高校硕士研究生招生指标分配问题.docx
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高校硕士研究生招生指标分配问题
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
A
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
中国计量学院
参赛队员（打印并签名）：
1.汪念华
2.阚雅婷
3.方赢海
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
数模组
日期：
2012年8月23日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
高校硕士研究生招生指标分配问题
摘要
本文针对高校硕士研究生招生指标分配方案问题进行了深入的研究，根据各因素对招生指标影响的分析可知，该问题是一类基于综合评价的招生指标分配问题。
对此，本文建立了综合评价与规划模型并进行讨论求解。
对于问题一，分析得到各级别岗位2007—2011年硕士研究生招收总人数基本服从正态分布，以落在各个岗位级别的概率为评价指标，根据概率大小得到第18、103、110、123、150、168、274、324、335、352位教师的岗位级别依次为四级岗、五级岗、七级岗、七级岗、三级岗、四级岗、三级岗、四级岗、五级岗、五级岗。
模型检验，平均偏差
，模型预测结果较好。
对于问题二，首先进行主成分分析，得到方差累计贡献率达%的5个主要因素为：
硕士招收总人数、纵向项目经费合计、横向项目经费合计、奖励总数、校优论文；再次以岗位级别能力为因变量，以各因素为自变量，利用线性回归，得到以上5个因素的P值均小于，说明选取的5个主要因素对岗位级别能力有显着相关性。
对于问题三，首先采用三次拟合，得到7个不同岗位等级的2012年招生人数的均值和总人数，总人数为10.；其次采用层次分析，得到7个不同岗位等级中学术型研究生与专业型研究生的比例；最后利用单目标线性规划，得到2012年7个岗位等级的招生人数最优解。
结果以上三步给出2012年7个不同岗位等级招收研究生人数的均值的最终分配方案是：
一级岗中学术型人数、专业型人数，二级岗中学术型人数、专业型人数，三级岗中学术型人数、专业型人数，四级岗中学术型人数、专业型人数，五级岗中学术型人数、专业型人数，六级岗中学术型人数、专业型人数，七级岗中学术型人数、专业型人数
对于问题四，在基于问题三模型的基础上，通过学科A至学科K11个不同学科建立教学成果，求解出2012年11个学科招收研究生人数的均值为：
学科A人数、学科B人数4、学科C人数、学科D人数、学科E人数8、学科F人数、学科人数、学科H人数、学科I人数、学科J人数、学科K人数
对于问题五，我们通过查阅相关资料，通过增加指标是否接受推免生，可以增加分配方案的合理性。
最后，我们对模型进行了进一步的推广，使得我们的模型更具有普适性和实时性。
关键词：
主成分分析线性回归层次分析目标规划拟合
一、问题提出与重述
问题的提出
高等学校研究生招生指标分配问题，对研究生的培养质量、学科建设和科研成果的取得有直接影响。
特别是2011年研究生招生改革方案中，将硕士研究生招生指标划分为学术型和专业型两类。
这一改革方案的实施，给研究生教育的发展带来发展机遇的同时，也给研究生招生指标分配的优化配置提出了新的思考。
