第3章 12 导数在实际问题中的应用 活页作业12 专项训练同步练习北师大版选修22.docx

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第3章12导数在实际问题中的应用活页作业12专项训练同步练习北师大版选修22

活页作业（十二）　函数的极值

1．函数f（x）的定义域为R，导函数y＝f′（x）的图像如下图所示，则函数f（x）（　　）

A．无极大值点，有四个极小值点

B．有三个极大值点，两个极小值点

C．有两个极大值点，两个极小值点

D．有四个极大值点，无极小值点

解析：

设f′（x）的图像与x轴的交点坐标从左往右依次为（x1,0），（x2,0），（x3,0），（x4,0），则

x

（－∞，x1）

（x1，x2）

（x2，x3）

（x3，x4）

（x4，＋∞）

f′（x）

＋

－

＋

－

＋

f（x）

故f（x）有两个极大值点，两个极小值点．

答案：

C

2．若x＝－2与x＝4是函数f（x）＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则有（　　）

A．a＝－2，b＝4　　　　B．a＝－3，b＝－24

C．a＝1，b＝3D．a＝2，b＝－4

解析：

f′（x）＝3x2＋2ax＋b，依题意有－2和4是方程3x2＋2ax＋b＝0的两个根，所以有－

＝－2＋4，

＝－2×4，解得a＝－3，b＝－24.

答案：

B

3．已知函数y＝x－ln（1＋x2），则y的极值情况是（　　）

A．有极小值B．有极大值

C．既有极大值又有极小值D．无极值

解析：

∵y＝x－ln（1＋x2），

∴y′＝1－

＝

≥0.故函数无极值．

答案：

D

4．设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则（　　）

A．a>－3B．a<－3

C．a>－

D．a<－

解析：

令y′＝aeax＋3＝0，得eax＝－

.

设x0为大于0的极值点，∴eax0＝－

.

∴a<0，ax0<0.

∴0

<1.∴a<－3.

答案：

B

5．已知函数y＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间为（　　）

A．（2,3）B．（3，＋∞）

C．（2，＋∞）D．（－∞，3）

解析：

∵y＝2x3＋ax2＋36x－24，

∴y′＝6x2＋2ax＋36.

∵函数在x＝2处有极值，

∴当x＝2时，y′＝0，

∴6×22＋2a×2＋36＝0.

∴a＝－15.∴y＝2x3－15x2＋36x－24，

y′＝6x2－30x＋36.

令y′＝0，得6x2－30x＋36＝0，

∴x1＝2，x2＝3.

∴当y′>0时，x<2或x>3.

∴函数的递增区间为（－∞，2）和（3，＋∞）．

答案：

B

6．函数f（x）＝x3－3x2，给出下列说法：

①f（x）是增函数，无极值；

②f（x）是减函数，无极值；

③f（x）的增区间是（－∞，0]和[2，＋∞），减区间是[0,2]；

④f（0）＝0是极大值，f

（2）＝－4是极小值．

其中正确的序号是________．

解析：

由已知得f′（x）＝3x2－6x＝3x（x－2）．

令f′（x）＝0，得x＝0或x＝2.

当x变化时，f′（x），f（x）变化状态如下表：

x

（－∞，0）

0

（0,2）

2

（2，＋∞）

f′（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

极大值

极小值

由上表可以清晰地看出，f（x）在（－∞，0]和[2，＋∞）上是增加的，在[0,2]上是减少的，且f（x）的极值情况是：

f（x）极大值＝f（0）＝0，f（x）极小值＝f

（2）＝－4，可知③④是正确的．

答案：

③④

7．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则实数m等于________．

解析：

y′＝－3x2＋12x.由y′＝0，得x＝0或x＝4.容易得出当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13.解得m＝－19.

答案：

－19

8．若y＝kx3－x2＋kx－4在R上无极值，则实数k的取值范围是________．

解：

求导得y′＝3kx2－2x＋k.

∵函数在R上无极值，即y′≥0或y′≤0恒成立．

∴Δ≤0.

即（－2）2－4k·3k≤0，解得k≥

或k≤－

.

答案：

∪

9．求下列函数的极值：

（1）f（x）＝x3－3x2－9x＋5；

（2）f（x）＝

.

解：

（1）函数f（x）＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′（x）＝3x2－6x－9.令f′（x）＝0，则3x2－6x－9＝0.

