构造角平分线借助其性质解题.docx
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构造角平分线借助其性质解题
构造角平分线借助其性质解题
在解决三角形的问题中，如果已知条件中涉及到角的平分线，我们则可以考虑利用角的平分线的性质解题.现举例如下.
一、证明线段相等
例1如图1，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD平分底边BC.求证AB=AC.
分析：
根据已知可知AD是∠BAC的平分线，可通过点D作∠BAC的垂线，根据角平分线的性质，结合三角形的面积进行证明.
图1图2
二、证明两角的和等于180°.
例2已知，如图2，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD.求证:
∠B+∠D=180°.
分析:
因为AC是∠BAD的平分线,所以可过点C作∠BAD的两边的垂线,构造直角三角形,通过证明三角形全等解决问题.
三、证明角相等
例3如图3，在△ABC中，PB、PC分别是∠ABC的外角的平分线，求证：
∠1=∠2
分析：
要证明AP是∠BAC的平分线，需要证明点P到∠BAC两边的距离相等，可作PE⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，易证PE=PH，PH=PG，从而PE=PG.
图3图4
四、证明角的平分线
例4如图4，DA⊥AB，CB⊥AB，P是AB的中点，PD平分∠ADC.
求证：
CP平分∠DCB.
分析：
因为DA⊥AB，PD平分∠ADC，所以可过点P作PE⊥AC，利用角平分线的性质得到PE=PA，进而可得到PE=PB.
五、求角的度数
例5如图5，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE平分∠ACB，D是AC上一点，若∠CBD=20°，求∠ADE的度数.
分析：
由于CE平分∠ACB，可过点E作∠ACB的两边的垂线，通过证明DE是∠ADB的平分线解决问题.
图5
“截长补短法”在角的平分线问题中的运用
在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.
例1.已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.
求证：
∠BAD+∠BCD=180°.
分析：
因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.
例2.如图2-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.
求证：
CD=AD+BC.
例3.已知，如图3-1，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD.
求证：
∠BAP+∠BCP=180°.
例4.已知：
如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.
求证：
AB=AC+CD.
证明：
方法一（补短法）
方法二（截长法）
由角平分线引出的线段关系
一.过三角形一边的两个顶点分别作两个内角的平分线相交于一点，过这点作这边的平行线与其他两边相截，则截线长等于每个截点到同一边上每个顶点之间的线段长的和。
已知：
如图1，、的平分线相交于点F，过F作DE//BC，交AB于D，交AC于E，求证：
图1
二.过三角形两个外角（或一个内角与一个外角）的平分线的交点作平行截线，三条截线段的关系又怎么样？
请看以下例证。
例1.已知：
如图2，D是的外角，的平分线AD、CD的交点，过D作EF//AC，交BA的延长线于E，交BC的延长线于F。
图2
例2.已知，如图3，D是的内角与外角的平分线BD与CD的交点，过D作DE//BC，交AB于E，交AC于F。
试确定EF、EB、FC的关系。
图3
因此，这道习题的命题可推广为：
过三角形一边的两个顶点分别作两个内角或两个外角（一个内角与一个外角）的平分线相交于一点，过这点作这边的平行线与其他两边或两边的延长线相截，则截线段的长等于每个截点到同一边上每个顶点之间的线段长的和（或差）。
三角形角平分线的应用例析
三角形的角平分线是三角形的主要线段之一，它在几何的计算或证明中，起着“桥梁”的作用．那么如何利用三角形的角平分线解题呢？
下面举例说明．
A
一、“以角平分线为轴翻折”构造全等三角形
A
此情形可构造两种基本图形如图1、2所示：
C
B
如图1，以AD为轴翻折，
E
D
使点C落在AB上（即在AB
E
D
C
B
上截取AE=AC），得△ACD
（图2）
（图1）
≌△AED．如图2，以AD为
轴翻折，使点B落在AC的延
长线上（即延长AC到E，使AE=AB），得△ABD≌△AED．
例1如图3，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，求∠B∶∠C的值．
．
A
E
C
B
（图3）
D
二、“角平分线+垂线”构造全等三角形或等腰三角形
1、根据角平分线的性质作垂线：
自角的平分线上任一点向两边作垂线，得两个全等的直角三角形；
2、根据等腰三角形的“三线合一”性质作垂线：
自角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与另一边相交，则截的一个等腰三角形．
例2如图4，在四边形ABCD中，
E
A
BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC．
D
求证：
∠A+∠C=180°．
证明：
过点D作DE⊥AB，交BA延
F
C
B
长线于点E，作DF⊥BC，交BC于点F．
（图4）
∵BD平分∠ABC，
∴DE=DF．又∵AD=DC，
∴Rt△EAD≌Rt△FCD，
∴∠C=∠EAD．
∵∠EAD+∠BAD=180°，
∴∠C+∠BAD=180°．
F
例3如图5，已知等腰Rt△ABC中，∠A=90°，∠B的平分线交AC于D，过C作BD的垂线交BD的延长线于E．求证：
BD=2CE.
A
证明：
延长CE交BA的延长线于点F．
E
∵BE是∠B的平分线，BE⊥CF，
D
∴∠BCF=∠F，
C
B
∴△FBC是等腰三角形．
（图5）
∴CE=FE．
∴CF=2CE．
∵AB=AC，∠ABD=∠ACF，∠BAD=∠CAF=90°，
∴Rt△BAD≌Rt△CAF．
BD=CF=2CE．
三、“角平分线+平行线”构造等腰三角形
A
1、自角的平分线上任一点作角的一边的平行线交另一边，得等腰三角形；
2、自角的一边上任一点作角平分线的平
E
F
D
行线交另一边的反向延长线，得等腰三角形．
C
B
例4如图6，在△ABC中，∠B和
（图6）
∠C的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，
交AB于D，交AC于E．若BD+EC=9，
则线段DE的长为（）
A.9；B.8；C.7；D.6.（河北省中考题）
解：
∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC．
∵∠FBC=FBD，
∴∠DFB=FBD，
∴DF=BD．同理可证，FE=EC．
∵DF+FE=DE，
∴BD+EC=DE，即DE=9.故应选A.
例5如图7，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E是BC中点，EF∥AD，交AB于M，交CA的延长线于F，求证：
BM=CF．
N
F
证明：
作CN∥EF交BA的延长线于N．
∵E是BC中点，
M
A
∴BM=MN．
∵∠BAD=∠CAD，EF∥AD，
B
∴∠F=∠FMA，
E
D
C
∴AM=AF．又∵CN∥EF，
（图7）
∴∠N=∠ACN，
∴AN=AC．
∴AC+AF=AN+AM=BM，
∴BM=CF．
总之，三角形的角平分线问题的辅助线的添加，一般不外乎以上三种情形，只要根据题目所给的条件，灵活选用上述三种构图方法，问题可获得解答．
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