高三模拟考试数学理试题 含答案.docx
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高三模拟考试数学理试题含答案
2019-2020年高三4月模拟考试数学理试题含答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷l至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分.
第Ⅰ卷
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.已知全集，，，则（∁uM）N为
A.B.C.D.
3.下列说法正确的是
A.命题“存在”的否定是“任意”
B.两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件
C.函数在其定义域上是减函数
D.给定命题、，若“且”是真命题，则是假命题
4.已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象
A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度
5.一几何体的三视图如图，该几何体的顶点都在球O的球面上，球O的表面积是
A.B.C.D.
6.方程表示的曲线是
A.一个圆和一条直线B.一个圆和一条射线
C.一个圆D.一条直线
7.已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是
A.9B.10C.11D.18
8.已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数，则下列不等式成立的是
A.B.
C.D.
9.如图：
正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱A1B1CD的中点，点M是EF的动点，FM=，过直线AB和点M的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为，则函数的大致图像是
10.抛物线与直线相交于A、B两点，点P是抛物线C上不同A、B的一点，若直线PA、PB分别与直线相交于点Q、R，O为坐标原点，则的值是
A.20B.16C.12D.与点P位置有关的一个实数
二、选做题：
请考生在下列两题中任选一题作答。
若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分。
11.
（1）（坐标系与参数方程）曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（t为参数），以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，则曲线上的点与曲线上的点最近的距离为
A.2B.C.D.
（2）若不等式对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是
A.（0,3）B.（－1,1）C.（1,3）D.（1,4）
第Ⅱ卷
三、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分。
12.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是。
13.实验员进行一项实验，先后要实施5个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序C或D实施时必须相邻，实验顺序的编排方法共有种。
14.观察下列等式
23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，53=21+23+25+27+29，…，若类似上面各式方法将m3分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m等于。
15.如图放置的边长为l的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点。
设顶点P（x，y）的轨迹方程是y＝f（x），则对函数y＝f（x）有下列判断：
①函数y＝f（x）是偶函数；②对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x－2）；③函数y＝f（x）在区间[2，3]上单调递减；④。
其中判断正确的序号是。
四、解答题：
本大题共6个题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）
已知公比不为1的等比数列{}的首项，前n项和为，且a4+S4，a5+S5，a6+S6成等差数列。
（1）求等比数列{}的通项公式；
（2）对n∈N+，在与之间插入3n个数，使这3n+2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为，求数列{}的前n项和.
17.（本小题满分12分）
某公司生产产品A，产品质量按测试指标分为：
指标大于或等于90为一等品，大于或等于80小于90为二等品，小于80为三等品，生产一件一等品可盈利50元，生产一件二等品可盈利30元，生产一件三等品亏损10元。
现随机抽查熟练工人甲和新工人乙生产的这种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：
现将根据上表统计得到甲、乙两人生产产品A为一等品、二等品、三等品的频率分别估计为他们生产产品A为一等品、二等品、三等品的概率。
（1）计算新工人乙生产三件产品A，给工厂带盈利大于或等于100元的概率；
（2）记甲乙分别生产一件产品A给工厂带的盈利和记为X，求随机变量X的概率分布和数学期望。
18.（本小题满分12分）
如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB、AD上，AE=AF=4，现将△AEF沿线段EF折起到△A'EF位置，使得.
（1）求五棱锥A'－BCDFE的体积；
（2）求平面A'EF与平面A'BC的夹角.
19.（本小题满分12分）
如图已知△ABC中，AB=l，AC=2，∠BAC=120°，点M是边BC上的动点，动点N满足∠MAN=30°，（点A、M、N按逆时针方向排列）。
（1）若，求BN的长；
（2）求△ABN面积的最大值。
20.（本小题满分13分）
已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A、B，过点F且倾斜角为的直线交椭圆于C、D两点，椭圆C的离心率为，。
（1）求椭圆C的方程；
（2）若是椭圆上不同两点，⊥x轴，圆E过点，且椭圆上任意一点都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的内切圆。
问椭圆C是否存在过点F的内切圆？
若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由。
21.（本小题满分14分）
已知函数
。
（1）若b=0，讨论函数在区间（0，）上的单调性；
（2）若a=2b且对任意的x≥0，都有f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围。
【试题答案】
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
D
B
C
D
B
A
C
A
二、选做题：
本题共5分。
11.
