学案74.docx

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学案74

学案74　几何证明选讲

（二）直线与圆的位置关系

导学目标：

1.理解圆周角定理，弦切角定理及其推论；2.理解圆的切线的判定及性质定理；3.理解相交弦定理，割线定理，切割线定理；4.理解圆内接四边形的性质定理及判定．

自主梳理

1．圆周角、弦切角及圆心角定理

（1）__________的度数等于其的对______的度数的一半．

推论1：

________（或________）所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角__________相等．

推论2：

半圆（或直径）所对的__________等于90°.反之，90°的圆周角所对的弧是________（或__________）．

（2）弦切角的度数等于其所夹孤的度数的____．

（3）圆心角的度数等于它所对弧的度数．

2．圆中比例线段有关定理

（1）相交弦定理：

______的两条____________，每条弦被交点分成的____________的积相等．

（2）切割线定理：

从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的____________．

（3）割线定理：

从圆外一点引圆的两条________，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．

温馨提示　相交弦定理，切割线定理，割线定理揭示了与圆有关的线段间的比例关系，在与圆有关的比例线段问题的证明、计算以及证明线段或角相等等问题中应用甚广．

3．切线长定理

从________一点引圆的两条切线，__________相等．

4．圆内接四边形的性质与判定定理

（1）性质定理：

圆内接四边形的对角________．

推论：

圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内角的________．

（2）判定定理：

如果四边形的__________，则四边形内接于____．

推论：

如果四边形的一个外角等于它的____________，那么这个四边形的四个顶点________．

5．圆的切线的性质及判定定理

（1）性质定理：

圆的切线垂直于经过切点的________．

推论1：

经过________且________与垂直的直线必经过切点．

推论2：

经过________且切线与垂直的直线必经过______________________________．

（2）判定定理：

过半径________且与这条半径________的直线是圆的切线．

自我检测

1．如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，D是AB上一点，且AD＝2DB，以D为圆心，DB为半径的圆与AC相切，则sinA＝________.

2．（2010·南京模拟）如图，AB是圆O的直径，EF切圆O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC长为________．

3．（2011·湖南）如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．

4．如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于点D，若AD＝32，CD＝18，则AB＝________.

5．（2010·揭阳模拟）如图，已知P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，PF＝12，PD＝4，则圆O的半径长为________、∠EFD的度数为________.

探究点一　与圆有关的等角、等弧、等弦的判定

例1如图，⊙O的两条弦AC，BD互相垂直，OE⊥AB，垂足为点E.求证：

OE＝CD.

变式迁移1在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆O交BC于点N；若AC＝AB，求证：

BN＝3MN.

探究点二　四点共圆的判定

例2如图，四边形ABCD中，AB、DC的延长线交于点E，AD，BC的延长线交于点F，∠AED，∠AFB的角平分线交于点M，且EM⊥FM.求证：

四边形ABCD内接于圆．

变式迁移2如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．

（1）证明：

A，P，O，M四点共圆；

（2）求∠OAM＋∠APM的大小．

探究点三　与圆有关的比例线段的证明

例3如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B，C，∠APC的角平分线分别与AB，AC相交于点D，E，求证：

（1）AD＝AE；

（2）AD2＝DB·EC.

变式迁移3（2010·全国）

如图，已知圆上的弧＝，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：

（1）∠ACE＝∠BCD；

（2）BC2＝BE×CD.

1．圆周角定理与圆心角定理在证明角相等时有较普遍的应用，尤其是利用定理进行等角代换与传递．

2．要注意一些常用的添加辅助线的方法，若证明直线与圆相切，则连结直线与圆的公共点和圆心证垂直；遇到直径时，一般要引直径所对的圆周角，利用直径所对的圆周角是直角解决有关问题．

3．判断两线段是否相等，除一般方法（通过三角形全等）外，也可用等线段代换，或用圆心角定理及其推论证明．

4．证明多点共圆的常用方法：

（1）证明几个点与某个定点距离相等；

（2）如果某两点在某条线段的同旁，证明这两点对这条线段的张角相等；

（3）证明凸四边形内对角互补（或外角等于它的内角的对角）．

5．圆中比例线段有关定理常与圆周角、弦切角联合应用，要注意在题中找相等的角，找相似三角形，从而得到线段的比．

（满分：

75分）

一、填空题（每小题5分，共40分）

1．如图，已知AB，CD是⊙O的两条弦，且AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别是E，F，则结论①＝，②∠AOB＝∠COD，③OE＝OF，④＝中，正确的有________个．

2．（2010·湖南）如图所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A、B两点．已知PA＝2，点P到⊙O的切线长PT＝4，则弦AB的长为________．

3．（2010·陕西）

如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm,4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则＝________.

4．（2009·广东）如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的面积为________．

5．已知PA是圆O的切线，切点为A，PA＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB＝1，则圆O的半径R＝________.

