二次函数复习一.docx

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二次函数复习一

二次函数复习一

一：

【课前预习】

（一）：

【知识梳理】

1．二次函数的定义：

形如（）的函数为二次函数．

2．二次函数的图象及性质：

（1）二次函数的图象是一条．顶点为，对称轴；当a＞0时，抛物线开口向，图象有，且＞，y随x的增大而，＜，y随x的增大而；当a＜0时，抛物线开口向，图象有，且＞，y随x的增大而，＜，y随x的增大而．

（3）当a＞0时，当x=时，函数为；当a＜0时，当x=时，函数为

3.二次函数表达式的求法：

（1）若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得；

（2）若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：

其中顶点为（h，k）对称轴为直线x=h；

（3）若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式：

其中与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0）

（二）：

【课前练习】

1.下列函数中，不是二次函数的是（）

A.；B.；C.；D.

2.函数的图象是（3，2）为顶点的抛物线，则这个函数的解析式是（）A.；B.；C.；D.

3.二次函数y=1－6x－3x2的顶点坐标和对称轴分别是（）

A．顶点（1，4），对称轴x=1；B．顶点（－1，4），对称轴x=－1C．顶点（1，4），对称轴x=4；D．顶点（－1，4），对称轴x=4

4.把二次函数化成的形式为，图象的开口向，对称轴是，顶点坐标是；当时

随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大；当=时函数有值，其值是；若将该函数经过

的平移可以得到函数的图象。

5.直线与抛物线的交点坐标为。

二：

【经典考题剖析】

1.下列函数中，哪些是二次函数？

2.已知抛物线过三点（－1，－1）、（0，－2）、（1，l）．

（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式；

（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（3）这个函数有最大值还是最小值？

这个值是多少？

3.当x=4时，函数的最小值为－8，抛物线过点（6，0）．求：

（1）函数的表达式；

（2）顶点坐标和对称轴；

（3）画出函数图象

（4）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小．

4.已知二次函数的图象如图所示，试判断的符号

5.已知抛物线y=x2+（2n-1）x+n2-1（n为常数）.

（1）当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；

（2）设A是

（1）所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C.

①当BC=1时，求矩形ABCD的周长；

②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？

如果存在，请求出这

个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由.

解：

（1）由已知条件，得n2-1=0解这个方程，得n1=1,n2=-1

当n=1时，得y=x2+x,此抛物线的顶点不在第四象限.当n=-1时，得y=x2-3x,此抛物线的顶点在第四象限.∴所求的函数关系为y=x2-3x.

（2）由y=x2-3x，令y=0,得x2-3x=0，解得x1=0,x2=3

∴抛物线与x轴的另一个交点为（3,0）∴它的顶点为（,）,对称轴为直线x=,其大致位置如图所示，

①∵BC=1，由抛物线和矩形的对称性易知OB=×（3-1）=1.∴B（1,0）∴点A的横坐标x=1,又点A在抛物线y=x2-3x上，∴点A的纵坐标y=12-3×1=-2.

∴AB=|y|=|-2|=2.∴矩形ABCD的周长为：

2（AB+BC）=2×（2+1）=6.

②∵点A在抛物线y=x2-3x上，故可设A点的坐标为（x,x2-3x）,∴B点的坐标为（x,0）.（0＜x＜）,∴BC=3-2x,A在x轴下方，∴x2-3x＜0，

∴AB=|x2-3x|=3x-x2∴矩形ABCD的周长P=2[（3x-x2）+（3-2x）]=-2（x-）2+

∵a=-2＜0,∴当x=时，矩形ABCD的周长P最大值为.此时点A的坐标为A（,）.

