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初等数论练习题资料
初等数论练习题
信阳职业技术学院
2010年12月
初等数论练习题一
一、填空题
1、d(2420)=___________;
(2420)=___________。
2、设a,n是大于1的整数,若an-1是质数,则a=___________。
3、模9的绝对最小完全剩余系是___________。
4、同余方程9x+12≡0(mod37)的解是__________。
5、不定方程18x-23y=100的通解是___________。
6、分母是正整数m的既约真分数的个数为_______。
7、18100被172除的余数是___________。
8、
=___________。
9、若p是素数,则同余方程xp11(modp)的解数为。
二、计算题
1、解同余方程:
3x211x200(mod105)。
2、判断同余方程x2≡42(mod107)是否有解?
3、求(127156+34)28除以111的最小非负余数。
三、证明题
1、已知p是质数,(a,p)=1,证明:
(1)当a为奇数时,ap-1+(p-1)a≡0(modp);
(2)当a为偶数时,ap-1-(p-1)a≡0(modp)。
2、设a为正奇数,n为正整数,试证
≡1(mod2n+2)。
3、设p是一个素数,且1≤k≤p-1。
证明:
º(-1)k(modp)。
4、设p是不等于3和7的奇质数,证明:
p6≡1(mod84)。
初等数论练习题二
一、填空题
1、d(1000)=__________;σ(1000)=__________。
2、2010!
的标准分解式中,质数11的次数是__________。
3、费尔马(Fermat)数是指Fn=
+1,这种数中最小的合数Fn中的n=_________。
4、同余方程13x≡5(mod31)的解是__________。
5、分母不大于m的既约真分数的个数为_________。
6、设7∣(80n-1),则最小的正整数n=__________。
7、使41x+15y=C无非负整数解的最大正整数C=__________。
8、
=__________。
9、若p是质数,np1,则同余方程xn1(modp)的解数为。
二、计算题
1、试求
被19除所得的余数。
2、解同余方程3x144x106x180(mod5)。
3、已知a=5,m=21,求使ax1(modm)成立的最小自然数x。
三、证明题
1、试证13|(54m+46n+2000)。
(提示:
可取模13进行计算性证明)。
2、证明Wilson定理的逆定理:
若n>1,并且(n1)!
1(modn),则n是素数。
3、证明:
设ps表示全部由1组成的s位十进制数,若ps是素数,则s也是一个素数。
4、证明:
若2p1是奇素数,则(p!
)2
(1)p0(mod2p1)。
5、设p是大于5的质数,证明:
p4≡1(mod240)。
初等数论练习题三
一、单项选择题
1、若n>1,(n)=n-1是n为质数的()条件。
A.必要但非充分条件B.充分但非必要条件
C.充要条件D.既非充分又非必要条件
2、设n是正整数,以下各组a,b使
为既约分数的一组数是( )。
A.a=n+1,b=2n-1B.a=2n-1,b=5n+2C.a=n+1,b=3n+1D.a=3n+1,b=5n+2
3、使方程6x+5y=C无非负整数解的最大整数C是( )。
A.19B.24C.25D.30
4、不是同余方程28x≡21(mod35)的解为( )。
A.x≡2(mod35)B.x≡7(mod35)C.x≡17(mod35)D.x≡29(mod35)
5、设a是整数,
(1)a≡0(mod9)
(2)a≡2010(mod9)
(3)a的十进位表示的各位数码字之和可被9整除
(4)划去a的十进位表示中所有的数码字9,所得的新数被9整除
以上各条件中,成为9|a的充要条件的共有( )。
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题
1、σ(2010)=__________;
(2010)=__________。
2、数
的标准分解式中,质因数7的指数是__________。
3、每个数都有一个最小质因数.所有不大于10000的合数的最小质因数中,最大者是___。
4、同余方程24x≡6(mod34)的解是__________。
5、整数n>1,且(n-1)!
+1≡0(modn),则n为_______(填:
素数或合数)。
6、3103被11除所得余数是__________。
7、
=__________。
三、计算题
1、判定(ⅰ)2x3x23x10(mod5)是否有三个解;
(ⅱ)x62x54x230(mod5)是否有六个解?
