黑龙江单招理科数学模拟试题一含答案.docx
《黑龙江单招理科数学模拟试题一含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《黑龙江单招理科数学模拟试题一含答案.docx（29页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
黑龙江单招理科数学模拟试题一含答案
2019年黑龙江单招理科数学模拟试题
（一）【含答案】
一.选择题：
本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）
A．1B．﹣1C．D．﹣2
2．集合A={0，1，2，3，4}，B={x|（x+2）（x﹣1）≤0}，则A∩B=（）
A．{0，1，2，3，4}B．{0，1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1}
3．已知向量=（1，2），=（﹣2，m），若∥，则|2+3|等于（）
A．B．C．D．
4．设a1=2，数列{1+an}是以3为公比的等比数列，则a4=（）
A．80B．81C．54D．53
5．若某几何体的三视图（单位：
cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，
则这个几何体的体积是（）
A．2cm2B．cm3C．3cm3D．3cm3
6．执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）
A．4B．8C．12D．16
7．直线x﹣y+3=0被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（）
A．B．C．2D．
8．已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
C．若α∩β=，lm∥α，m∥β，则m∥l
D．若α∩β=m，α∩γ=，nl⊥m，l⊥n，则l⊥α9．高考将至，凭借在五大学科竞赛的卓越表现，我校共有25人获得北大、清华保送及降分
录取优惠政策，具体人数如右下表．若随机从这25人中任选2人做经验交流，在已知恰有
1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的条件下，至少有1人是参加数学竞赛的概率为（）
学科
数学
信息
物理
化学
生物
北大
4
2
5
4
1
清华
2
1
0
4
2
A．B．C．D．
10．设F是双曲线﹣=1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|
的最小值为（）
A．5B．5+4C．7D．9
11．已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥1时，的取值范围是（）
A．[，]B．[0，]C．[，]D．[1，]
12．设函数f是定义在正整数有序对的集合上，并满足：
1f（x，x）=x；
2f（x，y）=f（y，x）；
3（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y）；
则f（12，16）+f（16，12）的值是（）
A．24B．48C．64D．96
二．填空题：
本大题共4小题；每小题5分，共20分.
13．已知抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣，则实数a的值为．
14．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω>0，0<φ≤）的部分图象如示，则φ的值为．
15．已知△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形最小值的正弦值是．
16．若存在实数a、b使得直线ax+by=1与线段AB（其中A（1，0），B（2，1））只有一个
公共点，且不等式+≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，）成立，则正实
数p的取值范围为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知等差数列{an}满足：
a3=7，a5+a7=26．{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
18．已知函数
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及对称中心；
（Ⅱ）若，求f（x）的最大值和最小值．
19．国家AAAAA级八里河风景区五一期间举办“管仲杯”投掷飞镖比赛．每3人组成一队，每人投掷一次．假设飞镖每次都能投中靶面，且靶面上每点被投中的可能性相同．某人投中靶面内阴影区域记为“成功”（靶面正方形ABCD如图所示，其中阴影区域的边界曲线近似为函数y=Asinx的图象）．每队有3人“成功”获一等奖，2人“成功”获二等奖，1人“成功”获三等奖，其他情况为鼓励奖（即四等奖）（其中任何两位队员“成功”与否互不影响）．（Ⅰ）求某队员投掷一次“成功”的概率；
（Ⅱ）设X为某队获奖等次，求随机变量X的分布列及其期望．
20．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为正方形，延长AB到D，使得AB=BD，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，A1C1=AA1，∠C1A1A=．
Ⅰ）若E，F分别为C1B1，AC的中点，求证：
EF∥平面ABB1A1；Ⅱ）求平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．
圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于
Ⅰ）若a=，求曲线f（x）在点（1，f
（1））处的切线方程；Ⅱ）若对任意x∈[1，e]，f（x）<1恒成立，求实数a的取值范围．
2019年黑龙江单招理科数学模拟试题
（一）
一.选择题：
本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）
A．1B．﹣1C．D．﹣2
【考点】A5：
复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．
【解答】解：
∵=为纯虚数，
∴，解得：
a=1．
故选：
A．
2．集合A={0，1，2，3，4}，B={x|（x+2）（x﹣1）≤0}，则A∩B=（）
A．{0，1，2，3，4}B．{0，1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1}
【考点】1E：
交集及其运算．
【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：
由B中不等式解得：
﹣2≤x≤1，即B=[﹣2，1]，∵A={0，1，2，3，4}，
∴A∩B={0，1}，
故选：
D．
A．B．C．D．
考点】9R：
平面向量数量积的运算．
分析】根据∥，算出=（﹣2，﹣4），从而得出=（﹣4，﹣8），最后根据向量模的计算公式，可算出的值．
【解答】解：
∵且∥，
∴1×m=2×（﹣2），可得m=﹣4
由此可得，
∴2+3=（﹣4，﹣8），得==4
故选：
B
4．设a1=2，数列{1+an}是以3为公比的等比数列，则a4=（）
A．80B．81C．54D．53
【考点】8G：
等比数列的性质；8H：
数列递推式．
【分析】先利用数列{1+an}是以3为公比的等比数列以及a1=2，求出数列{1+an}的通项，再把n=4代入即可求出结论．
【解答】解：
因为数列{1+an}是以3为公比的等比数列，且a1=2所以其首项为1+a1=3．
其通项为：
1+an=（1+a1）×3n﹣1=3n．
当n=4时，1+a4=34=81．
∴a4=80．
故选A．
5．若某几何体的三视图（单位：
cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，
则这个几何体的体积是（）
A．2cm2B．cm3C．3cm3D．3cm3
【考点】L!
：
由三视图求面积、体积．
【分析】由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高，进而得到该几何体的体积．
的四棱锥，
解答】解：
由几何体的三视图可知，该几何体为底面是直角梯形，高为
故这个几何体的体积是×[（1+2）×2]×=（cm3）．故选：
B．
6．执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）
A．4B．8C．12D．16
【考点】EF：
程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=16，i=9时，不满足
条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：
16
【解答】解：
模拟执行程序框图，可得
i=1
S=0
满足条件，
S=1，
i=3
满足条件，
S=4，
i=5
满足条件，
S=9，
i=7
满足条件，
S=16，
i=9
由题意，此时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：
16，
故选：
D．
7．直线x﹣y+3=0被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（）
A．B．C．2D．
【考点】JE：
直线和圆的方程的应用．
【分析】先根据点到直线的距离公式求出圆心到弦的距离即弦心距OD，然后根据垂径定理
得到垂足为弦长的中点D，根据勾股定理求出弦长的一半BD，乘以2即可求出弦长AB．【解答】解：
连接OB，过O作OD⊥AB，根据垂径定理得：
D为AB的中点，
根据（x+2）2+（y﹣2）2=2得到圆心坐标为（﹣2，2），半径为．
圆心O到直线AB的距离OD==，而半径OB=，
则在直角三角形OBD中根据勾股定理得BD==，所以AB=2BD=故选D．
8．已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
C．若α∩β=，lm∥α，m∥β，则m∥l
D．若α∩β=m，α∩γ=，nl⊥m，l⊥n，则l⊥α
【考点】LP：
空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据常见几何体模型举出反例，或者证明结论．
【解答】解：
（A）若m∥α，n∥α，则m与n可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误；
（B）在正方体ABCD﹣A′B′C中′，D′设平面ABCD为平面α，平面CDD′C为′平面β，直线BB′为直线m，直线A′B为直线n，
则m⊥α，n∥β，α⊥β，但直线A′B与BB′不垂直，故B错误．
（C）设过m的平面γ与α交于a，过m的平面θ与β交于b，
∵m∥α，
m?
γ，
α∩γ=，a
∴m∥a，
同理可得：
m∥
b．
∴a∥b，∵
b?
β，
a?
β，
∴a∥β，
∵α∩β=，l
a?
α，
∴a∥l，
∴l∥m．
故C正确．
（D）在正方体ABCD﹣A′B′C中′，D′设平面ABCD为平面α，平面ABB′A为′平面β，平面CDD′C′为平面γ，
则α∩β=AB，α∩γ=C，DBC⊥AB，BC⊥CD，但BC?