三：

【课后训练】

1.把抛物线y=－（x－2）2－1经平移得到（）

A．向右平移2个单位，向上平移1个单位；B．向右平移2个单位，向下平移1个单位C．向左平移2个单位，向上平移1个单位；D．向左平移2个单位，向下平移1个单位

2.某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（）

A．y=x2+a；B．y=a（x－1）2；C．y=a（1－x）2；D．y＝a（l+x）2

3.设直线y=2x—3，抛物线y=x2－2x，点P（1，－1），那么点P（1，－1）（）

A．在直线上，但不在抛物线上；B．在抛物线上，但不在直线上C．既在直线上，又在抛物线上；D．既不在直线上，又不在抛物线上

4.二次函数y=2（x－3）2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（）

A．开口向下，对称轴x=－3，顶点坐标为（3,5）

B．开口向下，对称轴x＝3，顶点坐标为（3，5）

C．开口向上，对称轴x=－3，顶点坐标为（－3,5）

D．开口向上，对称轴x=－3，顶点坐标为（－3,－5）

5.已知y＝（a－3）x2+2x－l是二次函数；当a______时，它的图象是开口向上的抛物线，抛物线与y轴的交点坐标．

6.抛物线如图所示，则它关于y轴对称的抛物线的解析式是

7.已知抛物线的对称轴为直线x=－2，且经过点（－l，－1），（－4，0）两点．

（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式；

（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（3）这个函数有最大值还是最小值？

这个值是多少？

8.已知抛物线与x轴交于点（1，0）和（2，0）且过点（3，4），

（1）求抛物线的解析式．

（2）顶点坐标和对称轴；（3）画出函数图象（4）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小．

9.已知函数

（1）用配方法将解析式化成顶点式。

（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（3）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小

（4）求出函数图象与坐标轴的交点坐标

10.阅读材料：

当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，

抛物线的顶点坐标也将发生变化．

例如：

由抛物线①，有y=②，所以抛物线的顶点坐标为（m，2m－1），即当m的值变化时，x、y的值随之变化，因而y值也随x值的变化而变化，将③代人④，得y=2x—1⑤．可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足关系式y=2x－1，回答问题：

（1）在上述过程中，由①到②所用的数学方法是________，其中运用了_________公式，由③④得到⑤所用的数学方法是______；

（2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x之间的关系式.

二次函数复习二

一：

【课前预习】

（一）：

【知识梳理】

1．二次函数与一元二次方程的关系：

（1）一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0

时的情况．

（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：

有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根．

（3）当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；当二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c没有实数根

2.二次函数的应用：

（1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值；

（2）二次函数的应用包括以下方面：

分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值．

3.解决实际问题时的基本思路：

（1）理解问题；

（2）分析问题中的变量和常量；（3）

用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等．

（二）：

【课前练习】

1.直线y=3x—3与抛物线y=x2－x+1的交点的个数是（）

A．0B．1C．2D．不能确定

2.函数的图象如图所示，那么关于x的方程的根的情况是（）

A．有两个不相等的实数根；B．有两个异号实数根

C．有两个相等实数根；D．无实数根

3.不论m为何实数，抛物线y=x2－mx＋m－2（）

A．在x轴上方；B．与x轴只有一个交点

C．与x轴有两个交点；D．在x轴下方

4.已知二次函数y=x2－x—6·

（1）求二次函数图象与坐标轴的交点坐标及顶点坐标；

（2）画出函数图象；

（3）观察图象，指出方程x2－x—6=0的解；

（4）求二次函数图象与坐标轴交点所构成的三角形的面积.

二：

【经典考题剖析】

1.已知二次函数y=x2－6x+8，求：

（1）抛物线与x轴J轴相交的交点坐标；

（2）抛物线的顶点坐标；

（3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题：

①方程x2－6x＋8=0的解是什么？

②x取什么值时，函数值大于0？

③x取什么值时，函数值小于0？

解：

（1）由题意，得x2－6x+8=0．则（x－2）（x－4）=0，x1=2，x2=4．所以与x轴交点为（2,0）和（4，0）当x1=0时，y=8．所以抛物线与y轴交点为（0，8）；

（2）∵；∴抛物线的顶点坐标为（3，－1）

（3）如图所示．①由图象知，x2－6x+8=0的解为x1=2，x2=4．②当x＜2或x＞4时，函数值大于0；③当2＜x＜4时，函数值小于0．

2.已知抛物线y＝x2－2x－8，

（1）求证：

该抛物线与x轴一定有两个交点；

（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积．

解：

（1）证明：

因为对于方程x2－2x－8=0，其判别式△=（-2）2－4×（－8）－36＞0，所以方程x2－2x－8=0有两个实根，抛物线y=x2－2x－8与x轴一定有两个交点

二次函数复习二

一：

【课前预习】

（一）：

【知识梳理】1．二次函数与一元二次方程的关系：

（1）一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的情况．

（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：

有两

个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与

x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元

二次方程ax2＋bx＋c=0的根．

（3）当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；当二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c没有实数根

2.二次函数的应用：

（1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值；

（2）二次函数的应用包括以下方面：

分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小