中考数学高分突破第三单元函数.docx

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中考数学高分突破第三单元函数

第三单元函数

第一课时平面直角坐标系与函数

第二课时一次函数及其应用

第三课时反比例函数及其应用

第四课时二次函数的图象与性质

第五课时二次函数的应用

第一课时平面直角坐标系与函数

考点1平面直角坐标系及点的坐标特征

1.有序实数对：

有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序实数对，记作（a,b）.在建立平面直角坐标系后，平面上的点与实数是一一对应的.

２．平面直角坐标系：

为了用有序

实数对表示平面内的一个点，需要

用两根互相垂直的数轴，一根叫横

轴（通常称为x轴），另一根叫纵

轴（通常称为y轴），它们的交点O

是这两根数轴的原点，横轴以向右

为正方向，纵轴以向上为正方向，横轴与纵轴的单位长度通常取成一致（有时也可以不一致），这样建立的两根数轴构成平面直角坐标系，记作Oxy，如图．

3．平面直角坐标系中点的坐标特征

归纳总结

◆象限角平分线上点的坐标特征：

第一、三象限的角的平分线上的点，横纵坐标相等；第二、四象限的角平分线上的点，横纵坐标互为相反数．

4．坐标系内点的平移与轴反射（轴对称）

考点2函数的相关概念

（1）变量：

某一变化过程中取值发生变化的量叫做变量．

（2）常量：

某一变化过程中取值固定不变的量叫做常量．

（3）函数：

在讨论的问题中，如果变量y随着变量x而变化，并且对于x取的每一值，y都有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数，记作y=f（x）.这时把x叫作自变量，把y叫做因变量．

（4）函数值：

对于自变量x取的每一个值a，因变量y的对应值称为函数值，记作f（a）．

考点3自变量的取值范围（高频考点）

考点4函数的表示方法及其图象

1.函数的表示方法有列表法、图象法、解析法在解决一些与函数有关的问题时，有时可以同时用两种或两种以上的方法来表示函数.

2.函数图象的画法

一般来说，画函数图象采用的方法为描点法，步骤可以概括为列表、描、连线三步.

温馨提示

◆函数图象时，要注意自变量的取值范围，当图象有端点时，还要注意端点是否有等号，有等号画实心点，无等号画空心小圆圈.

3．分析函数图象判断结论正误

分清图象的横纵坐标代表的量及函数中自变量的取值范围，同时也要注意：

①分段函数要分段讨论；②转折点：

判断函数图象的斜率或增减性发生变化的关键点；③平行线：

函数值随自变量的增大而保持不变．再结合题干推导出实际问题的运动过程，从而判断结论的正误．

4．判断函数图象的方法

（1）判断符合实际问题的函数图象时，需遵循以下几点：

①找起点：

结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找相对应点；②找特殊点：

即指交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；③判断图象趋势：

判断出函数的增减性；④看是否与坐标轴相交：

即此时另外一个量为０．

（2）以几何图形中动点为背景判断函数图象的题目，一般的解题思路设时间为t（或路程为x），找因变量与t（或x）之间存在的函数关系，用含t（或x）的式子表示，再找相对应的函数图象，要注意的是是否需要分类讨论自变量的取值范围.

题型一坐标系中点坐标的特征

例１将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′关于y轴对称的点的坐标是（C）

A.（-3，2）　　　

B.（-1，2）

C.（1，2）

D.（1，-2）

【解析】把点A（3,2）沿x轴向左平移4个单位，得到点A′（-1,2），点A′关于y轴对称的点的坐标（1,2）．

【归纳总结】坐标系中点平移，向右平移横坐标为加，向左平移横坐标为减．点关于什么轴对称，什么坐标不变，关于原点对称，横纵坐标都变号．

变式题1如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点（-1，-2）．“马”位于点（2，-2），则“兵”位于点（）

A.（-1，1）B.（-2，-1）

C.（-3，1）D.（1，-2）

【解析】∵在象棋盘上建立直角坐标系，

使“帅”位于点（-1，-2），“马”位于点（2，-2），

∴可得出原点位置在棋子“炮”的位置，∴则“兵”位于点（-3，1）．

题型二函数中自变量的取值范围

A.x＞-1

B.x＜-1

C.x≠-1

D.x≠0

【解析】由题意可知，函数的类型为分式型，故根据分式有意义的条件，要使分母不等于0，即x+1≠0，解得x≠-1.

【点评与拓展】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数.

题型三分析判断函数图象

例3如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，沿A→D→C→B→A的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）

【解析】当点P由点A向点D运动时，y的值为0；当点P在DC上运动时，y随着x的增大而增大；当点P在CB上运动时，y不变；当点P在BA上运动时，y随x的增大而减小．

【难点分析】此类问题首先根据动点的运动，分析出图象有几种情形，再利用各情形中变量之间的关系，列出解析式，或图象走势，进而结合图象得出结果.

