反比例函数的实际应用
8.某厂仓库储存了部分原料,按原计划每小时消耗2吨,可用60小时.由于技术革新,实际生产能力有所提高,即每小时消耗的原料量大于计划消耗的原料量.设现在每小时消耗原料x(单位:
吨),库存的原料可使用的时间为y(单位:
小时).
(1)写出y关于x的函数解析式,并求出自变量的取值范围.
(2)若恰好经过24小时才有新的原料进厂,为了使机器不停止运转,则x应控制在什么范围内?
1个技巧:
用k的几何性质巧求图形的面积
9.如图,A,B是双曲线y=kx(k≠0)上的两点,过A点作AC⊥x轴,交OB于D点,垂足为C.若△ADO的面积为1,D为OB的中点,则k的值为()
A.43B.83C.3D.4
(第9题)
(第10题)
10.如图,过x轴正半轴上的任意一点P作y轴的平行线交反比例函数y=2x和y=-4x的图象于A,B两点,C是y轴上任意一点,则△ABC的面积为________.
11.如图是函数y=3x与函数y=6x在第一象限内的图象,点P是y=6x的图象上一动点,PA⊥x轴于点A,交y=3x的图象于点C,PB⊥y轴于点B,交y=3x的图象于点D.
(1)求证:
D是BP的中点;
(2)求四边形ODPC的面积.
(第11题)
答案
1.解:
(1)∵A(m,6),B(3,n)两点在反比例函数y=6x(x>0)的图象上,
∴m=1,n=2,即A(1,6),B(3,2).
又∵A(1,6),B(3,2)在一次函数y=kx+b的图象上,
∴6=k+b,2=3k+b,解得k=-2,b=8,
即一次函数解析式为y=-2x+8.
(第1题)
(2)根据图象可知使kx+b<6x成立的x的取值范围是03.
(3)如图,分别过点A,B作AE⊥x轴,BC⊥x轴,垂足分别为E,C,设直线AB交x轴于D点.
令-2x+8=0,得x=4,即D(4,0).
∵A(1,6),B(3,2),∴AE=6,BC=2.
∴S△AOB=S△AOD-S△ODB=12×4×6-12×4×2=8.
2.
(1)证明:
∵点A,B分别在x轴,y轴上,点D在第一象限内,DC⊥x轴于点C,∴∠AOB=∠DCA=90°.
在Rt△AOB和Rt△DCA中,∵AO=DC,AB=DA,∴Rt△AOB≌Rt△DCA.
(2)解:
在Rt△ACD中,∵CD=2,DA=,
∴AC==1.∴OC=OA+AC=2+1=3.
∴D点坐标为(3,2).
∵点E为CD的中点,∴点E的坐标为(3,1).∴k=3×1=3.
(3)解:
点G在反比例函数的图象上.
理由如下:
∵△BFG和△DCA关于某点成中心对称,
∴△BFG≌△DCA.
∴FG=CA=1,BF=DC=2,∠BFG=∠DCA=90°.
∵OB=AC=1,∴OF=OB+BF=1+2=3.∴G点坐标为(1,3).
∵1×3=3,∴点G(1,3)在反比例函数的图象上.
3.解:
∵BC∥OA,AB∥x轴,∴四边形ABCO为平行四边形.
∴AB=OC=3.
设A6a,则B6a,
∴(a-3)·6a=-3.∴a=2.
∴A(2,3),B(-1,3).
∵OC=3,C在x轴负半轴上,∴C(-3,0),
设直线BC对应的函数解析式为y=kx+b,
则-3k+b=0,-k+b=3,解得9.
∴直线BC对应的函数解析式为y=32x+92.
解方程组3,得x1=-1,y1=3,3.
∴D32.
设直线AD对应的函数解析式为y=mx+n,
则3,解得9.
∴直线AD对应的函数解析式为y=38x+94.
∴E94.∴OE=94.
4.154点拨:
因为C(0,2),A(4,0),由矩形的性质可得P(2,1),把P点坐标代入反比例函数解析式可得k=2,所以反比例函数解析式为y=2x.因为D点的横坐标为4,所以AD=24=12.因为点E的纵坐标为2,所以2=2CE,所以CE=1,则BE=3.所以S△ODE=S矩形OABC-S△OCE-S△BED-S△OAD=8-1-94-1=154.
5.
(1)证明:
∵BE∥AC,AE∥OB,
∴四边形AEBD是平行四边形.
∵四边形OABC是矩形,∴DA=12AC,DB=12OB,AC=OB.
∴DA=DB.∴四边形AEBD是菱形.
