线性代数自考题模拟14.docx

1、线性代数自考题模拟14线性代数自考题模拟14第一部分 选择题一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的1. 零为矩阵A的特征值是A不可逆的_A.必要条件B.充分条件C.非充分、非必要条件D.充要条件答案：D考点 矩阵可逆性解答 零为矩阵A的特征值不可逆故选D2. 设1，2是矩阵A的两个不同的特征值，与是A的分别属于特征值1，2的特征向量，则与_A.对应分量成比例B.线性无关C.可能有零向量D.线性相关答案：B考点 特征值与特征向量解答 因12，与是A的特征向量，则则由定理5.2.4得，线性无关3. 设1与2是矩阵A的两个不同的特征值，是A的分别属于1，2的特征向量，则_A

2、.存在常数k10，k20，使k1+k2是A的特征向量B.存在唯一的一组常数k10，k20，k1+k2是A的特征向量C.对任意k10，k20，k1+k2是A的特征向量D.当k10，k20时，k1+k2不可能是A的特征向量答案：D考点 特征向量解答 假设k1+k2是A的属于的特征向量， 即A(k1+k2)=(k1+k2)， 即(k11+k22)=k1+k2， 即(k11-k1)+(k22-k2)=0， 而与分属于A的两个不同特征值的特征向量， 故线性无关，故 又k1，k2都不为0，得=1=2与12矛盾 故当k10，k20时，k1+k2不可能是A的特征向量，选D 4. 设三元实二次型则其规范形为_

3、A B C D 答案：C考点 求二次型的规范型解答 三元二次型经过可逆线性变换：z3=2x3，则其规范型为5. 设0是n阶矩阵A的特征值，且齐次线性方程组(0E-A)x=0的基础解系为1和2，则A的属于0的全部特征向量是_A.1和2B.C11+C22+C2(C1，C2为任意常数)C.C11+C22(C1，C2为不全为零的任意常数)D.1或2答案：C考点 特征向量解答 对任意常数C1，C2，都有(0E-A)(C11+C22)=C1(0E-A)1+C2(0E-A)2=0 即有 A(C11+C22)=0(C11+C22) 但又由于零向量不是特征向量 故属于0的全部特征向量即为C11+C22，( )，

4、故选C第二部分 非选择题二、填空题1. 行列式的值为_答案：0考点 行列式计算解答2. 设A是n阶方阵，A*为A的伴随矩阵，|A|=5，则方阵B=AA*的特征值是_，特征向量是_答案：5 任意n维非零向量考点 特征值与特征向量解答 因为AA*=A*A=|A|E，所以对于任意n维非零向量，有AA*=|A|E=|A|所以|A|=5是B=AA*的特征值，任意n维非零向量为其对应的特征向量3. 已知矩阵有一个特征值为0，则x=_答案：考点 特征值的性质解答 A的行列式等于A的所有特征值的乘积，因为A有一个特征值为0，所|A|=5-2x=0，4. 三阶方阵A的特征值为1，-1，2，则B=2A3-3A2的

5、特征值为_答案：-1，-5，4考点 特征值的求法解答 设A的特征向量，对应特征值，则有 B=(2A3-3A2)=2A3-3A2=23-32=(23-32)，故23-32是B的特征值 5. 已知矩阵A与对角矩阵相似，则A2=_答案：E考点 相似矩阵解答 因A与D相似，且则存在可逆矩阵T，使得TAT-1=D 则 即 两边分别左乘T-1，右乘T， 则 即A2=E 6. 设且A的特征值为2和1(二重)，那么B的特征值为_答案：2和1(二重)考点 特征值的求法解答 因为|E-A|=|(E-A)T|=|E-AT|，即A与AT有相同的特征多项式，故有相同的特征值，又AT=B故B的特征值即为2和1(二重)7.

6、 设二次型则二次型对应的矩阵为_答案：考点 二次型及其标准形解答 由对称性易知为8. 已知矩阵相似，则x=_，y=_答案：0，1考点 实对称矩阵的相似解答 因AB，故tr(A)=tr(B)，故2+x=2+y-1 又因AB，故|A|=|B|，故-2=-2y，故y=1，x=0 9. 设A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则A的正特征值的个数为_ 答案：1考点 空间解析几何与线性代数的问题解答 由图形可知二次曲面为双叶双曲面，其标准方程应为 从而方程左端对应二次型的正惯性指数为1，即正特征值的个数为1 10. 设A，B为n阶方阵，且|A|0，则仙和BA相似，这是

