线性代数自考题模拟14.docx
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线性代数自考题模拟14
线性代数自考题模拟14
第一部分选择题
一、单项选择题
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的
1.零为矩阵A的特征值是A不可逆的______
A.必要条件
B.充分条件
C.非充分、非必要条件
D.充要条件
答案:
D
[考点]矩阵可逆性
[解答]零为矩阵A的特征值
不可逆.故选D.
2.设λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,α与β是A的分别属于特征值λ1,λ2的特征向量,则α与β______
A.对应分量成比例
B.线性无关
C.可能有零向量
D.线性相关
答案:
B
[考点]特征值与特征向量
[解答]因λ1≠λ2,α与β是A的特征向量,则α≠β.则由定理5.2.4得α,β线性无关.
3.设λ1与λ2是矩阵A的两个不同的特征值,ε,η是A的分别属于λ1,λ2的特征向量,则______
A.存在常数k1≠0,k2≠0,使k1ε+k2η是A的特征向量
B.存在唯一的一组常数k1≠0,k2≠0,k1ε+k2η是A的特征向量
C.对任意k1≠0,k2≠0,k1ε+k2η是A的特征向量
D.当k1≠0,k2≠0时,k1ε+k2η不可能是A的特征向量
答案:
D
[考点]特征向量
[解答]假设k1ε+k2η是A的属于λ的特征向量,
即A(k1ε+k2η)=λ(k1ε+k2η),
即(k1λ1ε+k2λ2η)=λk1ε+λk2η,
即(k1λ1-k1λ)ε+(k2λ2-k2λ)η=0,
而ε与η分属于A的两个不同特征值的特征向量,
故线性无关,故
又k1,k2都不为0,得λ=λ1=λ2与λ1≠λ2矛盾.
故当k1≠0,k2≠0时,k1ε+k2η不可能是A的特征向量,选D.
4.设三元实二次型
则其规范形为______
A.
B.
C.
D.
答案:
C
[考点]求二次型的规范型
[解答]三元二次型
经过可逆线性变换:
z3=2x3,则其规范型为
5.设λ0是n阶矩阵A的特征值,且齐次线性方程组(λ0E-A)x=0的基础解系为η1和η2,则A的属于λ0的全部特征向量是______
A.η1和η2
B.C1η1+C2η2+C2(C1,C2为任意常数)
C.C1η1+C2η2(C1,C2为不全为零的任意常数)
D.η1或η2
答案:
C
[考点]特征向量
[解答]对任意常数C1,C2,都有(λ0E-A)(C1η1+C2η2)=C1(λ0E-A)η1+C2(λ0E-A)η2=0.
即有
A(C1η1+C2η2)=λ0(C1η1+C2η2).
但又由于零向量不是特征向量.
故属于λ0的全部特征向量即为C1η1+C2η2,(
),故选C.
第二部分非选择题
二、填空题
1.行列式
的值为______.
答案:
0
[考点]行列式计算
[解答]
2.设A是n阶方阵,A*为A的伴随矩阵,|A|=5,则方阵B=AA*的特征值是______,特征向量是______.
答案:
5任意n维非零向量α
[考点]特征值与特征向量
[解答]因为AA*=A*A=|A|E,所以对于任意n维非零向量α,有AA*α=|A|Eα=|A|α.所以|A|=5是B=AA*的特征值,任意n维非零向量α为其对应的特征向量.
3.已知矩阵
有一个特征值为0,则x=______.
答案:
[考点]特征值的性质
[解答]A的行列式等于A的所有特征值的乘积,因为A有一个特征值为0,所|A|=5-2x=0,
4.三阶方阵A的特征值为1,-1,2,则B=2A3-3A2的特征值为______.
答案:
-1,-5,4
[考点]特征值的求法
[解答]设A的特征向量α,对应特征值λ,则有
Bα=(2A3-3A2)α=2A3α-3A2α=2λ3α-3λ2α=(2λ3-3λ2)α,故2λ3-3λ2是B的特征值.
5.已知矩阵A与对角矩阵
相似,则A2=______.
答案:
E
[考点]相似矩阵
[解答]因A与D相似,且
则存在可逆矩阵T,使得TAT-1=D.
则
即
两边分别左乘T-1,右乘T,
则
即A2=E.
6.设
且A的特征值为2和1(二重),那么B的特征值为______.
答案:
2和1(二重)
[考点]特征值的求法
[解答]因为|λE-A|=|(λE-A)T|=|λE-AT|,即A与AT有相同的特征多项式,故有相同的特征值,又AT=B.故B的特征值即为2和1(二重).
7.设二次型
则二次型对应的矩阵为______.
答案:
[考点]二次型及其标准形
[解答]由对称性易知为
8.已知矩阵
相似,则x=______,y=______.
答案:
0,1
[考点]实对称矩阵的相似
[解答]因A~B,故tr(A)=tr(B),故2+x=2+y-1.
又因A~B,故|A|=|B|,故-2=-2y,故y=1,x=0.
9.设A为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程
在正交变换下的标准方程的图形如图所示,则A的正特征值的个数为______.
答案:
1
[考点]空间解析几何与线性代数的问题
[解答]
由图形可知二次曲面为双叶双曲面,其标准方程应为
从而方程左端对应二次型的正惯性指数为1,即正特征值的个数为1.
