北京市中考数学真题与模拟题分类汇编 专题14 图形的性质之解答题345道题原卷版1.docx
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北京市中考数学真题与模拟题分类汇编专题14图形的性质之解答题345道题原卷版1
专题14图形的性质之解答题（3）（45道题）
一．解答题（共45小题）
1．（2019•顺义区一模）已知：
如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点P在AB的延长线上，且∠A＝∠P＝30．
（1）求证：
PC是⊙O的切线；
（2）连接BC，若AB＝4，求△PBC的面积．
2．（2019•海淀区一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝2CD，E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，连接DE、EF．
（1）求证：
四边形CDEF为菱形；
（2）连接DF交AC于点G，若DF＝2，CD
，求AD的长．
3．（2019•顺义区一模）已知：
如图，四边形ABCD是矩形，∠ECD＝∠DBA，∠CED＝90°，AF⊥BD于点F．
（1）求证：
四边形BCEF是平行四边形；
（2）若AB＝4，AD＝3，求EC的长．
4．（2019•东城区一模）下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：
如图1，直线BC及直线BC外一点P．
求作：
直线PE，使得PE∥BC．
作法：
如图2．
①在直线BC上取一点A，连接PA；
②作∠PAC的平分线AD；
③以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AD于点E；
④作直线PE．
所以直线PE就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：
∵AD平分∠PAC，
∴∠PAD＝∠CAD．
∵PA＝PE，
∴∠PAD＝ ，
∴∠PEA＝ ，
∴PE∥BC．（ ）（填推理依据）．
5．（2019•顺义区一模）下面是小明同学设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：
直线l及直线l外一点P．
求作：
直线PQ，使得PQ⊥l．
作法：
如图，
①在直线l上取一点A，以点P为圆心，PA长为半径画弧，与直线l交于另一点B；
②分别以A，B为圆心，PA长为半径在直线l下方画弧，两弧交于点Q；
③作直线PQ．
所以直线PQ为所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：
连接PA，PB，QA，QB．
∵PA＝PB＝QA＝QB，
∴四边形APBQ是菱形 （填推理的依据）．
∴PQ⊥AB （填推理的依据）．
即PQ⊥l．
6．（2019•东城区一模）如图，AB与⊙O相切于点A，P为OB上一点，且BP＝BA，连接AP并延长交⊙O于点C，连接OC．
（1）求证：
OC⊥OB；
（2）若⊙O的半径为4，AB＝3，求AP的长．
7．（2019•海淀区一模）下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：
如图1，直线l及直线l外一点P．
求作：
直线PQ，使PQ∥l．
作法：
如图2，
①在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A、B两点；
②连接PA，以B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；
③作直线PQ；
所有直线PQ就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）．
（2）完成下面的证明：
证明：
连接PB、QB．
∵PA＝QB，
∴
．
∴∠PBA＝∠QPB（ ）（填推理的依据）．
∴PQ∥l（ ）（填推理的依据）．
8．（2019•海淀区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，在⊙O的切线CM上取一点P，使得∠CPB＝∠COA．
（1）求证：
PB是⊙O的切线；
（2）若AB＝4
，CD＝6，求PB的长．
9．（2019•海淀区一模）如图1，线段AB及一定点C、P是线段AB上一动点，作直线CP，过点A作AQ⊥CP于点Q，已知AB＝7cm，设A、P两点间的距离为xcm，A、Q两点间的距离为y1cm，P、Q两点间的距离为y2cm．
小明根据学习函数的经验，分别对函数y1、y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1、y2与x的几组对应值．
x/cm
0
0.3
0.5
0.8
1
1.5
2
3
4
5
6
7
y1/cm
0
0.28
0.49
0.79
1
1.48
1.87
2.37
2.61
2.72
2.76
2.78
y2/cm
0
0.08
0.09
0.06
0
0.29
0.73
1.82
4.20
5.33
6.41
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：
当△APQ中有一个角为30°时，AP的长度约为 cm．
10．（2019•海淀区一模）如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，D是线段AC上一点（CA＞2CD），连接BD，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠ACE＝α，求∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（3）若点G在线段CF上，CG＝BD，连接DG．
①判断DG与BC的位置关系并证明；
②用等式表示DG、CG、AB之间的数量关系为 ．
11．（2019•石景山区一模）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O上一点C作⊙O的切线CD，过点B作BE⊥CD于点E，延长EB交⊙O于点F，连接AC，AF．
（1）求证：
CE
AF；
