求出直线AC的解析式，假设存在，设点F（m，m+3），分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A、F点的坐标找出点P的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入点P坐标中即可得出结论．

试题解析：

（1）当

中y=0时，有

，解得：

=﹣3，

=1，∵A在B的左侧，∴A（﹣3，0），B（1，0）．

当中x=0时，则y=3，∴C（0，3）．

∵=

，∴顶点D（﹣1，4）．

（2）作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，如图1所示．

∵C（0，3），∴C′（0，﹣3）．

设直线C′D的解析式为y=kx+b，则有：

，解得：

，∴直线C′D的解析式为y=﹣7x﹣3，当y=﹣7x﹣3中y=0时，x=，∴当△CDE的周长最小，点E的坐标为（，0）．

（3）设直线AC的解析式为y=ax+c，则有：

，解得：

，∴直线AC的解析式为y=x+3．

假设存在，设点F（m，m+3），△AFP为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）：

①当∠PAF=90°时，P（m，﹣m﹣3），∵点P在抛物线上，∴

，解得：

m1=﹣3（舍去），m2=2，此时点P的坐标为（2，﹣5）；

②当∠AFP=90°时，P（2m+3，0）

∵点P在抛物线上，∴

，解得：

m3=﹣3（舍去），m4=﹣1，此时点P的坐标为（1，0）；

③当∠APF=90°时，P（m，0），∵点P在抛物线上，∴

，解得：

m5=﹣3（舍去），m6=1，此时点P的坐标为（1，0）．

综上可知：

在抛物线上存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形，点P的坐标为（2，﹣5）或（1，0）．