平面向量.docx

平面向量.docx

《平面向量.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面向量.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

平面向量

平面向量

基础知识：

1、向量：

既有大小又有方向的量叫向量．

2.平行向量：

若非零向量方向相同或相反，则；规定零向量与任一向量平行

3、向量相等：

模相等，方向相同；相反向量：

模相等，方向相反

4、两个非零向量、的夹角：

做=；=；叫做与的夹角。

5.向量在方向上的投影：

设为、的夹角，则为在方向上的投影

6、坐标表示：

、分别是与轴、轴同向的单位向量，若，则叫做的坐标。

向量的坐标表示:

;

若向量，则|；

若P1（，）、P2（，），则;

||=

7.向量的坐标运算及重要结论：

若=（，）,=（，）,则

1②

3④

5⑥+=0

7cos=（为向量的夹角）

8.点P分有向线段所成的比的：

，或

P内分线段时,;P外分线段时,.

9.定比分点坐标公式：

，中点坐标公式：

10.三角形重心公式及推导（见课本例2）：

三角形重心公式：

基本运算：

运算

向量形式

坐标形式：

；

加法

三角形法则（作图）：

平行四边形法则（作图）：

+=

减法

作图：

-=

数乘

是一个向量，

方向：

时，与同向；时，与反向；时，

数量积

·=

·=

典型例题分析：

【例题解析】

1.向量的概念，向量的基本运算

（1）理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念.

（2）掌握向量的加法和减法.

（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.

（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.

（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件.

（6）掌握平面两点间的距离公式.

例1（2007年北京卷理）已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（　　）

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

命题意图:

本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．

解：

故选A．

例2．（2006年安徽卷）在中，，M为BC的中点，则______.（用表示）

命题意图:

本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积.

解：

，，所以,.

例3．（2006年广东卷）如图1所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量（）

（A）（B）

（C）（D）

命题意图:

本题主要考查向量的加法和减法运算能力.

解：

，故选A.

例4．（2006年重庆卷）与向量=的夹解相等，且模为1的向量是（）

（A）（B）或

（C）（D）或

命题意图:

本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题.

解：

设所求平面向量为由

另一方面,当

当

故平面向量与向量=的夹角相等.故选B.

例5．（2006年天津卷）设向量与的夹角为，且，，则__．

命题意图:

本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.

解:

例6.（2006年湖北卷）已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则=（）

（A）（B）（C）（D）

命题意图:

本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及方程的思想解题的能力.

解:

设，则依题意有

故选B.

例7.设平面向量、、的和.如果向量、、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则（）

（A）（B）

（C）（D）

命题意图:

本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.

常规解法：

∵，∴故把2（i=1,2,3），分别按顺时针旋转30后与重合，故，应选D.

巧妙解法：

令=，则=，由题意知=，从而排除B，C，同理排除A，故选（D）.

点评：

巧妙解法巧在取=，使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来解决.

2.平面向量与三角函数,解析几何等问题结合

（1）平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而综合能力较强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的双重效果，解题要点是运用向量知识，将所给问题转化为代数问题求解.

（2）解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度大.

例8．设函数f（x）=a-b,其中向量a=（m,cos2x）,b=（1+sin2x,1）,x∈R,且函数y=f（x）的图象经过点，

（Ⅰ）求实数m的值；

（Ⅱ）求函数f（x）的最小值及此时x的值的集合.

解：

（Ⅰ），

由已知，得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

当时，的最小值为，

由，得值的集合为

例2．设函数.其中向量.

（Ⅰ）求实数的值;（Ⅱ）求函数的最小值.

解：

（Ⅰ），，得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当时，的最小值为．

例9．已知的面积为，且满足，设和的夹角为．

（）求的取值范围；

（）求函数的最大

解：

（Ⅰ）设中角的对边分别为，

则由，，可得，．

（Ⅱ）

．

，，．

即当时，；当时，．

例10．（2007年广东卷理）

　已知ABC的三个顶点的直角坐标分别为A（3,4）、B（0,0）、Ｃ（c,0）

（1）若c=5，求sin∠A的值；

（2）若∠A为钝角，求c的取值范围；

解：

（1），，若c=5，则，

∴，∴sin∠A＝；

（2）∠A为钝角，则解得，∴c的取值范围是

例11．（2007年山东卷文17）

在中，角的对边分别为．

（1）求；

（2）若，且，求．

解：

（1）又

解得．，是锐角．．

（2），，．

又．．

．

．

例12.（2006年湖北卷）设函数，其中向量,

.

（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的.

命题意图:

本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.

解：

（Ⅰ）由题意得，f（x）＝·（）=（sinx,－cosx）·（sinx－cosx,sinx－3cosx）

＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin（2x+）.