因此设置合理的研究生指标分配方案，全面客观地衡量分分配名额以便更好的进行人才培养具有十分重大的现实意义。
问题的重述
附件给出了某高校2007——2011年硕士研究生招生实际情况，研究生招生指标分配主要根据指导教师的数量以及教师岗位进行分配，其中教师岗位分为七个岗位等级，一级岗位为教师的最高级，七级岗为具备硕士招生资格的最低级。
请利用附件的数据、参考有关文献建立数学模型，解决下列问题：
（1）建立数学模型将第18、103、110、123、150、168、274、324、335、352位教师的缺失数据补充完整；
（2）请你以岗位级别为指标，分析每个岗位的招生人数、科研经费、发表中英文论文数、申请专利数、获奖数、获得优秀论文数量的统计规律，并给出合理的解释；
（3）根据第二问的结论，提出更加合理的研究生名额分配方案，使得新方案既兼顾到岗位又能兼顾到其他因素，例如研究生的招生类型等，并要求用此方案对2012年的名额进行预分配；
（4）请你设计调整方案，使得新方案考虑到学科的特点和学科发展的需要进行差异分配，并用你的方案给出2012年的调整方案；
（5）若想把分配方案做得更加合理，你认为还需要哪些指标数据，用什么方法可以完成你的方案？
请阐述你的思想。
二、问题分析
对于问题一：
从附件中的数据观察可知，第18、103、110、123、150、168、274、324、335、352位教师的缺失数据是2007——2011年研究生岗位等级，以岗位级别为参考项，以2007—2011年硕士研究生招收总人数为统计变量，随机选取7个不同的岗位级别的数据进行统计分析，观测各个岗位级别近似服从哪种，利用特定分布的特点对问题进行求解，再用另外一些数据对模型的正确性进行检验。
对于问题二：
首先采用主成分分析，选取出对岗位等级影响较大的几个因素；其次，通过Matlab计算出各个变量对岗位等级线性回归的F值、P值以及
进一步判断这些指标与岗位等级的线性显着性，从而可以对此进行合理解释。
对于问题三：
首先，根据7个岗位级别2007——2011年每年的硕士研究生招收人数进行三次拟合，并预测2012年的每一岗位级别级别硕士研究生的招收人数，得到7个岗位级别的硕士研究生招收总人数，并以此作为作为2012年研究生招收总数对研究生指标进行方案分配。
其次，通过层次分析法确定研究型研究生和专业型研究生在每一级别中的权重，以便研究生指标分配时可以确定各个岗位级别中研究型和专业型研究生数量。
最后，利用单目标线性规划，以教学成果最大为目标，通过Lingo求解出每一岗位级别的最佳分配方案。
对于问题四：
问题四，我们可以考虑以学科为划分单位，这样兼顾学科的特点和学科发展的需要，利用与模型三类似的步骤对问题进行求解。
对于问题五：
问题五，我们可以通过查找相关资料，找到影响硕士研究生指标分配的其他影响因素，再结合本题给出的因素利用本模型进行方案分配。
三、模型假设
（1）附件中的数据仍是正确的；
（2）相同学科中相同岗位等级的老师能力水平相同；
（3）2012年国家研究生录取政策无重大影响，且报考人数无重大变化。
四、符号说明
符号
含义
样本的均值
样本的方差
平均偏差
教学成果
一组不同级别岗位2012年平均招生总数
五、模型的建立与求解
问题一的模型的建立与求解——模型一
对附件中的数据进行统计分析可知，一级岗共有18个，二级岗共有15个，三级岗共有14个，四级岗共有65个，五级岗共有16个，六级岗共有33个，七级岗共有183个。