（1）D；
（2）C
三、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分。
12.13.2414.1015.①②④
四、解答题：
本大题共6个题，共75分。
16.解：
（1）因为成等差数列，
所以，2分
即，所以，因为，所以，4分
所以等比数列的通项公式为；6分
（2），9分
，12分
17.解：
甲生产一件产品A为一等品、二等品、三等品的概率分别为，3分
乙生产一件产品A为一等品、二等品、三等品的概率分别为，6分
（1）新工人乙生产三件产品A，给工厂带盈利大于或等于100元的情形有：
三件都是一等品；二件是一等品、一件是二等品或一件是一等品、二件是二等品，概率为：
8分
（2）随机变量X的所有可能取值为100,80,60,40,20,-20。
所以，随机变量X的概率分布为：
10分
随机变量X的数学期望
（元）12分
18.解：
（1）连接AC，设，由ABCD是正方形，AE=AF=4，得H是EF的中点，且EF⊥AH，EF⊥CH，从而有A'H⊥EF,CH⊥EF,所以EF⊥平面A'HC，从而平面A'HC⊥平面ABCD，2分
过点A'作A'O垂直HC且与HC相交于点O，
则A'O⊥平面ABCD4分
因为正方形ABCD的边长为6，AE=AF=4，
得到：
所以，
所以
所以五棱锥的体积；6分
（2）由
（1）知道A'O⊥平面ABCD，且CO=，即点O是AC、BD的交点，
如图以点O为原点，OA、OB、OA'所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，B（0,3,0），C（－3,0,0），D（0,－3,0），E（,2,0），F（,－2,0）7分
设平面A'EF的法向量为，则
，
，
令，则9分
设平面的法向量，则
，
令，则，即，11分
所以，即平面与平面夹角12分
19.解：
（1）由得点N在射线AC上，，因为的面积等于与面积的和，所以
，得：
，3分
又，所以，即AN=4，
，即；6分
（2）设，则，因为的面积等于与面积的和，所以
，
得：
，7分
又，，所以，
即，
所以的面积
即
10分
（其中：
为锐角），
所以当时，的面积最大，最大值是。
12分
20.解：
（1）因为离心率为，所以a=2b，，
所以椭圆的方程可化为，直线的方程为，2分
由方程组，得：
，即
，4分
设C（x1,y1），D（x2,y2），则，5分
又
，所以，所以b=1，椭圆方程是；7分
（2）由椭圆的对称性，可以设P1（m,n），P2（m,－n），点E在x轴上，设点R（t, 0），则圆E的方程为：
，
由内切圆定义知道，椭圆上的点到点E距离的最小值是，
设点M（x,y）是椭圆C上任意一点，则，9分
当x=m时，最小，所以①10分
又圆E过点F，所以②11分
点P1在椭圆上，所以③12分
由①②③解得：
，又时，，不合，
综上：
椭圆C存在符合条件的内切圆，点E的坐标是（）13分
21.解：
（1）b=0时，，则，1分
当时，，所以函数在区间（0，）上单调递减；2分
当时，所以函数在区间（0，）上单调递增；3分
当时，存在，使得，即，4分
时，，函数在区间（0，）上单调递增，5分
时，，函数在区间（，）上单调递减。
6分
（2）a=2b时，,
恒成立，等价于，7分
记，则
，8分
当，即时，，g（x）在区间上单调递减，
所以当时，，即恒成立；10分
当，即时，记，则，
存在，使得，
此时时，，单调递增，，即，
所以，即，不合题意；12分
当时，，不合题意；13分
综上，实数a的取值范围是14分
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