10.设A,B为n阶方阵,且|A|≠0,则仙和BA相似,这是因为存在可逆矩阵P=______,使得P-1ABP=BA.
答案:
A
[考点]相似矩阵
[解答]由|A|≠0知A可逆,又A-1(AB)A=BA,故P=A.
三、计算题
本大题共7小题,每小题9分,共63分
1.设A为n阶实对称矩阵,且A3-3A2+5A-3E=0.证明:
A正定.
答案:
证明:
设λ是A的任一特征值,对应特征向量为x≠0,即Ax=λx,则有
(A3-3A2+5A-3E)x=(λ3-3λ2+5λ-3)x=0,
也即λ满足λ3-3λ2+5λ-3=(λ-1)(λ2-2λ+3)=0,
解得λ=1或
因为A为实对称矩阵,其特征值为实数,故只有λ=1,即A的全部特征值就是λ=1>0,所以A为正定矩阵.
[考点]正定矩阵
设λ=1是矩阵
的特征值,求:
2.t的值;
答案:
即t为任何值时,矩阵都有特征值1.
3.对于λ=1的所有特征向量.
答案:
取x3为自由未知量,并令x3=1,得ε=(0,2,1)T.
即属于λ=1的全部特征向量为kε=k(0,2,1)T,k任取但不为0.
[考点]特征值与特征向量
4.设A为m×n实矩阵,E为n阶单位矩阵,已知矩阵B=λE+ATA,试证:
当λ>0时,矩阵B为正定矩阵.
答案:
证明:
因为BT=(λE+ATA)T=λE+ATA=B,所以B是n阶实对称矩阵,构造二次型xTBx,那么
xTBx=xT(λE+ATA)x=λxTx+xTATAx=λxTx+(Ax)T(Ax).
,恒有xTx>0,(Ax)T(Ax)≥0,因此,λ>0时,
,有xTBx=λxTx+(Ax)T(Ax)>0.
二次型为正定型,故B为正定矩阵.
[考点]正定矩阵
设矩阵A与B相似,其中
5.求x和y的值;
答案:
A的特征值为-1,1,x;B的特征值为y,1,1.
A~B,故特征值相同,相比较得y=-1,x=1.
6.求可逆矩阵P,使得P-1AP=B.
答案:
令λ=1,解(λE-A)x=0得ε1=(1,1,0)T,ε2=(1,0,1)T.
再令λ=-1,解(λE-A)x=0得ε3=(1,0,0)T.
取
则有P-1AP=B.
[考点]实对称矩阵的相似
7.设有n元实二次型f(x1,x2,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2,其中ai(i=1,2,…,n)为实数,试问:
当a1,a2,…,an满足何种条件时,二次型f(x1,x2,…,xn)为正定二次型?
答案:
由已知条件知,对任意的x1,x2,…,xn,恒有f(x1,x2,…,xn)≥0,
其中等号成立的充分必要条件是
根据正定的定义,只要x≠0,恒有xTAx>0,则xTAx是正定二次型,为此,只要方程组
(1)仅有零解,就必有当x≠0时,x1+a1x2,x2+a2x3,…不全为0,从而f(x1,x2,…,xn)>0,亦即f是正定二次型.而方程组①中只有零解的充分必要条件是系数行列式
即当a1a2…an≠(-1)n时,二次型f(x1,x2,…,xn)为正定二次型.
[考点]正定二次型
8.设
求A100.
答案:
可求得A的特征值λ1=-1,λ2=1,λ3=2,对应特征向量分别为
令
[考点]相似矩阵
设A为n阶实对称矩阵,秩(A)=n,Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,…n),二次型
9.记x=(x1,x2,…,xn)T,把f(x1,x2,…,xn)写成矩阵形式,并说明二次型f(x)的矩阵为A-1;
答案:
由于
因为r(A)=n,知A可逆,又因A是实对称的,有(A-1)T=(AT)-1=A-1,
可知
是实对称矩阵,于是A*是对称的,故二次型f(x)的矩阵是A-1.
10.二次型g(x)=xTAx与f(x)的规范形是否相同?
说明理由.
答案:
经坐标变换x=A-1y,有
g(x)=xTAx=(A-1y)TA(A-1y)=yT(A-1)Ty=yTA-1y=f(y).
即g(x)与f(x)有相同的规范形.
[考点]实二次型
四、证明题
本题7分
1.设λ1,λ2是方阵A的特征根,λ1≠λ2,η1,…,ηr是A的对应于λ1的线性无关的特征向量,ε1,…,εs是A的对应于λ2的线性无关的特征向量,证明η1,…,ηr,ε1,…,εs线性无关.
答案:
证明:
由题意Aηi=λ1ηi(i=1,…,r),Aεi=λ2εi(i=1,…,s).
设k1η1+…+krηr+l1ε1+…+lsεs=0……(*)
左乘A得λ1(k1η1+…+krηr)+λ2(l1ε1+…+lsεs)=0①
(*)式再两边同乘以λ1,得
λ1(k1η1+…+krηr)+λ1(l1ε1+…+lsεs)=0②
①-②得(λ2-λ1)(l1ε1+…+lsεs)=0,由λ2≠λ1,可知,l1ε1+…+lsεs=0,
又ε1,ε2,…,εs线性无关,所以
l1=…=ls=0,代入(*)可得k1=…=kr=0,
故η1,…,ηr,ε1,…,εs线性无关,得证.
[考点]线性相关