查阅资料得知硕士研究生名额分配方案主要参考导师岗位级别进行分配，经检验研究生分配名额与导师岗位级别之间的确存在显着线性相关性，因此我们以岗位级别为参考项，以2007—2011年硕士研究生招收总人数为统计变量，随机选取7个不同的岗位级别的数据进行统计分析，剩下的数据用于对模型的检验。
用于统计分析和模型检验的数据编号分别见附录一的表1和表2。
5.1.1模型的建立以预测点落在级别岗位内的概率为评价指标，通过计算数据落在各个岗位级别中的概率，比较概率大小，概率最大的对应的岗位级别即可确定出老师的研究学科岗位级别。
首先假设六级岗的研究生总人数的数据服从正态分布，画出六级岗的人数分布直方图并添加正态分布的趋势线，其结果如图1，由图可以看出六级岗的研究生招生总人数的曲线较接近正态分布密度曲线，因此我们认为六级岗的研究生招生总人数服从近似正态分布。
其次用ttest做正态假设检验，原假设：
H=0，表示数据服从正态分布，由Matlab2010运行结果h=0,表示接受原假设。
所以我们认为六级岗的研究生招生人数服从正态分布。
基于此，我们得到六级岗研究生招生人数的均值为：
，方差为：
其余岗位的求解过程于此类似，在此不再赘述，其直方图见附录一图1至图6。
则最终得到一级岗至七级岗的均值和方差见表1
表1：
一级岗至七级岗的均值与方差
岗位级别
均值
方差
一级岗
二级岗
19
三级岗
四级岗
五级岗
六级岗
七级岗
图1：
六级岗的频数直方图
5.1.1模型的求解
将缺失数据的10位老师招收的硕士研究生总人数分别代入以上各个岗位级别对应的正态分布函数，求出各个级别的概率，最大概率对应的岗位级别即为这10位老师的岗位级别，通过Matlab2010得到10位老师的研究生数据落在各个岗位级别内的概率（表2），由表可知第18为老师落在四级岗的概率最大，因此第18位老师的岗位级别为四级岗。
其他老师岗位级别的确定方法同此，得到最终10位老师的岗位级别结果如表3所示。
表2：
10位老师落在各个岗位级别的概率
一级岗概率
二级岗概率
三级岗概率
四级岗概率
五级岗概率
六级岗概率
七级岗概率
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
表3：
10个老师补全数据后的岗位等级
老师
补充数据
老师
补充数据
18
四级岗
168
四级岗
103
五级岗
274
三级岗
110
七级岗
324
四级岗
125
七级岗
335
五级岗
150
三级岗
352
五级岗
5.1.3模型的检验
，
，以平均偏差的大小为指标检验模型是否可靠
将余下的47组数据对模型进行检验，通过以上模型得到的47组数据的预测值和平均偏差（表4），通过数据处理做出7个岗位等级的真实值与岗位等级的预测值对比图（图2），从图中可以看出岗位等级的预测值与真实值具有很小的偏差。
计算这47组数据的平均偏差为：
%，该数值较小从而说明本模型较好。
表4：
47组数据的真实值、预测值和偏差
真实值
预测值
偏差
真实值
预测值
偏差
真实值
预测值
偏差
1
1
6
5
7
7
1
1
6
6
7
7
1
1
7
7
7
7
2
2
7
7
7
7
2
2
7
7
7
7
2
1
7
7
7
6
3
3
7
7
7
5
3
4
7
7
7
7
3
3
7
7
7
6
4
5
7
7
7
7
4
5
7
7
7
5
4
3
7
7
7
7
5
6
7
7
7
7
5
6
7
7
7
7
5
5
7
7
7
7
6
5
7
7
图2：
岗位等级真实值与预测值的对比图
问题二的模型的建立与求解
为统计分析方便，将岗位级别命名为教学能力，一级岗至七级岗数值依次为7、6、5、4、3、2、1.