解得x1＝－1，x2＝3.

当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

x

（－∞，－1）

－1

（－1,3）

3

（3，＋∞）

f′（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

增加

极大值

减少

极小值

增加

∴x＝－1是函数的极大值点，极大值为f（－1）＝10；x＝3是函数的极小值点，极小值为f（3）＝－22.

（2）函数f（x）＝

的定义域为（0，＋∞），

且f′（x）＝

，令f′（x）＝0，得x＝e.

当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

x

（0，e）

e

（e，＋∞）

f′（x）

＋

0

－

f（x）

增加

极大值

减少

∴x＝e是函数的极大值点，极大值为f（e）＝

，没有极小值点．

10．已知函数f（x）＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.

（1）求a，b的值；

（2）求函数y＝f（x）的极小值．

解：

（1）∵当x＝1时，函数有极大值3，

f′（x）＝3ax2＋2bx，

∴

∴

解得a＝－6，b＝9.

（2）f′（x）＝－18x2＋18x＝－18x（x－1）．

当f′（x）＝0时，x＝0或x＝1；

当f′（x）>0时，0

当f′（x）<0时，x<0或x>1.

∴函数f（x）＝－6x3＋9x2的极小值为f（0）＝0.

11．设三次函数f（x）的导函数为f′（x），函数y＝xf′（x）的图像的一部分如下图所示，则正确的是（　　）

A．f（x）的极大值为f（

），极小值为f（－

）

B．f（x）的极大值为f（－

），极小值为f（

）

C．f（x）的极大值为f（－3），极小值为f（3）

D．f（x）的极大值为f（3），极小值为f（－3）

解析：

由题图可知，

当x∈（－∞，－3）时，xf′（x）>0，即f′（x）<0；

当x∈（－3,0）时，xf′（x）<0，即f′（x）>0；

当x∈（0,3）时，xf′（x）>0，即f′（x）>0；

当x∈（3，＋∞）时，xf′（x）<0，即f′（x）<0.

故函数f（x）在x＝－3处取得极小值，在x＝3处取得极大值．

答案：

D

12．已知函数y＝f（x）＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图像在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f（x）的极大值与极小值之差为________．

解析：

∵y′＝3x2＋6ax＋3b，

∴

解得

∴y′＝3x2－6x.令3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2.

∴f（x）极大值－f（x）极小值＝f（0）－f

（2）＝4.

答案：

4

13．函数f（x）＝x3－3ax＋b（a>0）的极大值为6，极小值为2，则f（x）的单调递减区间是________．

解析：

令f′（x）＝3x2－3a＝0，得x＝±

.

则f（x），f′（x）随x的变化情况如下表：

x

（－∞，－

）

－

（－

，

）

（

，＋∞）

f′（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

极大值

极小值

∴

解得

∴f（x）的递减区间是（－1,1）．

答案：

（－1,1）

14．如下图是y＝f（x）导数的图像，对于下列四种说法：

①f（x）在[－2，－1]上是增加的；

②x＝－1是f（x）的极小值点；

③f（x）在[－1,2]上是增加的，在[2,4]上是减少的；

④3是f（x）的极小值点．

其中正确的是________．

解析：

根据导数与函数的单调性、极值之间的关系可判断．

答案：

②③

15．设函数f（x）＝x3－3x＋1.

（1）求函数f（x）的单调区间和极值；

（2）若关于x的方程f（x）＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围．

解：

（1）∵f′（x）＝3x2－3，

令f′（x）＝0，则3x2－3＝0.

解得x1＝－1，x2＝1.

∴当x<－1或x>1时，f′（x）>0；

当－1

∴f（x）的递增区间为（－∞，－1）和（1，＋∞）；

f（x）的递减区间为（－1,1）．

当x＝－1时，f（x）有极大值3；

当x＝1时，f（x）有极小值－1.

（2）由

（1）得函数y＝f（x）的图像大致形状如下图所示，

当－1

即方程f（x）＝a有三个不同的实根时，a的取值范围为（－1,3）．

16．（2014·重庆高考卷）已知函数f（x）＝ae2x－be－2x－cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4－c.

（1）确定a，b的值；

（2）若c＝3，判断f（x）的单调性；

（3）若f（x）有极值，求c的取值范围．

解：

（1）对f（x）求导得f′（x）＝2ae2x＋2be－2x－c，

由f′（x）为偶函数，知f′（－x）＝f′（x），

即2（a－b）（e2x－e－2x）＝0，∴a＝b.