7、因为存在可逆矩阵P=_，使得P-1ABP=BA答案：A考点 相似矩阵解答 由|A|0知A可逆，又A-1(AB)A=BA，故P=A三、计算题本大题共7小题，每小题9分，共63分1. 设A为n阶实对称矩阵，且A3-3A2+5A-3E=0证明：A正定答案：证明：设是A的任一特征值，对应特征向量为x0，即Ax=x，则有 (A3-3A2+5A-3E)x=(3-32+5-3)x=0， 也即满足 3-32+5-3=(-1)(2-2+3)=0， 解得=1或 因为A为实对称矩阵，其特征值为实数，故只有=1，即A的全部特征值就是=10，所以A为正定矩阵 考点 正定矩阵设=1是矩阵的特征值，求：2. t的值；答案：

8、即t为任何值时，矩阵都有特征值13. 对于=1的所有特征向量答案： 取x3为自由未知量，并令x3=1，得=(0，2，1)T 即属于=1的全部特征向量为k=k(0，2，1)T，k任取但不为0 考点 特征值与特征向量4. 设A为mn实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B=E+ATA，试证：当0时，矩阵B为正定矩阵答案：证明：因为BT=(E+ATA)T=E+ATA=B，所以B是n阶实对称矩阵，构造二次型xTBx，那么 xTBx=xT(E+ATA)x=xTx+xTATAx=xTx+(Ax)T(Ax) ，恒有xTx0，(Ax)T(Ax)0，因此，0时，有xTBx=xTx+(Ax)T(Ax)0 二次型为正定

9、型，故B为正定矩阵 考点 正定矩阵设矩阵A与B相似，其中5. 求x和y的值；答案：A的特征值为-1，1，x；B的特征值为y，1，1 AB，故特征值相同，相比较得y=-1，x=1 6. 求可逆矩阵P，使得P-1AP=B答案： 令=1，解(E-A)x=0得1=(1，1，0)T，2=(1，0，1)T 再令=-1，解(E-A)x=0得3=(1，0，0)T 取 则有P-1AP=B 考点 实对称矩阵的相似7. 设有n元实二次型f(x1，x2，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，n)为实数，试问：当a1，a2，an满足

10、何种条件时，二次型f(x1，x2，xn)为正定二次型?答案：由已知条件知，对任意的x1，x2，xn，恒有f(x1，x2，xn)0， 其中等号成立的充分必要条件是 根据正定的定义，只要x0，恒有xTAx0，则xTAx是正定二次型，为此，只要方程组(1)仅有零解，就必有当x0时，x1+a1x2，x2+a2x3，不全为0，从而f(x1，x2，xn)0，亦即f是正定二次型而方程组中只有零解的充分必要条件是系数行列式 即当a1a2an(-1)n时，二次型f(x1，x2，xn)为正定二次型 考点 正定二次型8. 设求A100答案：可求得A的特征值1=-1，2=1，3=2，对应特征向量分别为 令 考点 相似

11、矩阵设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)nn中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，n)，二次型9. 记x=(x1，x2，xn)T，把f(x1，x2，xn)写成矩阵形式，并说明二次型f(x)的矩阵为A-1；答案：由于 因为r(A)=n，知A可逆，又因A是实对称的，有(A-1)T=(AT)-1=A-1， 可知 是实对称矩阵，于是A*是对称的，故二次型f(x)的矩阵是A-110. 二次型g(x)=xTAx与f(x)的规范形是否相同?说明理由答案：经坐标变换x=A-1y，有 g(x)=xTAx=(A-1y)TA(A-1y)=yT(A-1)Ty=yTA-1y=f(y) 即g(x

12、)与f(x)有相同的规范形 考点 实二次型四、证明题本题7分1. 设1，2是方阵A的特征根，12，1，r是A的对应于1的线性无关的特征向量，1，s是A的对应于2的线性无关的特征向量，证明1，r，1，s线性无关答案：证明：由题意 Ai=1i(i=1，r)，Ai=2i(i=1，s) 设k11+krr+l11+lss=0(*) 左乘A得 1(k11+krr)+2(l11+lss)=0 (*)式再两边同乘以1，得 1(k11+krr)+1(l11+lss)=0 -得(2-1)(l11+lss)=0，由21，可知，l11+lss=0， 又1，2，s线性无关，所以 l1=ls=0，代入(*)可得k1=kr=0， 故1，r，1，s线性无关，得证 考点 线性相关