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证明二

目录

第一章证明

（二）

第二章一元二次方程

第三章证明（三）

第四章视图与投影

第五章反比例函数

（期中考试前内容）

第六章频率与概率

第一章直角三角形边角关系

第二章二次函数

（拟定期末考试内容）

说明：

为配合几何推理证明的教学，现将北师大版教材中的能作为推理证明依据的公理、定理、推论等整理汇编如下：

八年级下册证明

（一）

一、公理

1.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）

2.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.（两直线平行，同位角相等）

3.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.（SAS）

4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.（ASA）

5.三边对应相等的两个三角形全等.（SSS）

6.全等三角形的对应边相等、对应角相等.

此外，等量代换可作为公理使用.

二、定理及推论

1.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行）

2.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.（内错角相等，两直线平行）

3.对顶角相等.

4.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.（两直线平行，内错角相等）

5.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.（两直线平行，同旁内角互补）

6.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

7.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°.

8.四边形的内角和等于360°.

9.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

10.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

九年级上册证明

（二）

定理及推论

1.推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（AAS）

2.定理等腰三角形的两个底角相等.（等边对等角）

3.推论等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.（等腰三角形的“三线合一”）

4.等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°.

5.定理有两个角相等的三角形是等腰三角形.（等角对等边）

6.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

7.定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

8.三个角都相等的三角形是等边三角形.

9.勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

10.定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

11.定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.（HL）

12.定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

13.定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

14.定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

15.定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

16.定理在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.

17.定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.

18.等腰直角三角形的底角等于45º.

19.有一个角等于45º的直角三角形是等腰直角三角形．

九年级上册证明（三）

定理及推论

1.定理平行四边形的对边相等.

2.定理平行四边形的对角相等.

3.等腰梯形在同一底上的两个角相等.

4.定理同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.

5.平行四边形的对角线互相平分.

6.夹在两条平行线间的平行线段相等.

7.等腰梯形的两条对角线相等.

8.定理两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

9.定理一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

10.对角线互相平分的四边形是平行四边形.

11.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

12.定理三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.

13.定理矩形的四个角都是直角.

14.定理矩形的对角线相等.

15.推论直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

16.有三个角是直角的四边形是矩形.

17.对角线相等的平行四边形是矩形.

18.如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

19.定理菱形的四条边都相等.

20.定理菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.

21.定理对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

22.四条边都相等的四边形是菱形.

23.正方形的四个角都是直角，四条边都相等.

24.正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.

25.有一个角是直角的菱形是正方形.

26.对角线相等的菱形是正方形.

27.对角线互相垂直的矩形是正方形.

第一章证明

（二）

一、教学目标

1．发展学生初步的演绎推理能力，进一步体会证明的必要性．

2．进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义．

3．了解作为证明基础的几条公理的内容，能证明与三角形、线段垂直平分线、角平分线等有关的性质定理及判定定理．

4．了解逆命题概念，会识别互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立．

5．能够利用尺规作已知线段的垂直平分线和已知角的平分线；已知底边及底边上的高，能用尺规作出等腰三角形．

二、本章是《证明

（一）》的继续．教科书首先给出四条公理，这四条公理与《证明

（一）》中给出的两条公理一起作为这一章对命题继续进行逻辑证明的基础．

1.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.

2.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.

3.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.

4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.

5.三边对应相等的两个三角形全等.

6.全等三角形的对应边相等、对应角相等.

本章所证明的命题大都与等腰三角形和直角三角形有关，主要包括：

（1）等腰三角形（含等边三角形）的性质定理及判定定理；

（2）直角三角形的性质定理及判定定理；

（3）线段垂直平分线的性质定理及判定定理；

（4）角平分线的性质定理及判定定理．

1.已知：

在△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm．

求证：

AB=AC．

2.如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC．

试讨论与∠EBD相等的角是哪个角?

并给予证明．

3．如图所示，在△ABC中，∠B=60ºº，∠BAC的平分线AD与∠ACB的平分线CE相交于点0.

求证：

CD=AC-AE．

4.如图

（1）所示，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

图

（1）

（1）当直线MN绕点C旋转到图

（2）的位置时，求证：

DE=AD-BE；

图

（2）

（2）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?

