届初三第一次联考数学考题福建省龙岩市永定区金丰片.docx
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届初三第一次联考数学考题福建省龙岩市永定区金丰片
2022届初三第一次联考数学考题(福建省龙岩市永定区金丰片)
选择题
方程x2=4的解是()
A.x1=4,x2=-4B.x1=x2=2C.x1=2,x2=-2D.x1=1,x2=4
【答案】C
【解析】
两边直接开平方即可得到答案.
两边直接开平方得:
x=±2.
故选C.
选择题
下列四个图形中,不是中心对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】试题分析:
A、是中心对称图形.故错误;
B、是中心对称图形.故错误;
C、不是中心对称图形.故正确;
D、是中心对称图形.故错误.
故选C.
选择题
抛物线y=(x﹣2)2+3的顶点坐标是()
A.(2,3)B.(﹣2,3)
C.(2,﹣3)D.(﹣2,﹣3)
【答案】A
【解析】
抛物线
的顶点坐标是(2,3).
故选A.
选择题
已知点P(﹣b,2)与点Q(3,2a)关于原点对称点,则a、b的值分别是( )
A.﹣1、3B.1、﹣3C.﹣1、﹣3D.1、3
【答案】A
【解析】
让两个横坐标相加得0,纵坐标相加得0即可求得a,b的值.
解:
∵P(-b,2)与点Q(3,2a)关于原点对称点,
∴-b+3=0,2+2a=0,
解得a=-1,b=3,
故选:
A.
选择题
一元二次方程x2-2x-1=0的根的情况是
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.无法确定
【答案】A
【解析】
∵a=1,b=﹣2,c=﹣1,∴△=b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4×1×(﹣1)=8>0,
所以方程有两个不相等的实数根.故选A.
选择题
正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合,最小的旋转角度数是( )
A.36°B.54°C.72°D.108°
【答案】C
【解析】分析:
根据旋转的定义,最小旋转角即为正五边形的中心角.
详解:
正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合,最小的旋转角度数是
=72度.
故选:
C.
选择题
六一儿童节当天,某班同学每人向本班其他每个同学送一份小礼品,全班共互送1035份小礼品,如果全班有x名同学,根据题意列出方程为()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】试题分析:
全班有x名同学,则每人送(x-1)份小礼品,共送x(x-1)份小礼品,进而可列出方程:
.故选C.
选择题
若A(-6,y1),B(-3,y2),C(1,y3)为二次函数y=x2-1图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是()
A.y30;②a+b+c>0;③a+c>b;④2a+b=0;⑤
=b2-4ac
A.②④⑤B.②③⑤
C.①②④D.①③④
【答案】D
【解析】
根据二次函数的性质,利用数形结合的思想一一判断即可.
解:
∵抛物线的开口向上,
∴a>0,
∵对称轴在y轴的右侧,
∴a,b异号,
∴b<0,
∵抛物线交y轴于负半轴,
∴c<0,
∴abc>0,故①正确,
∵x=1时,y<0,
∴a+b+c<0,故②错误,
∵x=-1时,y>0,
∴a-b+c>0,
∴a+c>b,故③正确,
∵对称性x=1,
∴-
=1,
∴2a+b=0,故④正确,
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴△=b2-4ac>0,故⑤错误,
故选:
D.
填空题
若(m﹣2)
﹣mx+1=0是一元二次方程,则m的值为_____.
【答案】﹣2
【解析】
试题一元二次方程是指:
只含有一个未知数,且未知数最高次数为2次的整式方程.根据定义可得:
,解得:
m=-2.
填空题
一元二次方程(a+1)x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0,则a=_____.
【答案】1
【解析】
试题把x=0代入方程得:
a2﹣1=0,所以a=
,又因为
,所以a=-1.
填空题
将抛物线y=x2-2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位得到的抛物线是_______.
【答案】
【解析】
先将抛物线的解析式化为顶点式,然后根据平移规律平移即可得到解析式.
解:
y=x2-2x=(x-1)2-1,
根据平移规律,向上平移3个单位,再向右平移4个单位得到的抛物线是:
y=(x-5)2+2,
将顶点式展开得,y=x2-10x+27.
故答案为:
y=(x-5)2+2或y=x2-10x+27.
填空题
如图,△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形,若点D恰好落在AB上,且∠AOC=105°,则∠C的度数是_____.