（2）连接BC，若⊙O的半径为5，tan∠CAF＝2，求BC的长．
12．（2019•西城区一模）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．
（1）求证：
四边形DFCE是菱形；
（2）若∠A＝75°，AC＝4，求菱形DFCE的面积．
13．（2019•西城区一模）下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60°”的尺规作图过程．
已知：
⊙O
求作：
矩形ABCD，使得矩形ABCD内接于⊙O，且其对角线AC，BD的夹角为60°．
作法：
如图
①作⊙O的直径AC；
②以点A为圆心，AO长为半径画弧，交直线AC上方的圆弧于点B；
③连接BO并延长交⊙O于点D；
所以四边形ABCD就是所求作的矩形．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：
∵点A，C都在⊙O上，
∴OA＝OC
同理OB＝OD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°（ ）（填推理的依据）
∴四边形ABCD是矩形
∵AB＝ ＝BO，
∴四边形ABCD四所求作的矩形．
14．（2019•石景山区一模）下面是小立设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：
如图1，直线l及直线l外一点A．
求作：
直线AD，使得AD∥l．
作法：
如图2，
①在直线l上任取一点B，连接AB；
②以点B为圆心，AB长为半径画弧，交直线l于点C；
③分别以点A，C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D（不与点B重合）；
④作直线AD．
所以直线AD就是所求作的直线．
根据小立设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．（说明：
括号里填推理的依据）
证明：
连接CD．
∵AD＝CD＝BC＝AB，
∴四边形ABCD是 （ ）．
∴AD∥l（ ）．
15．（2019•北京一模）下面是“过直线外一点作已知直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：
直线l及直线l外一点P．
求作：
直线PQ，使得PQ⊥l，垂足为Q．
作法：
如图，
①在直线l上任取一点A；
②以点P为圆心，PA为半径作圆，交直线l于点B；
③分别以点A，B为圆心，大于
AB的长为半径画弧，两弧相交于点C；
④连接PC交直线l于点Q．
则直线PQ就是所求作的垂线．
根据上述尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：
∵PA＝ ，AC＝ ，
∴PQ⊥l．（ ）（填推理的依据）
16．（2019•北京一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交BD的延长线于点E，CE＝BC．
（1）求证：
CE是⊙O的切线；
（2）若CD＝2，BD＝2
，求⊙O的半径．
17．（2019•北京一模）如图，▱ABCD中，E，F分别是边BC，AD的中点，∠BAC＝90°．
（1）求证：
四边形AECF是菱形；
（2）若BC＝4，∠B＝60°，求四边形AECF的面积．
18．（2019•北京一模）如图，等边△ABC的边长为3cm，点N在AC边上，AN＝1cm．△ABC边上的动点M从点A出发，沿A→B→C运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为xcm，MN的长为ycm．小西根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小西的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值；
x/cm
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
y/cm
1
0.87
1
1.32
2.18
2.65
2.29
1.8
1.73
1.8
2
（2）在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，画出该函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：
当MN＝2cm时，点M运动的路程为 cm．
19．（2019•门头沟区一模）对于平面直角坐标系xOy中的线段MN和点P，给出如下定义：
点A是线段MN上一个动点，过点A作线段MN的垂线l，点P是垂线l上的另外一个动点．如果以点P为旋转中心，将垂线l沿逆时针方向旋转60°后与线段MN有公共点，我们就称点P是线段MN的“关联点”．
如图，M（1，2），N（4，2）．
（1）在点P1（1，3），P2（4，0），P3（3，2）中，线段MN的“关联点”有 ；
（2）如果点P在直线y＝x+1上，且点P是线段MN的“关联点”，求点P的横坐标x的取值范围；
（3）如果点P在以O（1，﹣1）为圆心，r为半径的⊙O上，且点P是线段MN的“关联点”，直接写出⊙O半径r的取值范围．
20．（2019•平谷区一模）如图，点P是
所对弦AB上一动点，点Q是
与弦AB所围成的图形的内部的一定点，作射线PQ交
于点C，连接BC．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，B，C两点间的距离为y2cm．（当点P与点A重合时，x的值为0）．
小平根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小平的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值；
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
5.37
4.06
2.83
m
3.86
4.83
5.82
y2/cm
2.68
3.57
4.90
5.54
5.72
5.79
5.82
经测量m的值是（保留一位小数）．
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：