又f′（0）＝2a＋2b－c＝4－c，∴a＝1，b＝1.

（2）当c＝3时，f（x）＝e2x－e－2x－3x，

∴f′（x）＝2e2x＋2e－2x－3≥2

－3＝1>0.

∴f（x）在R上为增函数．

（3）由

（1）知f′（x）＝2e2x＋2e－2x－c，

而2e2x＋2e－2x≥2

＝4，

当x＝0时等号成立．

下面分三种情况进行讨论．

当c<4时，对任意x∈R，

f′（x）＝2e2x＋2e－2x－c>0，

此时f（x）无极值；

当c＝4时，对任意x≠0，

f′（x）＝2e2x＋2e－2x－4>0，

此时f（x）无极值；

当c>4时，令e2x＝t，方程2t＋

－c＝0有两根t1＝

>0，t2＝

>0，

即f′（x）＝0有两个根x1＝

lnt1，x2＝

lnt2.

当x1

又当x>x2时，f′（x）>0.

从而f（x）在x＝x2处取得极小值．

综上，若f（x）有极值，则c的取值范围为（4，＋∞）．

活页作业（十三）　实际问题中导数的意义

1．质点运动的速度v（单位：

m/s）是时间t（单位：

s）的函数，且v＝v（t），则v′

（1）表示（　　）

A．t＝1s时的速度　B．t＝1s时的加速度

C．t＝1s时的位移D．t＝1s时的平均速度

解析：

v（t）的导数v′（t）表示t时刻的加速度．

答案：

B

2．从时刻t＝0开始的ts内，某导体的电荷量（单位：

C）可用公式q＝2t2＋5t表示，则第5s时，电流强度为（　　）

A．45C/sB．30C/s

C．25C/sD．20C/s

解析：

q′（t）＝4t＋5，q′（5）＝25.

答案：

C

3．下列四个命题：

①曲线y＝x3在原点处没有切线；

②若函数f（x）＝

，则f′（0）＝0；

③加速度是动点位移函数s（t）对时间t的导数；

④函数y＝x5的导函数的值恒非负．

其中真命题的个数为（　　）

A．1　　B．2　　

C．3　　D．4

解析：

①中y′＝3x2，x＝0时，y′＝0，

∴y＝x3在原点处的切线为y＝0.

②中f（x）在x＝0处导数不存在．

③中s（t）对时间t的导数为瞬时速度．

④中y′＝5x4≥0.

所以命题①②③为假命题，④为真命题．

答案：

A

4．某汽车启动阶段的路程函数s（t）＝2t3－5t2（t为时间），则t＝1时，汽车的加速度为（　　）

A．6B．4

C．2D．1

解析：

速度v（t）＝s′（t）＝6t2－10t，

∴加速度a（t）＝v′（t）＝12t－10，

当t＝1时，a

（1）＝2.

答案：

C

5．如下图，设有定圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转（旋转角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图像大致是（　　）

A．　　　　　　　B．

C．　　　　　　D．

解析：

由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快．

选项A表示面积的增速是常数，与实际不符；

选项B表示最后时段面积的增速较快也与实际不符；

选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符；

选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快．符合实际．

答案：

D

6．一质点沿直线运动，若由始点起经过ts后的位移为s＝3t2＋t，则速度v＝10时的时刻t＝________.

解析：

s＝3t2＋t，s′＝6t＋1.

令s′＝10，得6t＋1＝10，

∴t＝

.

答案：

7．假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价p（单位：

元）与时间t（单位：

年）有如下函数关系：

p（t）＝p0（1＋5%）t，其中p0为t＝0时的物价，假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是________元/年（精确到0.01）．

解析：

∵p0＝1，∴p（t）＝（1＋5%）t＝1.05t.

在第10个年头，这种商品价格上涨的速度，即为函数的导函数在t＝10时的函数值．

∵p′（t）＝（1.05t）′＝1.05t·ln1.05，

∴p′（10）＝1.0510×ln1.05≈0.08（元/年）．

∴在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．

答案：

0.08

8．一列在直线轨道上运行的火车，从刹车到停车的这段时间内，测得刹车后ts内火车前进的距离s＝27t－0.45t2（单位：

m），则这列火车在刹车后停下来消耗的时间为________s.

