12．（14分）（2010·中山摸底考试）已知二次函数f（x）＝x2－ax＋a（x∈R）同时满足：
①不等式
f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0f（x2）成立．设数列{an}的前n项和Sn＝f（n）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求数列{an}的通项公式．
解
（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素，
∴Δ＝a2－4a＝0⇒a＝0或a＝4，
当a＝4时，函数f（x）＝x2－4x＋4在（0,2）上递减，
故存在0f（x2）成立，
当a＝0时，函数f（x）＝x2在（0，＋∞）上递增，
故不存在0f（x2）成立，
综上，得a＝4，f（x）＝x2－4x＋4.
（2）由
（1）可知Sn＝n2－4n＋4，
当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝（n2－4n＋4）－[（n－1）2－4（n－1）＋4]＝2n－5，
∴an＝.
§6.2 等差数列及其前n项和
一、选择题（每小题7分，共42分）
1．（2008·广东理，2）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6等于（ ）
A．16B．24C．36D．48
解析 ∵S4＝2＋6d＝20，∴d＝3，故S6＝3＋15d＝48.
答案 D
2．（2009·安徽文，5）已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于（ ）
A．－1B．1C．3D．7
解析 由已知得a1＋a3＋a5＝3a3＝105，
a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a3＝35，a4＝33，∴d＝－2.
∴a20＝a3＋17d＝35＋（－2）×17＝1.
答案 B
3．（2009·湖南文，3）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于（ ）
A．13B．35C．49D．63
解析 ∵a1＋a7＝a2＋a6＝3＋11＝14.
∴S7＝＝49.
答案 C
4．（2009·宁夏、海南理，7）等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列，若a1＝1，则S4等于（ ）
A．7B．8C．15D．16
解析 设等比数列的公比为q，则由4a1,2a2，a3成等差数列，得4a2＝4a1＋a3.∴4a1q＝4a1
＋a1q2.∴q2－4q＋4＝0.
∴q＝2，∴S4＝＝15.
答案 C
5．（2010·青岛一模）已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，
则m为（ ）
A．12B．8C．6D．4
解析 由等差数列性质a3＋a6＋a10＋a13
＝（a3＋a13）＋（a6＋a10）＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8.∴m＝8.
答案 B
6．（2009·北京朝阳高三一模）各项均不为零的等差数列{an}中，若a－an－1－an＋1＝0（n∈N*，
n≥2），则S2009等于（ ）
A．0B．2C．2009D．4018
解析 ∵a＝an－1＋an＋1＝2an，an≠0，∴an＝2.
∴Sn＝2n，S2009＝2×2009＝4018.
答案 D
二、填空题（每小题6分，共18分）
7．（2009·辽宁理，14）等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.
解析 由题意知6－5
＝15a1＋45d＝15（a1＋3d）＝15a4＝5，故a4＝.
答案
8．（2009·全国Ⅱ理，14）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5＝5a3，则＝________.
解析 设等差数列的公差为d，首项为a1，
则由a5＝5a3知a1＝－d，∴＝＝9.
答案 9
9．（2010·东莞模拟）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2∶a4＝7∶6，则S7∶S3＝________.
解析 ∵＝，∴＝，
∴＝，∴＝，∴＝2.
答案 2∶1
三、解答题（共40分）
10．（13分）（2010·潮州调研）在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0（n≥2）．
（1）求证：
数列是等差数列；
（2）求数列{an}的通项．
（1）证明 因为3anan－1＋an－an－1＝0（n≥2），
整理得－＝3（n≥2）．
所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列．
（2）解 由
（1）可得＝1＋3（n－1）＝3n－2，
所以an＝.
11．（13分）（2010·菏泽阶段检测）已知数列{an}中，a1＝，an＝2－（n≥2，n∈N*），数列
{bn}满足bn＝（n∈N*）．
（1）求证：
数列{bn}是等差数列；
（2）求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．
（1）证明 因为an＝2－（n≥2，n∈N*），bn＝.
所以当n≥2时，bn－bn－1＝－
＝－＝－＝1.
又b1＝＝－.
所以，数列{bn}是以－为首项，以1为公差的等差数列．
（2）解 由
（1）知，bn＝n－，则an＝1＋＝1＋.
设函数f（x）＝1＋，易知f（x）在区间和内为减函数．
所以，当n＝3时，an取得最小值－1；
当n＝4时，an取得最大值3.
12．（14分）（2009·绍兴模拟）已知数列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1（n≥2且n∈N*）．
（1）求a2，a3的值；
（2）是否存在实数λ，使得数列为等差数列，若存在，求出λ的值；若不存在，请说
明理由．
解
（1）∵a1＝5，
∴a2＝2a1＋22－1＝13，a3＝2a2＋23－1＝33.
（2）方法一 假设存在实数λ，使得数列为等差数列，
设bn＝，由{bn}为等差数列，则有2b2＝b1＋b3，
∴2×＝＋，∴＝＋，
解得λ＝－1.事实上，bn＋1－bn＝－
＝[（an＋1－2an）＋1]＝[（2n＋1－1）＋1]＝1.
综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列为等差数列．
方法二 假设存在实数λ，使得为等差数列．
设bn＝，由{bn}为等差数列，
则有2bn＋1＝bn＋bn＋2
升级会员 