变式题3　“国际攀岩比赛”中．小丽从家出发开车前去观看，途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续开车前往比赛现场．设小丽从家出发后所用时间为t，小丽与比赛现场的距离为s．下面能反映s与t的函数关系的大致图象是（）

【解析】根据题意可得，s与t的函数关系的大致图象分为四段：

第一段，小丽从出发到往回开，与比赛现场的距离在减小，第二段，往回开到遇到妈妈，与比赛现场的距离在增大，第三段与妈妈聊了一会，与比赛现场的距离不变，第四段，接着开往比赛现场，与比赛现场的距离逐渐变小，直至为0．纵观各选项，只有B选项的图象符合．

第二课时一次函数及其应用

考点1一次函数及其图象性质

1．一次函数的概念

如果函数的解析式是自变量的一次式，那么这样的函数称为一次函数，它的一般形式是：

y=kx+b,其中k≠0.特别地，当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫做正比例函数．

2．一次函数的图象与性质

方法技巧

◆一次函数的图象与性质巧记口诀：

“一次函数是直线，图象经过三象限；正比例函数更简单，经过原点一直线；两个系数k与b，作用之大莫小看，k是斜率定夹角，b与y轴来相见，k为正来右上斜，x增减y增减；k为负来左下展，变化规律正相反；

◆由k的符号可得到函数图象的性质，反过来，由函数图象的性质，可以确定k的符号.

考点2一次函数解析式的确定

1．利用坐标确定一次函数解析式常用待定系数法法．

2．确定一次函数解析式的一般步骤：

（1）设出一次函数解析式y=kx+b；

（2）将x，y的对应值代入解析式y=kx+b，得到含有待定系数的方程或方程组；

（3）求待定系数k，b的值；

（4）将所求待定系数的值代入所设的函数解析式中即可得函数解析式．

3．一次函数的平移求解析式

一次函数y=kx+b的图象可以看作由直线y=kx平移

｜b｜个单位长度而得到（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）.

温馨提示

已知直线l1：

y＝k1x＋b1和l2：

y＝k2x＋b2，若两直线l1∥l2，则有k1＝k2；若l1⊥l2，则k1·k2＝-1.

考点3一次函数与方程、不等式的关系

1．一次函数与方程的关系

（1）一次函数y=kx+b的解析式可转化为二元一次方程kx-y+b=0；

（2）一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标是方程kx+b=0的解；

（3）一次函数y=kx+b与y=k1x+b1的图象交点的横、纵坐标值是方程组的解.

2．一次函数与不等式的关系

（1）函数y=kx+b的函数值y大于0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集，即函数图象位于x轴的上方；

（2）函数y=kx+b的函数值y小于0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集，即函数图象位于x轴的下方；

（3）当两个一次函数有交点时，联立两函数组成方程组，求出交点坐标，两个一次函数可将平面分成四部分，比较两函数交点处，左右两边函数增减来判断．

考点4一次函数的应用

1．利用一次函数的性质解决实际问题的步骤：

（1）设定实际问题中的变量；

（2）建立一次函数关系式；

（3）确定自变量的取值范围；

（4）利用函数的性质解决问题．

2．一次函数的应用有如下常用题型：

（1）根据实际问题中给出的数据列出相应的函数解析式，解决实际问题；

（2）利用一次函数对实际问题中的方案进行比较；

（3）结合函数图象解决实际问题

题型一一次函数的图象与性质

例1　若一次函数y=kx+b的函数值y随x的增大而减小，且图象与y轴的负半轴相交，那么对k和b的符号判断正确的是（）

A.k＞0，b＞0　　　　B.k＞0，b＜0

C.k＜0，b＞0D.k＜0，b＜0

【解析】先根据函数的增减性判断出k的符号，再根据图象与y轴的负半轴相交判断出b的符号．∵一次函数y=kx+b的函数值y随x的增大而减小，∴k＜0；∵图象与y轴的负半轴相交，∴b＜0.

【点评与拓展】一次函数y=kx+b的图象有四种情况：

①当k＞0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y随x的增大而增大；

②当k＞0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大；

③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小；

④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y随x的增大而减小.

变式题1　在一次函数y=kx+2中，若y随x的增大而增大，则它的图象不经过第象限．

【解析】∵在一次函数y=kx+2中，y随x的增大而增大，∴k＞0，∵2＞0，∴此函数的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限．

题型二一次函数实际应用

例2　莲城超市以10元/件的价格调进一批

商品，根据前期销售情况，每天销售量y（件）

与该商品定价x（元）是一次函数关系，

如图所示．

（1）求销售量y与定价x之间的函数关系式；

（2）如果超市将该商品的销售价定为13元／件

，不考虑其他因素，求超市每天销售这种商品所获得的利润．

【思路分析】

（1）由图象可知y与x是一次函数关系，又由函数图象过点（11，10）和（15，2），则用待定系数法即可求得y与x的函数关系式；

（2）根据

（1）求出的函数关系式，再求出每件该商品的利润，即可求得超市每天销售这种商品所获得的利润．

【点评与拓展】解决此类问题，先由图象分析，找到直线上的两点，从而求得直线解析式，再根据图象与题意，将x或y的值代入解析式来求解．

变式题2某产品生产车间有工人10名．已知每名工人每天可生产甲种产品12个或乙种产品10个，且每生产一个甲种产品可获得利润100元，每生产一个乙种产品可获得利润180元．在这10名工人中，车间每天安排x名工人生产甲种产品，其余工人生产乙种产品．

（1）请写出此车间每天获取利润y（元）与x（人）之间的函数关系式；

（2）若要使此车间每天获取利润为14400元，要派多少名工人去生产甲种产品

【思路分析】

（1）根据每个工人每天生产的产品个数以及每个产品的利润，表示出总利润即可；

（2）根据每天获取利润为14400元，则y=14400，求出即可．

解:

（1）根据题意得出：

y=12x×100+10（10-x）×180