届高三数学一轮复习北师大版几个重要不等式教案.docx

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届高三数学一轮复习北师大版几个重要不等式教案

几个重要不等式

【学习目标】

1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，学会柯西不等式的简单应用.

2.用向量递推的方法讨论排序不等式，学会排序不等式的简单应用.

3.了解数学归纳法的原理、使用范围和基本步骤，会用数学归纳法证明一些简单问题.

4.会用数学归纳法证明贝努利不等式.

5.通过对上述重要不等式的分析、证明和简单应用，提高学生分析问题的能力、推理论证的能力和运用已知数学结论解决问题的能力.

【要点梳理】

要点一：

柯西不等式

1．二维形式的柯西不等式

代数形式（定理1）

对任意实数

，则

.

（当且仅当向量

与向量

共线，即

时，等号成立）.

向量形式：

设

是平面上任意两个向量，则

.

（当且仅当向量

与向量

共线时，等号成立）。

三角形式:

对任意实数

，则

（当且仅当

时，等号成立.）

证明：

几何背景：

如图，在三角形

中，

，

则

将以上三式代入余弦定理

，并化简，可得

或

因为

，所以，

，

于是

要点诠释：

（1）柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示；

（2）定理1的变形：

若a、b、c、d都是正实数，则

，（当且仅当向量

与向量

共线，即

时，，等号成立）

2.一般形式的柯西不等式

定理2设

与

是两组实数，则

，

当且仅当向量

与向量

共线时，等号成立。

要点诠释：

（1）使用柯西不等式的方便之处在于，对任意的两组实数都成立，这个不等式告诉我们，任意两组数：

，

，…，

，

，

，…，

，

其对应项“相乘”之后、“求和”、再“平方”这三种运算不满足交换律，先各自平方，然后求和，最后相乘，运算的结果不会变小。

（2）柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。

（3）使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式解决有关的问题。

（4）利用柯西不等式求最值的关键在于将式子进行恰当的“凑”变形。