第十章统计与统计案例.docx
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第十章统计与统计案例
第十章统计与统计案例
第一节
统 计
本节主要包括2个知识点：
1.随机抽样； 2.用样本估计总体.
突破点
（一） 随机抽样
基础联通抓主干知识的“源”与“流”
1．简单随机抽样
（1）定义：
设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
（2）最常用的简单随机抽样的方法：
抽签法和随机数法．
2．系统抽样
在抽样时，将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先确定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样（也称为机械抽样）．
3．分层抽样
在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
4．三种抽样方法的比较
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
均为不放回抽样，且抽样过程中每个个体被抽取的机会相等
从总体中逐个抽取
是后两种方法的基础
总体中的个数较少
系统抽样
将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取
在起始部分抽样时采用简单随机抽样
元素个数很多且均衡的总体抽样
分层抽样
将总体分成几层，分层按比例进行抽取
各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
考点贯通抓高考命题的“形”与“神”
简单随机抽样
1．抽签法的步骤
第一步，将总体中的N个个体编号；
第二步，将这N个号码写在形状、大小相同的号签上；
第三步，将号签放在同一不透明的箱中，并搅拌均匀；
第四步，从箱中每次抽取1个号签，连续抽取k次；
第五步，将总体中与抽取的号签的编号一致的k个个体取出．
2．随机数法的步骤
第一步，将个体编号；
第二步，在随机数表中任选一个数开始；
第三步，从选定的数开始，按照一定抽样规则在随机数表中选取数字，取足满足要求的数字就得到样本的号码．
[例1]
（1）以下抽样方法是简单随机抽样的是（ ）
A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖
B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格
C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见
D．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验
（2）总体由编号为01，02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08B．07
C．02D．01
[解析]
（1）选项A、B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；选项C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；选项D是简单随机抽样．
（2）由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.
[答案]
（1）D
（2）D
系统抽样
系统抽样的步骤
（1）先将总体的N个个体编号；
（2）确定分段间隔k（k∈N*），对编号进行分段．当（n是样本容量）是整数时，取k＝；
（3）在第1段用简单随机抽样确定第1个个体编号l（l≤k）；
（4）按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号（l＋k），再加k得到第3个个体编号（l＋2k），依次进行下去，直到获取整个样本．
[例2]
（1）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为（ ）
A．11B．12
C．13D．14
（2）中央电视台为了解观众对《中国好歌曲》的意见，准备从502名现场观众中抽取10%进行座谈，现用系统抽样的方法完成这一抽样，则在进行分组时，需剔除________个个体，抽样间隔为________．
[解析]
（1）由系统抽样定义可知，所分组距为＝20，每组抽取一人，因为包含整数个组，所以抽取个体在区间[481,720]的数目为（720－480）÷20＝12.
（2）把502名观众平均分成50组，由于502除以50的商是10，余数是2，所以每组有10名观众，还剩2名观众，采用系统抽样的方法抽样时，应先用简单随机抽样的方法从502名观众中抽取2名观众，这2名观众不参加座谈；再将剩下的500名观众编号为1,2,3，…，500，并均匀分成50段，每段含＝10个个体．所以需剔除2个个体，抽样间隔为10.
[答案]
（1）B
（2）2 10
[易错提醒]
用系统抽样法抽取样本，当不为整数时，取k＝，即先从总体中用简单随机抽样的方法剔除（N－nk）个个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公平性．
分层抽样
进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：
（1）＝；
（2）总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．
[例3]
（1）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为（ ）
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1800
青年教师
1600
合计
4300
A．90B．100
C．180D．300
（2）（2016·东北三校联考）某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝（ ）
A．54B．90
C．45D．126
（3）某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组）（单位：
人）.
篮球组
书画组
乐器组
高一
45
30
a
高二
15
10
20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________．
[解析]
（1）设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得＝，故x＝180.
（2）依题意得×n＝18，解得n＝90，即样本容量为90.
（3）由题意知＝，解得a＝30.
[答案]
（1）C
（2）B （3）30
[方法技巧]
分层抽样的解题策略
（1）分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：
层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠．
（2）为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同．
（3）在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样．
（4）抽样比＝＝.
能力练通抓应用体验的“得”与“失”
1.某工厂的质检人员对生产的100件产品，采用随机数法抽取10件检查，对100件产品采用下面的编号方法
①1,2,3，…，100；
②001,002，…，100；
③00,01,02，…，99；
④01,02,03，…，100.
其中正确的序号是（ ）
A．②③④B．③④
C．②③D．①②
解析：
选C 根据随机数法编号可知，①④编号位数不统一．
2.为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A，B，C三所中学抽取60名教师进行调查，已知A，B，C三所学校中分别有180,270,90名教师，则从C学校中应抽取的人数为（ ）
A．10B．12
C．18D．24
解析：
选A 根据分层抽样的特征，从C学校中应抽取的人数为×60＝10.
3.某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是（ ）
A．10B．11
C．12D．16
解析：
选D 从被抽中的3名学生的学号中可以看出学号间距为13，所以样本中还有一个学生的学号是16，故选D.
4.某市有A、B、C三所学校，共有高三文科学生1500人，且A、B、C三所学校的高三文科学生人数成等差数列，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B校学生中抽取________人．
解析：
设A、B、C三所学校高三文科学生人数分别为x，y，z，由题知x，y，z成等差数列，所以x＋z＝2y，又x＋y＋z＝1500，所以y＝500，用分层抽样方法抽取B校学生人数为×500＝40.
答案：
40
5.为了了解本班学生对网络游戏的态度，高三（6）班计划在全班60人中展开调查，根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号为：
01,02,03，…，60，已知抽取的学生中最小的两个编号为03,09，则抽取的学生中最大的编号为________．
解析：
由最小的两个编号为03,09可知，抽取时的分段间隔是6.即抽取10名同学，其编号构成首项为3，公差为6的等差数列，故最大编号为3＋9×6＝57.
答案：
57
突破点
（二） 用样本估计总体
基础联通抓主干知识的“源”与“流”
1．频率分布直方图和茎叶图
（1）作频率分布直方图的步骤
①求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；②决定组距与组数；③将数据分组；④列频率分布表；⑤画频率分布直方图．
（2）频率分布折线图和总体密度曲线
①频率分布折线图：
连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．
②总体密度曲线：
随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．
（3）茎叶图的优点
茎叶图的优点是可以保留原始数据，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便．
2．样本的数字特征
（1）众数、中位数、平均数
数字特征
定义与求法
优点与缺点
众数
一组数据中重复出现次数最多的数
众数体现了样本数据的最大集中点，不受极端值的影响．但显然它对其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征
中位数
把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置的一个数据（或两个数据的平均数）
中位数等分样本数据所占频率，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点
平均数
如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么这n个数的平均数＝
平均数与每一个样本数据有关，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低
（2）标准差、方差
①标准差：
样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，s＝.
②方差：
标准差的平方
s2＝[（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2]，其中xi（i＝1,2,3，…，n）是样本数据，n是样本容量，是样本平均数．
③方差与标准差相比，都是衡量样本数据离散程度的统计量，但方差因为对标准差进行了平方运算，夸大了样本的偏差程度．
（3）平均数、方差公式的推广
若数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则数据mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a，方差为m2s2.
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