所以，f（x）的最大值为2+，最小正周期是＝.

（Ⅱ）由sin（2x+）＝0得2x+＝k.，即x＝,k∈Z，

于是＝（，－2），k∈Z.

因为k为整数，要使最小，则只有k＝1，此时＝（―，―2）即为所求.

例13．（2006年全国卷II）已知向量＝（sinθ，1），＝（1，cosθ），－＜θ＜．

（Ⅰ）若⊥，求θ；

（Ⅱ）求｜＋｜的最大值．

命题意图:

本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力.

解：

（Ⅰ）若⊥，则sinθ＋cosθ＝0，

由此得tanθ＝－1（－＜θ＜），所以θ＝－；

（Ⅱ）由＝（sinθ，1），＝（1，cosθ）得

｜＋｜＝＝

＝，

当sin（θ＋）＝1时，|a＋b|取得最大值，即当θ＝时，|a＋b|最大值为＋1．

例14．（2006年陕西卷）如图，三定点三动点D、E、M满足

（I）求动直线DE斜率的变化范围；

（II）求动点M的轨迹方程。

命题意图:

本小题主要考查平面向量的计算方法、三角公式、

三角函数的性质及图像和圆锥曲线方程的求法等基本知识，

考查推理和运算能力.

解法一:

如图,（Ⅰ）设D（x0,y0）,E（xE,yE）,M（x,y）.由=t,=t,

知（xD－2,yD－1）=t（－2,－2）.∴同理.

∴kDE===1－2t.

∴t∈[0,1],∴kDE∈[－1,1].

（Ⅱ）∵=t∴（x+2t－2,y+2t－1）=t（－2t+2t－2,2t－1+2t－1）=t（－2,4t－2）=（－2t,4t2－2t）.∴,∴y=,即x2=4y.∵t∈[0,1],x=2（1－2t）∈[－2,2].

即所求轨迹方程为:

x2=4y,x∈[－2,2]

解法二:

（Ⅰ）同上.

（Ⅱ）如图,=+=+t=+t（－）=（1－t）+t,

=+=+t=+t（－）=（1－t）+t,

=+=+t=+t（－）=（1－t）+t

=（1－t2）+2（1－t）t+t2.

设M点的坐标为（x,y）,由=（2,1）,=（0,－1）,=（－2,1）得

消去t得x2=4y,∵t∈[0,1],x∈[－2,2].

故所求轨迹方程为:

x2=4y,x∈[－2,2]

例15．（2006年全国卷II）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．

（Ⅰ）证明·为定值；

（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f（λ）的表达式，并求S的最小值．

命题意图:

本小题主要考查平面向量的计算方法、和圆锥曲线方程,以及函数的导数的应用等基本知识，考查推理和运算能力.

解：

（Ⅰ）由已知条件，得F（0，1），λ＞0．

设A（x1，y1），B（x2，y2）．由＝λ，

即得　　（－x1，1－y）＝λ（x2，y2－1），

将①式两边平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得　　y1＝λ2y2③

解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，

抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x．

所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是

y＝x1（x－x1）＋y1，y＝x2（x－x2）＋y2，

即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22．

解出两条切线的交点M的坐标为（，）＝（，－1）．

所以·＝（，－2）·（x2－x1，y2－y1）＝（x22－x12）－2（x22－x12）＝0.

所以·为定值，其值为0．　　　

（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝|AB||FM|．

|FM|＝＝＝＝＝＋．

因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以

|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋＋2＝（＋）2．

于是　　S＝|AB||FM|＝（＋）3，

由＋≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．

几何应用：

1．利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题

例1已知向量满足条件，，求证：

是正三角形

解：

令O为坐标原点，可设

由，即

②

①

两式平方和为，，由此可知的最小正角为，即与的夹角为，同理可得与的夹角为，与的夹角为，这说明三点均匀分部在一个单位圆上，所以为等腰三角形.

例2求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角

的度数

解：

如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为轴、

轴建立直角坐标系，设，则，

从而可求：

=..

2．利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题

例3已知，AD为中线，求证

证明：

以B为坐标原点，以BC所在的直线为轴建立如图2直角坐标系，设，，则，

.

=，

从而，.

3．利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量

例4已知点是

且试用

解：

以O为原点，OC，OB所在的直线为轴和轴建立如图3所示的坐标系.

由OA=2，，所以，易求，设

.

例5如图，

用表示

解：

以O为坐标原点，以OA所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则，

.

4．利用向量的数量积解决两直线垂直问题

例6求证：

三角形的三条高交于同一点

[分析]如图，已知中，由，

要证明利用向量法证明，只要证得即可；证明中，要充分利用好，这两个条件.

证明：

在上，而，，即

又，即