当△BCP为等腰三角形时，AP的长度约为 cm．
21．（2019•房山区一模）如图，AB为⊙O直径，点C是⊙O上一动点，过点C作⊙O直径CD，过点B作BE⊥CD于点E．已知AB＝6cm，设弦AC的长为xcm，B，E两点间的距离为ycm（当点C与点A或点B重合时，y的值为0）．
小冬根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小冬的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y/cm
0
0.99
1.89
2.60
2.98
m
0
经测量m的值为 ；（保留两位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：
当BE＝2时，AC的长度约为 cm．
22．（2019•门头沟区一模）下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图的过程．
已知：
如图1，⊙O．
求作：
正方形ABCD，使正方形ABCD内接于⊙O．
作法：
如图2，
①过点O作直线AC，交⊙O于点A和C；
②作线段AC的垂直平分线MN，交⊙O于点B和D；
③顺次连接AB，BC，CD和DA；
则正方形ABCD就是所求作的图形．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝ °，
又∵点B在线段AC的垂直平分线上，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝ °．
同理∠DAC＝45°．
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝45°+45°＝90°．
∴∠DAB＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（ ）（填依据），
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是正方形．
23．（2019•通州区一模）已知：
如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°．
求作：
射线CG，使得CG∥AB．
下面是小东设计的尺规作图过程．
作法：
如图2，
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC，AB于D，E两点；
②以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于点F；
③以点F为圆心，DE长为半径作弧，两弧在∠FCB内部交于点G；
④作射线CG．所以射线CG就是所求作的射线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：
连接FG、DE．
∵△ADE≌△ ，
∴∠DAE＝∠ ．
∴CG∥AB（ ）（填推理的依据）．
24．（2019•平谷区一模）下面是小元设计的“作已知角的角平分线”的尺规作图过程．
已知：
如图，∠AOB．
求作：
∠AOB的角平分线OP．
作法：
如图，
①在射线OA上任取点C；
②作∠ACD＝∠AOB；
③以点C为圆心CO长为半径画圆，交射线CD于点P；
④作射线OP；
所以射线OP即为所求．
根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务．
（1）补全图形；
（2）完成下面的证明：
证明：
∵∠ACD＝∠AOB，
∴CD∥OB（ ）（填推理的依据）．
∴∠BOP＝∠CPO．
又∵OC＝CP，
∴∠COP＝∠CPO（ ）（填推理的依据）．
∴∠COP＝∠BOP．
∴OP平分∠AOB．
25．（2019•平谷区一模）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连接BC交⊙O于点D，点E是
的中点，连接AE交BC于点F．
（1）求证：
AC＝CF；
（2）若AB＝4，AC＝3，求∠BAE的正切值．
26．（2019•延庆区一模）对于图形M、N，给出如下定义：
在图形M中任取一点A，在图形N中任取两点B、C（A、B、C不共线），将∠BAC的最大值α（0°＜α＜180°）叫作图形M对图形N的视角．
问题解决：
在平面直角坐标系xOy中，已知T（t，0），⊙T的半径为1．
（1）当t＝0时，
①求点D（0，2）对⊙O的视角α；
②直线l1的表达式y＝x+2，且直线l1对⊙O的视角α，求sin
．
（2）直线l2的表达式y＝x+t，若直线l2对⊙T的视角α，且60°≤α≤90°，直接写出t的取值范围．
27．（2019•门头沟区一模）如图，在△ABD中，∠ABD＝∠ADB，分别以点B，D为圆心，AB长为半径在BD的右侧作弧，两弧交于点C，连接BC，DC和AC，AC与BD交于点O．
（1）用尺规补全图形，并证明四边形ABCD为菱形；
（2）如果AB＝5，cos∠ABD
，求BD的长．
28．（2019•通州区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上的一点，分别过点A、B作BD、AD的平行线交于点E，且AB平分∠EAD．
（1）求证：
四边形EADB是菱形；
（2）连接EC，当∠BAC＝60°，BC＝2
时，求△ECB的面积．
29．（2019•平谷区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，连接AD，分别过点A，C作AE∥BC，CE∥AD交于点E，连接DE，交AC于点O．
（1）求证：
四边形ADCE是矩形；
（2）若AB＝10，sin∠COE
，求CE的长．
30．（2019•通州区一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点E，在弦BC上取一点F，使AF＝AE，连接AF并延长交⊙O于点D．
（1）求证：
∠B＝∠CAD；
（2）若CE＝2，∠B＝30°，求AD的长．
31．（2019•房山区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．
（1）求证：
∠CBF
∠CAB；