平面ABCD，故D错误．故选：
C．
9．高考将至，凭借在五大学科竞赛的卓越表现，我校共有25人获得北大、清华保送及降分
录取优惠政策，具体人数如右下表．若随机从这25人中任选2人做经验交流，在已知恰有
1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的条件下，至少有1人是参加数学竞赛的概率为（）
学科
数学
信息
物理
化学
生物
北大
4
2
5
4
1
清华
2
1
0
4
2
A．B．C．D．
【考点】CB：
古典概型及其概率计算公式．
【分析】先求出恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的种数，再分类求出至少有1人是参加数学竞赛种数，根据概率公式计算即可得到．
【解答】解：
其中北大保送生有4+2+5+4+1=16人，清华保送生有2+1+0+4+2=9人，
故至少有1人是参加数学竞赛种数为
恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的有C161C91=144种，C41C71+C21C121+C21C41=28+24+8=60种，
故至少有1人是参加数学竞赛的概率故选：
A．
P==．
10．设F是双曲线﹣=1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|
的最小值为（）
A．5B．5+4C．7D．9
【考点】KC：
双曲线的简单性质．
【分析】根据A点在双曲线的两支之间，根据双曲线的定义求得，|PF|﹣|PF′|=2a=4，进而
根据PA|+|PF′|≥|AF′|=5，两式相加求得答案．
【解答】解：
∵A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′（4，0），
∴由双曲线定义可得，|PF|﹣|PF′|=2a=4，
而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5，两式相加得|PF|+|PA|≥9，当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．
则|PF|+|PA|的最小值为9．故选：
D．
11．已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥1时，的取值范围是（）
A．[，]B．[0，]C．[，]D．[1，]
【考点】3N：
奇偶性与单调性的综合．
【分析】判断函数f（x）的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，利用直线和圆的位置关系，结合数形结合和的几何意义即可得到结论．
【解答】解：
∵f（x）=x+sinx（x∈R），
∴f（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣（x+sinx）=﹣f（x），
即f（x）=x+sinx（x∈R）是奇函数．
∵f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，∴f（y2﹣2y+3）≤﹣f（x2﹣4x+1）=f[﹣（x2﹣4x+1）]，
由f′（x）=1+cosx≥0，∴函数单调递增．
∴（y2﹣2y+3）≤﹣（x2﹣4x+1），
即（y2﹣2y+3）+（x2﹣4x+1）≤0，
∴（y﹣1）2+（x﹣2）2≤1，∵当y≥1时，=1+，∴不等式对应的平面区域为圆心为（2，1），半径为1的圆的上半部分．
而的几何意义为动点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率的取值范围．
设k=，（k>0），则y=kx+k，即kx﹣y+k=0．
当直线和圆相切时，圆心到直线的距离d===1
即8k2﹣6k=0，解得k=．此时直线斜率最大．
当直线kx﹣y+k=0经过点B（3，1）时，直线斜率最小，
此时3k﹣1+k=0，即4k=1，解得k=，
∴≤k≤，故=1+=1+k的取值范围是[，]．
故选：
A
12．设函数f是定义在正整数有序对的集合上，并满足：
1f（x，x）=x；
2f（x，y）=f（y，x）；
3（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y）；
则f（12，16）+f（16，12）的值是（）
A．24B．48C．64D．96
【考点】3P：
抽象函数及其应用．
【分析】由函数性质的第3条，可得f（x，x+y）=f（x，y），从而得到f（12，16）+f
（16，12）=2f（12，16）=2f（12，12+4）=2××f（12，12），再利用①解．【解答】解：
∵（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y），
∴f（x，x+y）=f（x，y），
f（12，16）+f（16，12）
=2f（12，16）
=2f（12，12+4）
=2××f（12，12）
=2×4×12=96．
故选：
D
二．填空题：
本大题共4小题；每小题5分，共20分.