【答案】45°
【解析】
先根据∠AOC的度数和∠BOC的度数,可得∠AOB的度数,再根据△AOD中,AO=DO,可得∠A的度数,进而得出△ABO中∠B的度数,可得∠C的度数.
解:
∵∠AOC的度数为105°,
由旋转可得∠AOD=∠BOC=40°,
∴∠AOB=105°-40°=65°,
∵△AOD中,AO=DO,
∴∠A=
(180°-40°)=70°,
∴△ABO中,∠B=180°-70°-65°=45°,
由旋转可得,∠C=∠B=45°,
故答案为:
45°.
填空题
在平面直角坐标系中,已知点P0的坐标为(2,0),将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1,延长OP1到点P2,使OP2=2OP1,再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3,则点P3的坐标是_____.
【答案】(﹣2,2
).
【解析】
利用旋转的性质得到OP2=2OP1=OP3=4,∠xOP2=∠P2OP3=60°,作P3H⊥x轴于H,利用含30度的直角三角形求出OH、P3H,从而得到P3点坐标.
解:
如图,∵点P0的坐标为(2,0),
∴OP0=OP1=2,
∵将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1,延长OP1到点P2,使OP2=2OP1,再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3,
∴OP2=2OP1=OP3=4,∠xOP2=∠P2OP3=60°,
作P3H⊥x轴于H,
OH=
OP3=2,P3H=OH=2,
∴P3(-2,2).
故答案为(-2,2).
填空题
如图,是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的一部分,已知抛物线的对称轴为x=2,与x轴的一个交点是(﹣1,0),则方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是.
【答案】x1=﹣1,x2=5.
【解析】
试题分析:
根据二次函数的对称性求出抛物线与x轴的另一交点,然后根据二次函数与一元二次方程的关系写出即可.
解:
∵抛物线的对称轴为x=2,与x轴的一个交点是(﹣1,0),
∴抛物线与x轴的另一交点是(5,0),
∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是x1=﹣1,x2=5.
故答案为:
x1=﹣1,x2=5.
解答题
解方程:
(1)2x2-4x=-1;
(2)3x(2x+1)=4x+2.
【答案】
(1)
;
(2)x1=
,x2=﹣
.
【解析】
(1)利用配方法解方程.配方法解一元二次方程,解题时要注意解题步骤的准确应用,把左边配成完全平方式,右边化为常数;
(2)先移项,然后提取公因式(2x+1)进行因式分解,再来解方程即可.
解:
(1)2x2﹣4x=﹣1,
x2﹣2x=﹣,
x2﹣2x+1=﹣+1,
(x﹣1)2=,
x﹣1=±
x=
;
(2)方程整理得:
3x(2x+1)﹣2(2x+1)=0,
分解因式得:
(3x﹣2)(2x+1)=0,
可得3x﹣2=0或2x+1=0,
解得:
x1=,x2=﹣.
解答题
如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点为A(﹣3,﹣2),B(﹣5,3),C(0,4).
(1)以C为旋转中心,将△ABC绕C逆时针旋转90°,画出旋转后的对应的△A1B1C1,写出点A1的坐标;
(2)求出
(1)中点B旋转到点B1所经过的路径长(结果保留根号和π).
【答案】
(1)如图,点A1的坐标(6,1);
(2)
【解析】
(1)根据旋转图形的作法,画出△A1B1C1;
(2)根据弧长公式可求点B旋转到点B1所经过的路径长.
解:
(1)如图:
∴点A1的坐标(6,1)
(2)点B旋转到点B1所经过的路径长=
=
.
解答题
已知抛物线y=ax2﹣bx+3经过点A(1,2),B(2,3).
(1)求此抛物线的函数解析式.
(2)判断点B(﹣1,﹣4)是否在此抛物线上.
【答案】
(1)y=x2﹣0.5x+3,
(2)不在.
【解析】
(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式即可解决问题;
(2)求出x=-1时的函数值即可判断
解:
(1)将点A(1,2),B(2,3)代入y=ax2﹣bx+3,
得
解得
,
∴抛物线的函数解析式为y=x2﹣0.5x+3,
(2)当x=﹣1时,y=1+0.5+3=4.5≠﹣4,
∴点B(﹣1,﹣4)不在此抛物线上.
解答题
已知:
如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=5cm,BC=7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
(1)如果P,Q分别从A,B同时出发,那么几秒后,△PBQ的面积等于6cm2?
(2)在
(1)中,△PQB的面积能否等于8cm2?
说明理由.
【答案】
(1)2或3秒;
(2)不能.