解析：

由题意可知，火车停止时速度为0，令v＝s′＝27－0.9t＝0，解得t＝30.

答案：

30

9．一杯80℃的热红茶于20℃的房间里，它的温度会逐渐下降．温度T（单位：

℃）与时间t（单位：

min）间的关系，由函数T＝f（t）给出，请问：

（1）f′（t）的符号是什么？

为什么？

（2）f′（3）＝－4的实际意义是什么？

解：

（1）f′（t）是负数．因为f′（t）表示温度随时间的变化率，而温度是逐渐下降的，所以f′（t）为负数．

（2）f′（3）＝－4表明在3min附近时，红茶温度约以4℃/min的速度下降．

10．某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C（元）与日产量x（件）的函数关系式为C（x）＝

x2＋60x＋2050.求：

（1）日产量75件时的总成本和平均成本；

（2）当日产量由75件提高到90件，总成本的平均改变量；

（3）当日产量为75件时的边际成本．

解：

（1）当x＝75时，C（75）＝

×752＋60×75＋2050＝7956.25（元），

∴

≈106.08（元）．

故日产量75件时的总成本和平均成本分别为7956.25元，106.08元．

（2）当日产量由75件提高到90件时，总成本的平均改变量

＝

＝101.25（元/件）．

（3）∵C′（x）＝

x＋60，∴C′（75）＝97.5（元）．

11．已知成本C与产品x之间的函数关系式为C（x）＝0.001x3＋5x，那么，当x＝1000时，边际成本为（　　）

A．2000B．2005

C．3005D．4000

解析：

C′（x）＝0.003x2＋5，

C′（1000）＝0.003×10002＋5＝3005.

答案：

C

12．正方形的周长y关于边长x的函数是y＝4x，则y′＝________，其实际意义是____________.

答案：

4　边长每增加1个单位长度，周长增加4个单位长度

13．某汽车的路程函数是s＝2t3－

gt2（g＝10m/s2），则当t＝2s时，汽车的加速度是________m/s2.

解析：

v（t）＝s′（t）＝6t2－gt，a（t）＝v′（t）＝12t－g，

∴a

（2）＝12×2－10＝14（m/s2）．

答案：

14

14．圆的面积S关于半径r的函数是S＝πr2，那么在r＝3时面积的变化率是________．

解析：

∵S′＝2πr，∴S′（3）＝2π×3＝6π.

答案：

6π

15．现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35nmile/h，A地至B地之间的航行距离约为500nmile，每小时的运输成本由燃料费用和其余费用组成，轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6），其余费用为每小时960元．

（1）把全程运输成本y（元）表示为速度x（nmile/h）的函数：

y＝f（x）；

（2）求x从10变到20的平均运输成本；

（3）求f′（10）并解释它的实际意义．

解：

（1）依题意得y＝

（960＋0.6x2）＝

＋300x，函数的定义域为0

∴y＝

＋300x（0

（2）Δy＝f（20）－f（10）＝

＋300×20－

＝－21000，

∴

＝

＝－2100.

∴x从10变到20的平均运输成本为－2100元，即每小时减少2100元．

（3）f′（x）＝－

＋300，

∴f′（10）＝－

＋300＝－4500.

f′（10）表示当速度x＝10nmile/h时，速度每增加1nmile/h，每小时的运输成本就要减少4500元．

16．东方机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c（x）＝－2x2＋7000x＋600.

（1）求产量为1000台的总利润与平均利润；

（2）求产量由1000台提高到1500台时，总利润的平均改变量；

（3）求c′（1000）与c′（1500），并说明它们的实际意义．

解：

（1）产量为1000台时的总利润为

c（1000）＝－2×10002＋7000×1000＋600＝5000600（元），

∴平均利润为

＝5000.6（元/台）．

（2）当产量由1000台提高到1500台时，总利润的平均改变量为

＝

＝2000（元/台）．

（3）∵c′（x）＝（－2x2＋7000x＋600）′＝－4x＋7000，

∴c′（1000）＝－4×1000＋7000＝3000（元）．

c′（1500）＝－4×1500＋7000＝1000（元）．

c′（1000）＝3000表示当产量为1000台时，每多生产一台机械可多获利3000元．

c′（1500）＝1000表示当产量为1500台时，每多生产一台机械可多获利1000元．