13．已知抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣，则实数a的值为1．
【考点】K8：
抛物线的简单性质．
【分析】先化抛物线y=ax2为标准方程：
x2=y，得到焦点坐标为F（0，），准线方程：
y=﹣，再结合题意准线方程为，比较系数可得a=1．
【解答】解：
∵抛物线y=ax2化成标准方程为x2=y，
∴2p=，可得=，焦点坐标为F（0，），准线方程：
y=﹣
再根据题意，准线方程为，
∴﹣=﹣，可得a=1故答案为：
1
先利用函数图象，计算函数的周期，再利用周期计算公式计算
φ的值为
分析】
，
ω的值，
最后将点
0）代入，结合
φ的范围，求φ值即可
【解答】
∴y=sin
解：
由图可知
（2x+φ）
T=2（
）=π，∴ω==2
代入（，0），得sin（
∴+φ=π+2kπ，k∈Z
+φ）
=0
∵0<φ≤
∴φ=
故答案为
15．已知△ABC的三边长成公差为
最小值的正弦值是【考点】8F：
等差数列的性质．
【分析】设三角形的三边分别为
2的等差数列，且最大角的正弦值为
，则这个三角形
a、
b、c，且a>b>c>0，设公差为d=2，求出a=c+4和b=c+2，A=60°或120°，再判断A的值，利用余弦定理能求出三边
由边角关系和条件求出sinA，求出长，由余弦定理和平方关系求出这个三角形最小值的正弦值．【解答】解：
不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a>b>c>0，
设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，则a﹣b=b﹣c=2，可得b=c+2，a=c+4，∴A>B>C，
a、
∵最大角的正弦值为，∴sinA=，
由A∈（0°，
当A=60°时，
180°）得，A=60°或120°，
∵A>B>C，∴A+B+C<180°，不成立；
即A=120°，则cosA===，
化简得，解得c=3，
∴b=c+2=5，a=c+4=7，
∴cosC===，
又C∈（0°，180°），则sinC==，
∴这个三角形最小值的正弦值是，故答案为：
．
16．若存在实数a、b使得直线ax+by=1与线段AB（其中A（1，0），B（2，1））只有一个
公共点，且不等式+≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，）成立，则正实
数p的取值范围为[1，+∞）．
【考点】KE：
曲线与方程．
【分析】直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，可知：
点A（1，0），B（2，1）在直线ax+by=1的两侧，因此（a﹣1）（2a+b﹣1）≤0．画出它们表示的平面区域，如图所示．由图可知，
当原点O到直线2x+y﹣1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，可得dmin=．由
于存在实数a、b使得不等式+≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，）成
立，可得
≥20（a2+b2）min=4，再利用基本不等式的性质即可得
出答案．
【解答】解：
∵直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，∴点A（1，0），B（2，1）在直线ax+by=1的两侧，∴（a﹣1）（2a+b﹣1）≤0，即，或；画出它们表示的平面区域，如图所示．
a2+b2表示原点到区域内的点的距离的平方，
由图可知，当原点O到直线2x+y﹣1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，
∵dmin=
那么a2+b2的最小值为：
d2=．
由于存在实数a、b使得不等式+≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，）
成立，
∴≥20（a2+b2）min=4，
∵θ∈（0，），∴sinθ，cosθ∈（0，1）．
∴+=（sin2θ+cos2θ）=1+p++≥
1+p+2=1+p+2，
当且仅当tan2θ=时取等号．
∴1+p+2≥4，p>0，解得1≤p．
∴tanθ=1，即时取等号．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知等差数列{an}满足：
a3=7，a5+a7=26．{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；
Ⅱ）令
bn=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
考点】8E：
数列的求和；84：
等差数列的通项公式；85：
等差数列的前n项和．
【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由于a3=7，a5+a7=26，可得，解
得a1，d，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
（Ⅱ）由（I）可得bn==，利用“裂项求和”即可得出．
【解答】解：
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3=7，a5+a7=26，
∴，解得a1=3，d=2，
∴an=3+2（n﹣1）=2n+1；
Sn==n2+2n．
Ⅱ）===，
∴Tn===
18．已知函数（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及对称中心；
（Ⅱ）若，求f（x）的最大值和最小值．
【考点】H6：
正弦函数的对称性；HW：
三角函数的最值．
【分析】（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求f（x）的最小正周期
及对称中心；
（Ⅱ）求出相位的范围，利用正弦函数的有界性求解函数的最值即可．
19．国家AAAAA级八里河风景区五一期间举办“管仲杯”投掷飞镖比赛．每3人组成一队，每人投掷一次．假设飞镖每次都能投中靶面，且靶面上每点被投中的可能性相同．某人投中靶面内阴影区域记为“成功”（靶面正方形ABCD如图所示，其中阴影区域的边界曲线近似为函数y=Asinx的图象）．每队有3人“成功”获一等奖，2人“成功”获二等奖，1人“成功”获三等奖，其他情况为鼓励奖（即四等奖）（其中任何两位队员“成功”与否互不影响）．（Ⅰ）求某队员投掷一次“成功”的概率；
（Ⅱ）设X为某队获奖等次，求随机变量X的分布列及其期望．
【考点】6G：
定积分在求面积中的应用；CF：
几何概型；CH：
离散型随机
升级会员 