【解析】
(1)设经过x秒钟,△PBQ的面积等于6cm2,根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,表示出BP和BQ的长可列方程求解.
(2)通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8cm2.
解:
(1)设经过x秒以后△PBQ面积为6cm2,则
×(5﹣x)×2x=6,
整理得:
x2﹣5x+6=0,
解得:
x=2或x=3.
答:
2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2.
(2)设经过x秒以后△PBQ面积为8cm2,则
×(5﹣x)×2x=8,
整理得:
x2﹣5x+8=0,
△=25﹣32=﹣7<0,
所以,此方程无解,
故△PQB的面积不能等于8cm2.
解答题
二次函数y=ax2+2x﹣1与直线y=2x﹣3交于点P(1,b).
(1)求出此二次函数的解析式;
(2)求此二次函数的顶点坐标,并指出x取何值时,该函数的y随x的增大而减小.
【答案】
(1)y=﹣2x2+2x﹣1.
(2)当x>
时,y随x的增大而减小.
【解析】
(1)利用待定系数法即可解决问题;
(2)利用配方法求出顶点坐标即可解决问题
解:
(1)∵点P(1,b)在直线y=2x﹣3上,
∴b=2﹣3=﹣1,
∴P(1,﹣1),
把P(1,﹣1)代入y=ax2+2x﹣1,得到a=﹣2,
∴二次函数的解析式为y=﹣2x2+2x﹣1.
(2)∵y=﹣2(x﹣)2﹣,
∴顶点坐标为(,﹣),
当x>时,y随x的增大而减小.
解答题
如图,在△ABC中,AB=AC,若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△EFC,连接AF、BE.
(1)求证:
四边形ABEF是平行四边形;
(2)当∠ABC为多少度时,四边形ABEF为矩形?
请说明理由.
【答案】
(1)证明见解析
(2)当∠ABC=60°时,四边形ABEF为矩形
【解析】
(1)根据旋转得出CA=CE,CB=CF,根据平行四边形的判定得出即可;
(2)根据等边三角形的判定得出△ABC是等边三角形,求出AE=BF,根据矩形的判定得出即可.
(1)∵将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△EFC,∴△ABC≌△EFC,∴CA=CE,CB=CF,∴四边形ABEF是平行四边形;
(2)当∠ABC=60°时,四边形ABEF为矩形,理由是:
∵∠ABC=60°,AB=AC,∴△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC.
∵CA=CE,CB=CF,∴AE=BF.
∵四边形ABEF是平行四边形,∴四边形ABEF是矩形.
解答题
某宾馆客房部有60个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200元时,房间可以住满.当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.对有游客入住的房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.
设每个房间每天的定价增加x元.求:
(1)房间每天的入住量y(间)关于x(元)的函数关系式;
(2)该宾馆每天的房间收费z(元)关于x(元)的函数关系式;
(3)该宾馆客房部每天的利润w(元)关于x(元)的函数关系式;当每个房间的定价为每天多少元时,w有最大值?
最大值是多少?
【答案】
(1)y=60-
;
(2)z=-
x2+40x+12000;(3)w=-x2+42x+10800,当每个房间的定价为每天410元时,w有最大值,且最大值是15210元.
【解析】试题分析:
(1)根据题意可得房间每天的入住量=60个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10;
(2)已知每天定价增加为x元,则每天要(200+x)元.则宾馆每天的房间收费=每天的实际定价×房间每天的入住量;
(3)支出费用为20×(60﹣),则利润w=(200+x)(60﹣)﹣20×(60﹣),利用配方法化简可求最大值.
试题解析:
解:
(1)由题意得:
y=60﹣
(2)p=(200+x)(60﹣)=﹣
+40x+12000
(3)w=(200+x)(60﹣)﹣20×(60﹣)
=﹣+42x+10800
=﹣(x﹣210)2+15210
当x=210时,w有最大值.
此时,x+200=410,就是说,当每个房间的定价为每天410元时,w有最大值,且最大值是15210元.
解答题
如图,在ABCD中,AB=1,BC=
,对角线AC,BD交于O点,将直线AC绕点O顺时针旋转,分别交于BC,AD于点E,F.
(1)证明:
当旋转角为 时,四边形ABEF是平行四边形;
(2)在旋转过程中,四边形BEDF可能是菱形吗?
如果不可能,请说明理由;如果可能,说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.
【答案】
(1)90°;
(2)在旋转过程中,四边形BEDF能是菱形,此时AC绕点O顺时针旋转的度数是45°.
