秋北师大版九年级数学下册河南检测章末复习三 圆.docx

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秋北师大版九年级数学下册河南检测章末复习三圆

章末复习（三）　圆

01　　知识结构

圆

本章在中考中题型比较固化，选填题中考查阴影部分的面积，难度稍大，一般位于压轴题或次压轴题的位置；解答题考查一道圆的综合题，通常与四边形结合考查，在第2道或第3道解答题，难度不大，对圆的考查涉及垂径定理、圆周角定理、切线的性质及判定等.2011～2013年只考查选填题，考查内容有垂径定理、圆周角定理、切线的性质、弧长的计算等．

02　　分点突破

命题点1　圆的有关概念

1．下列命题中正确的有（A）

①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．

A．1个B．2个

C．3个D．4个

2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD＝（A）

A．10°

B．15°

C．20°

D．25°

命题点2　圆的对称性

3．下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（C）

A．等边三角形B．平行四边形

C．圆D．正五边形

4．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC＝40°，D是的中点，则∠ACD＝125°．

命题点3　垂径定理（河南中考2013T7）

5．如图，点A、B是⊙O上两点，AB＝10，点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合），连接AP、PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF＝（B）

A．4B．5

C．5.5D．6

第5题图第6题图

6．（六盘水中考）赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R＝25米．

命题点4　圆心角与圆周角定理（河南中考2017T18，2016T18，2013T7）

7．（福建中考）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（D）

A．∠ADCB．∠ABD

C．∠BACD．∠BAD

第7题图第8题图

8．（绍兴中考）如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠DOE的度数为90°．

9．如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，且∠DAE＝∠DAC.求证：

DB＝DC.

证明：

∵∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，

∴∠DAE＝∠DCB.

又∵∠DAE＝∠DAC，

∴∠DCB＝∠DAC.

∵∠DAC＝∠DBC，

∴∠DCB＝∠DBC.

∴DB＝DC.

命题点5　三角形的外接圆与内切圆

10．如图，点O是△ABC的内心，∠A＝62°，则∠BOC＝（D）

A．59°

B．31°

C．124°

D．121°

11．已知等腰三角形ABC，如图．

（1）用直尺和圆规作△ABC的外接圆；

（2）设△ABC的外接圆的圆心为点O，若∠BOC＝128°，求∠BAC的度数．

解：

（1）如图．

（2）在优弧BC上任取一点D，连接BD，CD.

∵∠BOC＝128°，

∴∠BDC＝∠BOC＝64°.

∴∠BAC＝180°－∠BDC＝116°.

命题点6　点、直线与圆的位置关系

12．（白银中考）已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（A）

A．相交B．相切

C．相离D．无法判断

13．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的值可以是下列选项中的（B）

A．3

B．4

C．5

D．6

命题点7　切线的性质与判定（河南中考2017T18，2014T17，2013T7）

14．（益阳中考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P点，若∠P＝40°，则∠D的度数为115°．

第14题图第15题图

15．如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC＝30°，弦EF∥AB，则EF的长度为2．

16．（宿迁中考）如图1，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3，⊙O是△ABD的外接圆．

　　　　　图1　　　　　　　　　　　图2

（1）求证：

AC是⊙O的切线；

（2）当BD是⊙O的直径时（如图2），求∠CAD的度数．

解：

（1）证明：

连接AO，延长AO交⊙O于点E，则AE为⊙O的直径，连接DE.

∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3，∠ADB＝∠ACB＋∠CAD，∴∠ABC＝∠CAD.

∵AE为⊙O的直径，∴∠ADE＝90°.

∴∠EAD＝90°－∠AED.

∵∠AED＝∠ABD，∴∠AED＝∠ABC＝∠CAD.

∴∠EAD＝90°－∠CAD，即∠EAD＋∠CAD＝90°.

∴EA⊥AC.∴AC是⊙O的切线．

（2）∵BD是⊙O的直径，

∴∠BAD＝90°，∠ABC＋∠ADB＝90°.

∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3，

∴4∠ABC＝90°.∴∠ABC＝22.5°.

由

（1）知∠ABC＝∠CAD，∴∠CAD＝22.5°.

命题点8　与圆有关的计算（河南中考2017T10，2016T14，2015T14，2014T14）

17．如图，半圆的圆心为点O，直径AB的长为12，C为半圆上一点，∠CAB＝30°，则的长是（D）

A．12π

B．6π

C．5π

D．4π

18．已知扇形的圆心角为60°，半径长为12，则扇形的面积为（D）

A.πB．2πC．3πD．24π

19．如图，已知⊙O的周长等于8πcm，则圆内接正六边形ABCDEF的边心距OM的长为（B）

A．2cm

B．2cm

C．4cm

D．4cm

20．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A＝30°，BC＝2，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P，过点P作PF⊥AC于点F.