首先以岗位级别为指标，对硕士招收总人数、纵向项目经费合计、横向项目经费合计、英文论文总数、中文论文总数、专利总数、奖励总数、省优论文、校优论文利用进行主成分分析，从表5可知前5个主成分对方差的累计贡献率为%，因此前5个主成分即可达到85%的要求。
从表6的成分矩阵分析，选取硕士招收总人数、纵向项目经费合计、横向项目经费合计、奖励总数和校优论文这5个变量作为影响岗位能力的主要因素。
表5：
解释方差
解释的总方差
成份
初始特征值
提取平方和载入
合计
方差的%
累积%
合计
方差的%
累积%
1
2
3
4
5
.903
.903
6
.649
.649
7
.101
8
.065
.723
9
.028
.310
表6：
成分矩阵
成份矩阵a
成份
1
2
3
4
5
6
人数
.151
.231
.784
.288
纵向
.851
.169
.200
.325
横向
.024
.456
.246
.826
.094
.167
英文
.522
.538
.401
中文
.557
.040
.405
专利数
.678
.143
.126
奖励数
.517
.752
.030
.275
校优秀论文
.069
.040
.658
.580
.156
省优秀论文
.207
.381
.379
其次，利用Matlab2010以岗位级别为因变量，分别以硕士招收总人数、纵向项目经费合计、横向项目经费合计、英文论文总数、中文论文总数、专利总数、奖励总数、省优论文、校优论文为因变量，计算出两者之间线性关系的，得到的F值、P值和
的值如表7，从中分析可知硕士招收总人数、纵向项目经费合计、横向项目经费合计、奖励总数和校优论文5个变量的P值，均小于临界值，因此这5个变量与岗位级别具有显着的相关关系。
因此我们可得到结论：
导师的岗位级别受硕士招收总人数、纵向项目经费合计、横向项目经费合计、奖励总数和校优论文这5个因素影响较大，且每个因素都与岗位能力呈现正相关，随着岗位能力的增大而增大。
而英文论文总数、中文论文总数、专利总数、省优论文对导师岗位级别的影响较小，可以忽略不计。
合理的解释：
硕招人数与岗位等级的关系，显然成正相关关系，这是因为教师的等级越高，在指导研究生方面也有更多的经验，指导水平高，更受研究生的亲睐。
我们容易知道，教师的岗位等级越高，则教师的每一项教学研究，与之合作的人等级也越高，合作的内容也需要更大的资金资助，项目较易获得批准，从而得到较多的到账经费。
一般说来，一个人的荣誉越多、职称越高，就表示他教学和科研经验越高，科研经费越多，在指导研究生方面也有更多的经验。
这进一步印证了我们的结论。
同时，高等级岗位的教师，需要更高等级的知识储备，则发表优秀论文的数量，也就体现在发表的论文数（包括中英文论文），同时需要将更多的理论知识转化为实际性的产品诸如专利。
查阅资料[1]可知，教师的岗位等级越高，职位要求每年发表的论文数量也要保证在一定数量。
因此，岗位等级高使得论文发表数量有所增加。
表7：
9个变量的F值、P值和
硕士招收总人数
纵向项目经费合计
横向项目经费合计
英文论文总数
中文论文总数
专利总数
奖励总数
省优论文
校优论文
P值
0
0
0
P=
问题三的模型的建立与求解——模型三
5.3.1研究生总人数的拟合
通过数据处理，得到每一岗位级别2007——2011年招收人数的平均值（表8），利用这些数据对其做三次拟合，以七级岗为例，做出图形和具体的检验过程。
表8:
2007——2011不同岗位级别招收人数均值
级别
2007
2008
2009
2010
2011
1
2
3
4
5
6
7
通过Matlab2010做出原始值曲线和拟合值曲线（图3），残差范数，说明拟合情况良好
图3：
七级岗原始值与拟合值对比曲线
由回归方程得2012年级别七岗位招生人数平均值的预测值为，同理得到其余六个等级岗位2012年平均招生人数预测值，如下表9
表9：
2012年不同岗位级别招生人数预测表
一级岗
二级岗
三级岗
四级岗
五级岗
六级岗
七级岗
总数
5.3.2层次分析确定学术型与专业型权重
（i）建立递阶层次结构模型；
准则层
措施层
（ii）构造出各层次中的所有判断矩阵；
查阅资料综合考虑准则层指标和措施层的相关关系，得到判断矩阵
[133115
1/3111/21/31/3
1/3111/31/52
12311/23
135218
1/531/21/31/81]