请写出这个等量关系．（不必证明）

图（3）

5.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90º，O为BC的中点．

（1）写出线段AO与BC边的关系（不要求证明）．

（2）把△AOB绕点O顺时针旋转得到△EOF,OE交AC于N，OF交AB于M，请判断△OMN的形状.

6.用反证法证明：

一条直线与两条平行线中的一条相交，必定与另一条相交．

第二章一元二次方程

1．花边有多宽

2．配方法

3．公式法

4．分解因式法

5．为什么是0.618

一、教学目标

1.经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，如“花边有多宽”“梯子的底端滑动多少米”等问题，建立一元二次方程，让学生通过观察归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想.

2.会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程（数字系数）．

3.能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．

4.经历在具体情境中估计一元二次方程解的过程，发展估算意识和能力．

《标准》明确要求加强学生估算意识和能力的培养，为此教科书设计了一节内容探索一元二次方程的近似解，并按照先近似估算后精确求解的顺序呈现教学内容．

（沈阳市2005年中考题）

一元二次方程综合训练题

一、选择题

1．对于方程3x（2x+9）2=4（9+2x），下面解法中，最简单的是（）

A．直接开平方法

B．配方法

C．公式法

D．分解因式法

2．方程px2-4x+1=0的根是（）

A．±

B．

C．无实数根D．不同于上述答案

3.

4．有理系数一元二次方程的一个根是

，那么方程可能为（）

A.2x2+x-2=0

B．2x2-x+2=0

C．2x2+x+2=0

D．2x2-x-2=0

5．方程（2x+2）（x+3）=4的解是（）

6．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）

元二次方程，则k的取值范围是（）

8．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2-16x+60=0的一个实数根，该三角形的面积是（）

A．24B．24或8

C．48D．8

9．制造一种产品，原来每件的成本是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是81元，则平均每次降低成本（）

A．8.5％B．9％

C．9.5％D．10％

二、填空题

1．若关于x的方程2x2-mx+m-1=0有一个根是-1，则m的值是，它的另一个根为．

2．若关于x的方程x2+px+1=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则p的值是．

3．一个两位数等于它的个位上的数与十位上的数之和的平方，并且个位上的数比十位上的数小7，这个两位数是.

4．解方程x2+3x-5=0（精确到0.1），得x1≈，x2≈．

三、用适当方法解下列一元二次方程:

（1）5（x-1）2=180；

；

；

（4）25（x-1）2=16（x+2）2.

四、列一元二次方程解应用题

（1）某科技公司研制成功一种新产品，决定向银行贷款200万元资金用于生产这种产品，签定的合同上约定两年到期时一次性还本付息，利息为本金的8％．该产品投放市场后，由于产销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外，还盈余72万元．若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求这个百分数．

（2）某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40％．该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元?

（3）将进货单价为40元的商品按50元售出时，卖出500个．已知这种商品每个涨价l元，其销售量就减少10个．问:

为了赚得8000元的利润，售价应定为多少?

这时应进货多少个?

（4）如图所示，△ABC中，∠B=60º，点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒种后△PBQ的面积等于4

平方厘米?

（5）有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2

倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少．（精确到O.1尺）

（7）某市一图书经销商在销售一种精装书时，如果每本降价1元，那么平均每天就可以多售出30本．现在，他平均每天可以售出120本，每本赢利10元，要使平均每天销售这种书所获得的利润增长22.5％，那么每本书应降价多少元销售?

（8）预计某工厂从明年1月起，每月生产收入是22万元，但在生产过程中会引起

环境污染．若再按现状生产，将会受到环保部门的处罚，每月罚款2万元；如果投资111万元治理污染，治污系统可在明年1月份启用．这样，该厂不但不受处罚，还可降低生产成本，使1至3月份的生产收入以相同的百分率增长．

经测算，投资治污后，明年1月份生产收入为25万元，1至3月份生产累计收入可达91万元；3月份以后，

每月生产收入稳定在3月份的水平．

（1）求出投资治污后，明年2月、3月每月生产收入增长的百分率；

（以下数据供参考：

3.64=1.9l2，11.56=3.402）

（2）如果把利润看做是生产累计收入减去治理污染的投资额或环保部门的罚款额，试问：

治理污染多少个月后，所投资金开始见成效?

（即治污后所获利润不小于污染情况下所获利润）

（沈阳市2005年中考题）