2、设n是正整数,求
的最大公约数。
3、已知a=18,m=77,求使ax1(modm)成立的最小自然数x。
四、证明题
1、若质数p≥5,且2p+1是质数,证明:
4p+1必是合数。
2、设p、q是两个大于3的质数,证明:
p2≡q2(mod24)。
3、若x,y∈R+,
(1)证明:
[xy]≥[x][y];
(2)试讨论{xy}与{x}{y}的大小关系。
注:
我们知道,[xy]≥[x]+[y],{x+y}≤{x}+{y}。
此题把加法换成乘法又如何呢?
4、证明:
存在一个有理数
,其中d<100,能使
=
。
(提示:
由(73,100)=1,利用裴蜀恒等式来证明)
初等数论练习题四
一、单项选择题
1、若Fn=
是合数,则最小的n是()。
A.2B.3C.4D.5
2、记号ba‖a表示ba|a,但ba+1
a.以下各式中错误的一个是()。
A.218‖20!
B.105‖50!
C.119‖100!
D.1316‖200!
3、对于任意整数n,最大公因数(2n+1,6n-1)的所有可能值是()。
A.1B.4C.1或2D.1,2或4
4、设a是整数,下面同余式有可能成立的是()。
A.a2≡2(mod4)B.a2≡5(mod7)C.a2≡5(mod11)D.a2≡6(mod13)
5、如果a≡b(modm),c是任意整数,则下列错误的是( )
A.ac≡bc(modmc)B.m|a-bC.(a,m)=(b,m)D.a=b+mt,t∈Z
二、填空题
1、d(10010)=_________;φ(10010)=_________。
2、对于任意一个自然数n,为使自N起的n个相继自然数都是合数,可取N=_________。
3、为使3n-1与5n+7的最大公因数达到最大的可能值,则整数n应满足条件________。
4、在5的倍数中,选择尽可能小的正整数来构成模12的一个简化系,则这组数是______。
5、同余方程26x+1≡33(mod74)的解是_________。
6、不定方程5x+9y=86的正整数解是_________。
7、
=_________。
三、计算题
1、设n的十进制表示是
,若792n,求x,y,z。
2、求3406的末二位数。
3、求(214928+40)35被73除所得余数。
四、证明题
1、设a1,a2,,am是模m的完全剩余系,证明:
(1)当m为奇数时,a1+a2++am≡0(modm);
(2)当m为偶数时,a1+a2++am≡
(modm)。
2、证明:
若m>2,a1,a2,,a(m)是模m的任一简化剩余系,则
3、设m>0是偶数,{a1,a2,,am}与{b1,b2,,bm}都是模m的完全剩余系,证明:
{a1b1,a2b2,,ambm}不是模m的完全剩余系。
4、证明:
(1)2730∣x13-x;
(2)24∣x(x+2)(25x2-1);
(3)504∣x9-x3;
(4)设质数p>3,证明:
6p∣xp-x。
初等数论练习题五
一、单项选择题
1、设x、y分别通过模m、n的完全剩余系,若()通过模mn的完全剩余系。
A.m、n都是质数,则mynxB.m≠n,则mynx
C.(m,n)=1,则mynxD.(m,n)=1,则mxny
2、1×3×5×…×2003×2005的标准分解式中11的幂指数是()。
A.100B.101C.99D.102
3、n为正整数,若2n-1为质数,则n是()。
A.质数B.合数C.3D.2k(k为正整数)
4、从100到500的自然数中,能被11整除的数的个数是()。
A.33B.34C.35D.36
5、模100的最小非负简化剩余系中元素的个数是()。
A.100B.10C.40D.4
二、填空题
1、同余方程ax+b≡0(modm)有解的充分必要条件是______。
2、高斯称反转定律是数论的酵母,反转定律是指____________。
3、20112011被3除所得的余数为______。
4、设n是大于2的整数,则(-1)
(n)=______。
5、单位圆上的有理点的坐标是____________。
6、若3258×a恰好是一个正整数的平方,则a的最小值为______。
7、
=_________
三、计算题
1、求32008×72009×132010的个位数字。
2、求满足(mn)=(m)+(n)的互质的正整数m和n的值。
3、甲物每斤5元,乙物每斤3元,丙物每三斤1元,现在用100元买这三样东西共100斤,问各买几斤?
四、证明题
1、已知2011是质数,则有2011|
。
2、设p是4n+1型的质数,证明若a是p的平方剩余,则p-a也是p的平方剩余.