【解析】
(1)根据∠BAC=∠AOF=90°推出AB∥EF,根据平行四边形性质得出AF∥BE,即可推出四边形ABEF是平行四边形;
(2)证△DFO≌△BEO,推出OF=OE,得出四边形BEDF是平行四边形,根据勾股定理求出AC,求出OA=AB=1,求出∠AOB=45°,根据∠AOF=45°,推出EF⊥BD,根据菱形的判定推出即可.
解:
(1)结论:
旋转角为90°时,四边形ABEF是平行四边形.
理由:
∵∠AOF=90°,∠BAO=90°,
∴∠BAO=∠AOF,
∴AB∥EF,
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AF∥EB,
∴四边形ABEF是平行四边形;
(2)当旋转角∠AOF=45°时,四边形BEDF是菱形.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,BO=DO,
∴∠FDO=∠EBO,∠DFO=∠BEO,
在△DFO和△BEO中
∵
,
∴△DFO≌△BEO(AAS),
∴OF=OE,
∴四边形BEDF是平行四边形,
∵AB=1,BC=
,
∴在Rt△BAC中,由勾股定理得:
AC=2,
∴AO=1=AB,∵∠BAO=90°,
∴∠AOB=45°,
又∵∠AOF=45°,
∴∠BOF=90°,
∴BD⊥EF,
∴四边形BEDF是菱形,
即在旋转过程中,四边形BEDF能是菱形,此时AC绕点O顺时针旋转的度数是45°.
解答题
在平面直角坐标系中,抛物线
与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.
(1)请直接写出点A,C,D的坐标;
(2)如图
(1),在x轴上找一点E,使得△CDE的周长最小,求点E的坐标;
(3)如图
(2),F为直线AC上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得△AFP为等腰直角三角形?
若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)A(﹣3,0),C(0,3),D(﹣1,4);
(2)E(
,0);(3)P(2,﹣5)或(1,0).
【解析】
试题
(1)令抛物线解析式中y=0,解关于x的一元二次方程即可得出点A、B的坐标,再令抛物线解析式中x=0求出y值即可得出点C坐标,利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D的坐标;
(2)作点C关于x轴对称的点C′,连接C′D交x轴于点E,此时△CDE的周长最小,由点C的坐标可找出点C′的坐标,根据点C′、D的坐标利用待定系数法即可求出直线C′D的解析式,令其y=0求出x值,即可得出点E的坐标;
(3)根据点A、C的坐标利用待定系数法求出直线AC的解析式,假设存在,设点F(m,m+3),分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三种情况考虑.根据等腰直角三角形的性质结合点A、F点的坐标找出点P的坐标,将其代入抛物线解析式中即可得出关于m的一元二次方程,解方程求出m值,再代入点P坐标中即可得出结论.
试题解析:
(1)当
中y=0时,有
,解得:
=﹣3,
=1,∵A在B的左侧,∴A(﹣3,0),B(1,0).
当中x=0时,则y=3,∴C(0,3).
∵=
,∴顶点D(﹣1,4).
(2)作点C关于x轴对称的点C′,连接C′D交x轴于点E,此时△CDE的周长最小,如图1所示.
∵C(0,3),∴C′(0,﹣3).
设直线C′D的解析式为y=kx+b,则有:
,解得:
,∴直线C′D的解析式为y=﹣7x﹣3,当y=﹣7x﹣3中y=0时,x=,∴当△CDE的周长最小,点E的坐标为(,0).
(3)设直线AC的解析式为y=ax+c,则有:
,解得:
,∴直线AC的解析式为y=x+3.
假设存在,设点F(m,m+3),△AFP为等腰直角三角形分三种情况(如图2所示):
①当∠PAF=90°时,P(m,﹣m﹣3),∵点P在抛物线上,∴
,解得:
m1=﹣3(舍去),m2=2,此时点P的坐标为(2,﹣5);
②当∠AFP=90°时,P(2m+3,0)
∵点P在抛物线上,∴
,解得:
m3=﹣3(舍去),m4=﹣1,此时点P的坐标为(1,0);
③当∠APF=90°时,P(m,0),∵点P在抛物线上,∴
,解得:
m5=﹣3(舍去),m6=1,此时点P的坐标为(1,0).
综上可知:
在抛物线上存在点P,使得△AFP为等腰直角三角形,点P的坐标为(2,﹣5)或(1,0).