6．如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD＝2，AB＝3.则BD的长为________．

7．（2011·天津）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．

8．（2010·天津）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若＝，＝，则的值为________．

二、解答题（共35分）

9．（11分）如图，三角形ABC中，AB＝AC，⊙O经过点A，与BC相切于B，与AC相交于D，若AD＝CD＝1，求⊙O的半径r.

10．（12分）（2009·江苏）如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.求证：

AB∥CD.

11．（12分）（2011·江苏）如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2（r1>r2）．圆O1的弦AB交圆O2于点C（O1不在AB上）．求证：

AB∶AC为定值．

学案74　几何证明选讲

（二）直线与圆的位置关系

自主梳理

1．

（1）圆周角　弧　同弧　等弧　所对的弧　圆周角　半圆　弦为直径　

（2）一半　

2.

（1）圆　相交弦　两条线段长

（2）等比中项　（3）割线　3.圆外　切线长　4.

（1）互补　对角　

（2）对角互补　圆　内角的对角　共圆

5．

（1）半径　圆心　切线　切点　圆心　

（2）外端　垂直

自我检测

1.

解析　设切点为T，则DT⊥AC，AD＝2DB＝2DT，

∴∠A＝30°，sinA＝.

2．2

解析　连接CB，则∠DCA＝∠CBA，

又∠ADC＝∠ACB＝90°，

∴△ADC∽△ACB.

∴＝.

∴AC2＝AB·AD＝2×6＝12.

∴AC＝2.

3.

解析　如图，连接CE，AO，AB.根据A，E是半圆周上的两个三等分点，BC为直径，可得∠CEB＝90°，∠CBE＝30°，∠AOB＝60°，故△AOB为等边三角形，AD＝，OD＝BD＝1，∴DF＝，∴AF＝AD－DF＝.

4．40

解析　如图，连接BD，则BD⊥AC，由射影定理知，

AB2＝AD·AC＝32×50＝1600，故AB＝40.

5．4　30°

解析　由切割线定理得PD2＝PE·PF，

∴PE＝＝＝4，∴EF＝8，OD＝4.

又∵OD⊥PD，OD＝PO，∠P＝30°，

∠POD＝60°＝2∠EFD，∴∠EFD＝30°.

课堂活动区

例1解题导引　

（1）借用等弦或等弧所对圆周角相等，所对的圆心角相等，进行角的等量代换；同时也可借在同圆或等圆中，相等的圆周角（或圆心角）所对的弧相等，进行弧（或弦）的等量代换．

（2）本题的证法是证明一条线段等于另一条线段的一半的常用方法．

证明　作直径AF，连接BF，CF，则∠ABF＝∠ACF＝90°.

又OE⊥AB，O为AF的中点，

则OE＝BF.

∵AC⊥BD，

∴∠DBC＋∠ACB＝90°，

又∵AF为直径，∠BAF＋∠BFA＝90°，

∵∠AFB＝∠ACB，

∴∠DBC＝∠BAF，即有CD＝BF.

从而得OE＝CD.

变式迁移1证明　∵CM是∠ACB的平分线，

∴＝，

即BC＝AC·，

又由割线定理得BM·BA＝BN·BC，

∴BN·AC·＝BM·BA，

又∵AC＝AB，∴BN＝3AM，

∵在圆O内∠ACM＝∠MCN，

∴AM＝MN，∴BN＝3MN.

例2解题导引　证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．

证明　连接EF，

因为EM是∠AEC的角平分线，

所以∠FEC＋∠FEA＝2∠FEM.

同理，∠EFC＋∠EFA＝2∠EFM.

而∠BCD＋∠BAD＝∠ECF＋∠BAD

＝（180°－∠FEC－∠EFC）＋（180°－∠FEA－∠EFA）

＝360°－2（∠FEM＋∠EFM）

＝360°－2（180°－∠EMF）＝2∠EMF＝180°，

即∠BCD与∠BAD互补．

所以四边形ABCD内接于圆．

变式迁移2

（1）证明　连接OP，OM，

因为AP与⊙O相切于点P，

所以OP⊥AP.

因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC.

于是∠OPA＋∠OMA＝180°，

由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，

所以A，P，O，M四点共圆．

（2）解　由

（1）得A，P，O，M四点共圆，

所以∠OAM＝∠OPM.

由

（1）得OP⊥AP.

由圆心O在∠PAC的内部，

可知∠OPM＋∠APM＝90°，

所以∠OAM＋∠APM＝90°.

例3解题导引　寻找适当的相似三角形，把几条要证的线段集中到这些相似三角形中，再用圆中角、与圆有关的比例线段的定理找到需要的比例式，使问题得证．

证明　

（1）∠AED＝∠EPC＋∠C，∠ADE＝∠APD＋∠PAB.

因PE是∠APC的角平分线，故∠EPC＝∠APD，PA是⊙O的切线，故∠C＝∠PAB.

所以∠AED＝∠ADE.故AD＝AE.

（2）⇒△PCE∽△PAD⇒＝；

⇒△PAE∽△PBD⇒＝.

又PA是切线，PBC是割线⇒PA2＝PB·PC⇒＝