3、已知p,q是两个不同的质数,且ap-1≡1(modq),aq-1≡1(modp),
证明:
apq≡a(modpq)。
4、证明:
若m,n都是正整数,则(mn)=(m,n)([m,n])。
初等数论练习题六
一、填空题
1、为了验明2011是质数,只需逐个验算质数2,3,5,…p都不能整除2011,此时,质数p至少是__________。
2、最大公因数(4n+3,5n+2)的可能值是__________。
3、设3α∣40!
,而3α+1
40!
,即3α‖40!
,则α=__________。
4、形如3n+1的自然数中,构成模8的一个完全剩余系的最小的那些数是__________。
5、不定方程x2+y2=z2,2|x,(x,y)=1,x,y,z>0的整数解是且仅是_________。
6、21x≡9(mod43)的解是__________。
7、
=__________。
二、计算题
1、将
写成三个既约分数之和,它们的分母分别是3,5和7。
2、若3是质数p的平方剩余,问p是什么形式的质数?
3、判断不定方程x2+23y=17是否有解?
三、证明题
1、试证对任何实数x,恒有〔x〕+〔x+
〕=〔2x〕。
2、证明:
(1)当n为奇数时,3∣(2n+1);
(2)当n为偶数时,3
(2n+1)。
3、证明:
(1)当3∣n(n为正整数)时,7∣(2n-1);
(2)无论n为任何正整数,7
(2n+1)。
4、设m>0,n>0,且m为奇数,证明:
(2m-1,2n+1)=1。
初等数论练习题七
一、单项选择题
1、设a和b是正整数,则
=( )。
A.1B.aC.bD.(a,b)
2、176至545的正整数中,13的倍数的个数是( )。
A.27B.28C.29D.30
3、200!
中末尾相继的0的个数是( )。
A.49B.50C.51D.52
4、从以下满足规定要求的整数中,能选取出模20的简化剩余系的是( )。
A.2的倍数B.3的倍数C.4的倍数D.5的倍数
5、设n是正整数,下列选项为既约分数的是( )。
A.
B.
C.
D.
二、填空题
1、314162被163除的余数是___________。
2、同余方程3x≡5(mod13)的解是___________。
3、
4、[-π]=___________。
5、为使n-1与3n的最大公因数达到最大的可能值,则整数n应满足条件___________。
6、如果一个正整数具有21个正因数,问这个正整数最小是___________。
7、同余方程x3+x2-x-1≡0(mod3)的解是___________。
三、计算题
1、求不定方程x2y3z=41的所有正整数解。
2、有一队士兵,若三人一组,则余1人;若五人一组,则缺2人;若十一人一组,则余3人。
已知这队士兵不超过170人,问这队士兵有几人?
3、判断同余方程
是否有解?
四、证明题
1、设(a,m)=1,d0是使ad1(modm)成立的最小正整数,则
(ⅰ)d0(m);
(ⅱ)对于任意的i,j,0i,jd01,ij,有ai
aj(modm)。
2、证明:
设a,b,c,m是正整数,m>1,(b,m)=1,并且
ba1(modm),bc1(modm),
记d=(a,c),则bd1(modm)。
3、设p是素数,pbn1,nN,则下面的两个结论中至少有一个成立:
(ⅰ)pbd1对于n的某个因数d(ⅱ)p1(modn)。
若2
n,p>2,则(ⅱ)中的modn可以改为mod2n。
初等数论练习题八
一、单项选择题
1、若n>1,则(n1)!
1(modn)是n为素数的()。
A.必要但非充分条件B.充分但非必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件
2、小于545的正整数中,15的倍数的个数是()。
A.34B.35C.36D.37
3、500!
的标准分解式中7的幂指数是()。
A.79B.80C.81D.82
4、以下各组数中,成为模10的简化剩余系的是()。
A.1,9,-3,-1B.1,-1,7,9C.5,7,11,13D.-1,1,-3,3
5、设n是正整数,下列选项为既约分数的是()。
A.
B.
C.
D.