（1）求劣弧PC的长；（结果保留π）

（2）求阴影部分的面积．（结果保留π）

解：

（1）∵点D是AB的中点，PD经过圆心，

∴PD⊥AB.

∵∠A＝30°，

∴∠POC＝∠AOD＝60°，

OA＝2OD.

∵PF⊥AC，

∴∠OPF＝30°.

∴OF＝OP.

∵OA＝OC，AD＝BD，

∴BC＝2OD.

∴OA＝BC＝2.

∴⊙O的半径为2.

∴劣弧PC的长为＝π.

（2）∵OF＝OP，

∴OF＝1.

∴PF＝＝.

∴S阴影＝S扇形OPC－S△OPF＝－×1×

＝π－.

03　　综合训练

21．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，已知DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（C）

A.B.

C．8D．6

第21题图第22题图

22．如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（A）

A.－B.－π

C．2－D.－

23．已知⊙O的半径为r，其内接正六边形，正四边形，正三角形的边长分别为a，b，c，则a∶b∶c的值为（C）

A．1∶2∶3B．3∶2∶1

C．1∶∶D.∶∶1

24．（河南调考）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直弦AC于点E，且交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线与BA的延长线相交于点F，下列结论不一定正确的是（D）

A．∠CDB＝∠BFDB．△BAC∽△OFD

C．DF∥ACD．OD＝BC

第24题图第25题图

25．如图，已知直线y＝x－4与x轴，y轴分别交于A，B两点，以C（0，1）为圆心、1为半径的圆上找一动点P，连接PA，PB，则△PAB面积的最大值是（A）

A．10B．9

C．6＋D．9

26．已知，如图，半径为1的⊙M经过平面直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，点A的坐标为（，0），⊙M的切线OC与直线AB交于点C.则∠ACO＝30°.

　　习题解析

27．（郑州二模）四边形ABCD的对角线交于点E，且AE＝EC，BE＝ED，以AB为直径的半圆过点E，圆心为O.

（1）利用图1，求证：

四边形ABCD是菱形；

（2）如图2，若CD的延长线与半圆相切于点F，且直径AB＝8.

①△ABD的面积为16；

②的长为π．

证明：

∵AE＝EC，BE＝ED，

∴四边形ABCD是平行四边形．

∵以AB为直径的半圆过四边形ABCD的对角线交点E，

∴∠AEB＝90°，即AC⊥BD.

∴四边形ABCD是菱形．

28．（葫芦岛中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，线段FD，AB的延长线相交于点G.

（1）求证：

DF是⊙O的切线；

（2）若CF＝1，DF＝，求图中阴影部分的面积．

解：

（1）证明：

连接AD，OD.∵AB为直径，

∴∠ADB＝90°.

∴AD⊥BC.

∵AC＝AB，

∴点D为线段BC的中点．

∵点O为AB的中点，

∴OD为△BAC的中位线．∴OD∥AC.

∵DF⊥AC，∴DF⊥OD.∴DF是⊙O的切线．

（2）在Rt△CFD中，CF＝1，DF＝，

∴tan∠C＝＝，CD＝2.∴∠C＝60°.

∵AC＝AB，∴△ABC为等边三角形．∴AB＝4.

∵OD∥AC，∴∠DOG＝∠BAC＝60°.

∴DG＝OD·tan∠DOG＝2.

∴S阴影＝S△ODG－S扇形OBD＝DG·OD－×OB2＝2－π.

29．如图所示，BC是半圆O的直径，AD⊥BC，垂足为点D，＝，BF与AD，AO分别交于点E，G.求证：

（1）∠DAO＝∠FBC；

（2）AE＝BE.

证明：

（1）连接CF.

∵＝，O为圆心，

∴点G是BF的中点，OG⊥BF.

∵BC是半圆O的直径，

∴CF⊥BF.

∴OG∥CF.

∴∠AOB＝∠FCB.

∵∠DAO＝90°－∠AOB，∠FBC＝90°－∠FCB，

∴∠DAO＝∠FBC.

（2）连接AC，AB.

∵＝，

∴∠BCA＝∠ACF＝∠ABF.

∵BC为圆的直径，

∴∠BAC＝90°.

∴∠ABC＋∠ACB＝90°.

又∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.

∴∠ABC＋∠BAD＝90°.

∴∠BAD＝∠BCA.

∴∠ABF＝∠BAD.

∴AE＝BE.