(2)解:
如图,连接DE,交AB于F,
∵四边形AEBD是菱形,
∴DF=EF=12OA=32,AF=12AB=1.∴E9,1.
设所求反比例函数解析式为y=kx,
把点E9,1的坐标代入得1=92,解得k=92.
∴所求反比例函数解析式为y=92x.
(第5题)
(第7题)
6.D
7.解:
(1)如图,过点D作x轴的垂线,垂足为F.
∵点D的坐标为(4,3),∴OF=4,DF=3.∴OD=5.
∴AD=5.∴点A的坐标为(4,8).∴k=xy=4×8=32.
(2)将菱形ABCD沿x轴正方向平移,使得点D落在函数y=32x(x>0)的图象上点D′处,过点D′作x轴的垂线,垂足为F′.
∵DF=3,∴D′F′=3.∴点D′的纵坐标为3.
∵点D′在y=32x的图象上,∴3=32x,解得x=323,
即OF′=323.∴FF′=323-4=203.
∴菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离为203.
8.解:
(1)∵正方形OABC的边OA,OC分别在x轴,y轴上,点B的坐标为(2,2),∴C(0,2).
∵D是BC的中点,∴D(1,2).∵反比例函数y=kx(x>0,k≠0)的图象经过点D,∴k=2.
(2)当P在直线BC的上方,即0<x<1时,
∵点P(x,y)在该反比例函数的图象上运动,∴y=2x.
∴S四边形CQPR=CQ·PQ=x·2-2=2-2x;当P在直线BC的下方,即x>1时,同理求出S四边形CQPR=CQ·PQ=x·2x=2x-2,综上,S=2x-2(x>1),2-2x(0<x<1).
9.4
10.解:
∵反比例函数的图象关于原点对称,圆也关于原点对称,故阴影部分的面积占⊙O面积的14,则针头落在阴影区域内的概率为14.
1.B2.C
3.①③④
4.解:
(1)反比例函数:
y=-6x.
(2)如图所示.
(第4题)
5.解:
∵反比例函数y=kx的图象经过点A(1,-k+4),
∴-k+4=k1,即-k+4=k,∴k=2,∴A(1,2).
∵一次函数y=x+b的图象经过点A(1,2),
∴2=1+b,∴b=1.
∴反比例函数的解析式为y=2x,
一次函数的解析式为y=x+1.
6.解:
(1)将B(2,-4)的坐标代入y=mx,得-4=m2,
解得m=-8.
∴反比例函数的解析式为y=-8x.
∵点A(-4,n)在双曲线y=-8x上,∴n=2.
∴A(-4,2).
把A(-4,2),B(2,-4)的坐标分别代入y=kx+b,得
-4k+b=2,2k+b=-4,解得k=-1,b=-2.
∴一次函数的解析式为y=-x-2.
(2)令y=0,则-x-2=0,x=-2.
∴C(-2,0).∴OC=2.
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×2×2+12×2×4=6.
(3)x1=-4,x2=2.
(4)-42.
7.解:
如图,由观察可知:
(1)当y=-2时,x=-3;
(2)当-26;
(3)当-33.
(第7题)
点拨:
解决问题时,画出函数图象.由图象观察得知结果.由图象解决相关问题,一定要注意数形结合,学会看图.
8.解:
(1)库存原料为2×60=120(吨),根据题意可知y关于x的函数解析式为y=120x.
由于生产能力提高,每小时消耗的原料量大于计划消耗的原料量,所以自变量的取值范围是x>2.
(2)根据题意,得y≥24,所以120x≥24.
解不等式,得x≤5,
即每小时消耗的原料量应控制在大于2吨且不大于5吨的范围内.
点拨:
(1)由“每小时消耗的原料量×可使用的时间=原料总量”可得y关于x的函数解析式.
(2)要使机器不停止运转,需y≥24,解不等式即可.
(第9题)
9.B点拨:
如图,过点B作BE⊥x轴于点E,∵D为OB的中点,∴CD是△OBE的中位线,则CD=12BE.设Akx,则Bk2x,CD=k4x,AD=kx-k4x.∵△ADO的面积为1,∴12AD·OC=1,即12k4x·x=1.解得k=83.
10.3
11.
(1)证明:
∵点P在双曲线y=6x上,
∴设P点坐标为6,m.
∵点D在双曲线y=3x上,BP∥x轴,D在BP上,
∴D点坐标为3,m.∴BD=3m,BP=6m,
故D是BP的中点.
(2)解:
由题意可知S△BOD=32,S△AOC=32,S四边形OBPA=6.
∴S四边形ODPC=S四边形OBPA-S△BOD-S△AOC=6-32-32=3.