二、填空题
1、σ(120)=______________。
2、7355的个位数字是______________。
3、同余方程3x≡5(mod14)的解是______________。
4、(
)=______________。
5、[-
]=______________。
6、如果一个正整数具有6个正因数,问这个正整数最小是______________。
7、同余方程x3+x2-x-1≡0(mod5)的解是______________。
三、计算题
1、已知563是素数,判定方程x2429(mod563)是否有解。
2、求出模23的所有的二次剩余和二次非剩余。
3、试求出所有正整数n,使得1n+2n+3n+4n能被5整除。
四、证明题
1、证明:
若质数p>2,则2P-1的质因数一定是2pk+1形。
2、设(m,n)=1,证明:
m(n)+n(m)≡1(modmn)。
3、设(a,b)=1,a+b≠0,p为一个奇质数,证明:
。
初等数论练习题九
一、单项选择题
1、以下Legendre符号等于-1的30被-1是()。
A.
B.
C.
D.
2、100至500的正整数中,能被17整除的个数是()。
A.23B.24C.25D.26
3、设
|500!
,但
500!
,则α=()。
A.245B.246C.247D.248
4、以下数组中,成为模7的完全剩余系的是()。
A.-14,-4,0,5,15,18,19B.7,10,14,19,25,32,40
C.-4,-2,8,13,32,35,135D.-3,3,-4,4,-5,5,0
5、设n是正整数,则以下各式中一定成立的是()。
A.(n+1,3n+1)=1B.(2n-1,2n+1)=1C.(2n,n+1)=1D.(2n+1,n-1)=1
二、填空题
1、25736被50除的余数是________________。
2、同余方程3x≡5(mod16)的解是________________。
3、不定方程9x-12y=15的通解是________________。
4、
=________________。
5、实数的小数部分记为{x},则{-
}=________________。
6、为使3n与4n+1的最大公因数达到最大的可能值,则整数n应满足条件________。
7、如果一个正整数具有35个正因数,问这个正整数最小是________________。
三、计算题
1、解不定方程9x+24y-5z=1000。
2、设A={x1,x2,,xm}是模m的一个完全系,以{x}表示x的小数部分,若(a,m)=1,求
。
3、设整数n2,求:
。
即在数列1,2,,n中,与n互素的整数之和。
4、设m>1,(a,m)=1,x1,x2,,x(m)是模m的简化剩余系,求:
。
其中{x}表示x的小数部分。
四、证明题
1、证明:
设a是有理数,b是使ba为整数的最小正整数,若c和ca都是整数,则
b∣c。
(提示:
利用带余数除法解决。
)
2、设p是素数,证明:
(ⅰ)对于一切整数x,xp11(x1)(x2)(xp1)(modp);
(ⅱ)(p1)!
1(modp)。
3、证明:
若2
n,p是奇质数,p∣an-1,则
。
4、证明:
若p=4m+1是一质数,则
。
5、设p是奇质数,p1(mod4),则:
1(modp)。
初等数论练习题十
一、单项选择题
1、设p是大于1的整数,如果所有不大于
的质数都不能整除p,则p一定是()。
A.素数B.合数C.奇数D.偶数
2、两个质数p,q,满足p+q=99,则
的值是( )。
A.9413B.
C.
D.
3、2010!
的标准分解式中,7的最高幂指数为( )。
A.331B.332C.333D.334
4、n为正整数,若2n+1为质数,则n是( )。
A.质数B.合数C.1D.2k(k为非负整数)
5、当n>2时,欧拉函数(n)一定是()。
A.奇数B.偶数C.1D.2
二、填空题
1、如果p是质数,a是整数,则有(a,p)=1或者_______。
2、设p是奇质数,(a,p)=1,则a是模p的平方非剩余的充要条件是_______。
3、1000开始到2010结束的所有整数中13的倍数有_______个。
4、2756839-1的末位数是_______。
5、不定方程ax+by=c有解的充要条件是______。
6、写出模12的一个最小非负简化系,要求每项都是7的倍数,此简化系为_______。
7、已知563是质数,则
=_______。
三、计算题
1、若3是质数p的平方剩余,问p是什么形式的质数?
2、求使12347!
被35k整除的最大的k值。
四、证明题
1、证明:
设
是一个质数,则存在唯一的一个正整数x,使得:
。
2、已知9901是素数,试证:
。
3、证明:
若p=10n-1是个质数,则
。
(提示:
利用勒让德符号解决。
)
4、设p=4n+3是质数,证明当q=2p+1也是质数时,梅森数Mp=2p-1不是质数。
由此证明:
23|(211-1),47|(223-1),503|(2251-1)。
5、证明:
设p是大于5的质数,则
。
(利用Wilson定理解决,只需证明:
p(p+1)|(p-1)!
+p+1。
)