（iii）层次单排序和总排序及一致性检验；
表10：
方案层单排序及总排序权值
准则
横向纵向英文中文专利省优
论文论文
总排序权值
准则层权值
方案层单排序权值
专业型研究型
对判断矩阵的一致性检验的步骤如下：
（i）计算一致性指标
（ii）查找相应的平均随机一致性指标
。
对
，Saaty给出了
的值，如下表所示：
表11：
RI值
123456789
00
的值是这样得到的，用随机方法构造500个样本矩阵：
随机地从1~9及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值
，并定义
。
（ⅲ）计算一致性比例
当
时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。
解得CR如下表
表12：
CR值
cr1cr21cr22cr23cr24cr25cr26
cr
，通过一致性检验。
岗位等级
一
二
三
四
五
六
七
学术：
专业
：
：
：
：
：
：
：
表13：
不同岗位等级下学术型与研究型初始权重之比
由于是即时计算结果，权重并未归一化，因此值都大于1，因此对于权重进行修正，原理是设拟合曲线的表达式为：
然后求出所有在曲线上方的点到曲线的距离的总和：
所有曲线下方的点到曲线的距离的总和：
然后定义该因子的稳定权重：
最后进行归一化处理，得到评价因子修正后的权重：
同理计算岗位二至岗位七修正后的权重比。
得到下表：
表14：
修正后7个岗位级别中学术型与专业型权重之比
一级岗
二级岗
三级岗
四级岗
五级岗
六级岗
七级岗
学术：
专业
:
:
:
:
:
:
:
5.3.3单目标线性规划定级别招收人数
定义教学成果指标
其中
是根据所选择的五个指标对教学成果的权重，
表示j个指标对i个级别岗位贡献的招生人数，5个指标分别是横向到账经费、纵向到账经费、中文论文数、英文论文数、申请专利数
以教学成果最大为目标建立单目标规划，其目标函数为：
所需约束条件是：
（1）预测得到的一组不同级别岗位2012年平均招生总数为：
（2）考虑到各级别岗位承受招生人数变化的能力，2012年比2011年招生人数的变化量要小于往年最大变化量，且同时大于往年最小变化量：
（3）2012年比2011年招生人数的变化率要小于往年最大变化率，且同时小于往年最大变化率：
由上分析可以得到解决本问题的模型为：
利用Lingo软件求解7个不同岗位级别的平均招生人数分别为：
一级岗、二级岗、三级岗、四级岗、五级岗2、六级岗、七级岗
5.3.4最终求解结果
结合5.3.1
表15:
2012年不同岗位等级中学术型与专业型分配均值
一级岗
二级岗
三级岗
四级岗
学术型
专业型
学术型
专业型
学术型
专业型
学术型
专业型
五级岗
六级岗
七级岗
学术型
专业型
学术型
专业型
学术型
专业型
问题四的模型的建立与求解——模型四
本目标规划模型与模型三不同的是，本模型是基于学科A至学科K这11个不同学科所做的目标规划，衡量指标仍然是教学成果：
所需的约束条件为：
（1）预测得到的一组不同学科2012年平均招生总数为：
（2）考虑到不同学科承受招生人数变化的能力，2012年比2011年招生人数的变化量要小于往年最大变化量，且同时大于往年最小变化量：
（3）2012年比2011年招生人数的变化率要小于往年最大变化率，且同时小于往年最大变化率：
由上分析可以得到解决本问题的模型为：
利用Lingo求解可得到2012年硕士研究生招生指标分配问题的最终分配方案如下表
表16：
2012年不同学科研究生人数均值分配表
学科
人数
学科
人数
学科A
学科G
学科B
4
学科H
学科C
学科I
学科D
学科J
学科E
8
学科K
学科F
问题五
根据现有的研究生招生指标分配方案，分配中还应该加入的指标是：
接受推免生与否。
如招生指标仅有1个，且有统招上线生源，其招生指标不包含推免指标；如招生指标在2个或2个以上，则其招生指标包含推免指标。
这样做的好处是，可以对一些已经额满报不进的研究生进行调剂。
在给出第三问分配方案和第四问调整方案的基础上，已经得到初步的研究生名额关于每个导师的分配指标，再结合这里给出的指标，进行局部的微调，具体过程不再赘述。
学校每年将教育部下达的全日制硕士研究生招生总指标的5%（按照四舍五入法取计算结果的整数部分）预留，作为学位与研究生教育工作年度考
升级会员 