（2）若CD＝2，tan∠CBF
，求FC的长．
32．（2019•房山区一模）已知：
Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．
（1）如图1，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE．若∠BAD＝α，求∠DBE的大小（用含α的式子表示）；
（2）如图2，点D在线段BC的延长线上时，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足E在线段AD上，连接CE．
①依题意补全图2；
②用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明．
33．（2019•通州区一模）数学活动课上，老师提出问题：
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，点D是AB的中点，点E是BC上一个动点，连接AE、DE．问CE的长是多少时，△AED的周长等于CE长的3倍．设CE＝xcm，△AED的周长为ycm（当点E与点B重合时，y的值为10）．
小牧根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小牧的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
y/cm
8.0
7.7
7.5
7.4
8.0
8.6
9.2
10
（说明：
补全表格时相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出上表中对应值为坐标的点，画出该函数的图象，如图2；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：
①当CE的长约为 cm时，△AED的周长最小；
②当CE的长约为 cm时，△AED的周长等于CE的长的3倍．
34．（2019•门头沟区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB的中点，P是线段BC上一动点，连接AP和DP．如果BC＝8cm，设B，P两点间的距离为xcm，D，P两点间的距离为y1cm，A，P两点间的距离为y2cm．
小明根据学习函数经验，分别对函数y1和y2随自变量x变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请将它补充完整：
（1）按下表中自变量x值进行取点、画图、测量，得到了y1和y2与x几组对应值：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y1/cm
2.50
1.80
1.50
1.80
3.35
4.27
5.22
6.18
y2/cm
5.00
4.24
3.61
3.16
3.00
3.16
3.61
4.24
5.00
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y2）和（x，y1），并画出函数y1和y2的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：
当DP＝AP时，BP的长度约为 cm（结果精确到0.01）．
35．（2019•延庆区一模）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E、F分别是边BC上的两点，且∠EOF＝45°，将∠EOF绕点O逆时针旋转，当点F与点C重合时，停止旋转，已知，BC＝6，设BE＝x，EF＝y．
小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量x的值进行取点，画图、测量，得到了y与x的几组对应值：
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
y
3
2.77
2.50
2.55
2.65
（说明：
补全表格时相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出补全后的表中对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：
当EF＝2BE时，BE的长度约为 ．
36．（2019•延庆区一模）已知：
四边形ABCD中，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AD＝CD，对角线AC、BD相交于点O，且BD平分∠ABC，过点A作AH⊥BD，垂足为H．
（1）求证：
∠ADB＝∠ACB；
（2）判断线段BH、DH、BC之间的数量关系，并证明．
37．（2019•延庆区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是AB上一动点，且与点C分别位于直径AB的两侧，tan∠CPB
，过点C做CQ⊥CP交PB的延长线于点Q；
（1）当点P运动到什么位置时，CQ恰好是⊙O的切线？
（2）若点P与点C关于直径AB对称，且AB＝5，求此时CQ的长．
38．（2019•延庆区一模）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点D，且AC⊥BC，点E是BC延长线上一点，
，连接DE．
（1）求证：
四边形ACED为矩形；
（2）连接OE，如果BD＝10，求OE的长．
39．（2019•延庆区一模）下面是小东设计的“已知两线段，求作直角三角形”的尺规作图过程．
已知：
如图1，线段a及线段b（a＜b）．
求作：
Rt△ABC，使得a、b分别为它的直角边和斜边．
作法：
如图2，
①作射线CM，在CM上顺次截取CB＝BD＝a；
②分别以点C、D为圆心，以b的长为半径画弧，两弧交于点A；
③连接AB、AC，则△ABC就是所求作的直角三角形．
根据小东设计的尺规作图过程．
（1）补全图形，保留作图痕迹；
（2）完成下面的证明．
证明：
连接AD．
∵ ＝AD，CB＝ ．
∴∠ABC＝90°（ ）（填推理依据）．
40．（2019•房山区一模）如图，矩形ABCD中，
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