版高考数学一轮复习第7章立体几何75直线平面垂直的判定与性质课后作业文.docx

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版高考数学一轮复习第7章立体几何75直线平面垂直的判定与性质课后作业文

7．5　直线、平面垂直的判定与性质

[重点保分两级优选练]

A级

一、选择题

1．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　）

A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥β

C．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

答案　B

解析　

如图所示，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，对于A项，设l为AA1，平面B1BCC1，平面DCC1D1为α，β.A1A∥平面B1BCC1，A1A∥平面DCC1D1，而平面B1BCC1∩平面DCC1D1＝C1C；对于C项，设l为A1A，平面ABCD为α，平面DCC1D1为β.A1A⊥平面ABCD；A1A∥平面DCC1D1，而平面ABCD∩平面DCC1D1＝DC；对于D项，设平面A1ABB1为α，平面ABCD为β，直线D1C1为l，平面A1ABB1⊥平面ABCD，D1C1∥平面A1ABB1，而D1C1∥平面ABCD.故A，C，D三项都是错误的．而对于B项，根据垂直于同一直线的两平面平行，知B项正确．故选B.

2．（2017·山西临汾二模）已知点A，B在半径为的球O表面上运动，且AB＝2，过AB作相互垂直的平面α，β，若平面α，β截球O所得的截面分别为圆M，N，则（　　）

A．MN长度的最小值是2

B．MN的长度是定值

C．圆M面积的最小值是2π

D．圆M、N的面积和是定值8π

答案　B

解析　如图所示，平面ABC为平面α，平面ABD为平面β，则BD⊥BC.

BC2＋BD2＋4＝12，∴CD＝2，

∵M，N分别是AC，AD的中点，

∴MN的长度是定值.故选B.

3．（2017·江西南昌摸底）如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在（　　）

A．直线AB上

B．直线BC上

C．直线AC上

D．△ABC内部

答案　A

解析　因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平面ABD，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．故选A.

4．（2018·江西九江模拟）如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是（　　）

A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABD⊥平面BCD

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE

D．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE

答案　C

解析　因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.

5．（2018·甘肃二诊）已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝，AB＝4，若在棱AB上存在点P，使得D1P⊥PC，则AD的取值范围是（　　）

A．（0,1]B．（0,2]

C．（1，]D．[1,4）

答案　B

解析　连接DP，由D1P⊥PC，DD1⊥PC，且D1P，DD1是平面DD1P内两条相交直线，得PC⊥平面DD1P，PC⊥DP，即点P在以CD为直径的圆上，又点P在AB上，则AB与圆有公共点，即0

6．（2018·河北模拟）在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BA⊥AD，AD∥BC，AB＝BC＝2，PA＝3，AD＝4，PA⊥底面ABCD，E是棱PD上异于P，D的动点．设＝m，则“0

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　如图，过E点作EH⊥AD，H为垂足，则EH⊥平面ABCD.∵VC－ABE＝VE－ABC，

∴三棱锥C－ABE的体积为EH.若三棱锥C－ABE的体积不小于1，则EH≥，又PA＝3，∴＝m≤1，

∴0

7．如图，三棱锥P－ABC的所有棱长都相等，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（　　）

A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面ABC

D．平面PAE⊥平面ABC

答案　C

解析　∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF，A正确．

∵BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE.

又∵DF∥BC，∴DF⊥平面PAE，B正确．

∵BC⊥平面PAE，BC⊂平面ABC，

∴平面PAE⊥平面ABC，D正确．故选C.

8·湖北武汉月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，将△ACD沿AC折起，使得D折起后的位置为D1，且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上，在四面体D1－ABC的四个面中，有n对平面相互垂直，则n等于（　　）

A．2B．3

C．4D．5

答案　B

解析　设D1在平面ABC

上的射影为E，连接

D1E，则D1E⊥平面ABC，

∵D1E⊂平面ABD1，

∴平面ABD1⊥平面ABC.

∵D1E⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴D1E⊥BC，又AB⊥BC，D1E∩AB＝E，

∴BC⊥平面ABD1，

又BC⊂平面BCD1，

∴平面BCD1⊥平面ABD1.

∵BC⊥平面ABD1，AD1⊂平面ABD1，

∴BC⊥AD1，又CD1⊥AD1，BC∩CD1＝C，

∴AD1⊥平面BCD1，

又AD1⊂平面ACD1，

∴平面ACD1⊥平面BCD1.

∴共有3对平面互相垂直．故选B.

9．（2018·静海县校级月考）如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是（　　）

A．一条线段B．一条直线

C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点

答案　D

解析　∵平面PAC⊥平面PBC，

而平面PAC∩平面PBC＝PC，

又AC⊂平面PAC，且AC⊥PC，

∴AC⊥平面PBC，

而BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC，

∴点C在以AB为直径的圆上，

∴点C的轨迹是一个圆，但是要去掉A和B两点．故选D.

10．（2018·吉林期末）已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1中棱AB，AA1的中点，M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有（　　）

A．0条B．1条

C．2条D．无数条

答案　B

解析　如图，设D1E与平面AA1C1C相交于点M，在平面AA1C1C内过点M作MN∥AA1交C1F于点N，连接MN，由C1F与D1E为异面直线知MN唯一，且MN⊥平面ABCD.故选B.

二、填空题

11．（2017·开封二模）三棱锥S－ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，则以下结论中：

①异面直线SB与AC所成的角为90°；

②直线SB⊥平面ABC；

③平面SBC⊥平面SAC；

④点C到平面SAB的距离是a.

其中正确的是________．

答案　①②③④

解析　由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，故①正确；再根据SB⊥AC，SB⊥AB，可得SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，故②③正确；取AB的中点E，连接CE，可证得CE⊥平面SAB，故CE的长度即为点C到平面SAB的距离为a，④正确．

12．（2017·苏州期末）如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，则下列结论：

①AD∥平面PBC；

②平面PAC⊥平面PBD；

③平面PAB⊥平面PAC；

④平面PAD⊥平面PDC.

其中正确的结论序号是________．

答案　①②④

解析　①由底面为正方形，可得AD∥BC，

AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，

可得AD∥平面PBC；

②在正方形ABCD中，AC⊥BD，

PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD，

PA∩AC＝A，可得BD⊥平面PAC，

BD⊂平面PBD，即有平面PAC⊥平面PBD；

③假设面PAB⊥面PAC，

∵面PAB∩面PAC＝PA，

又∵PA⊥面ABCD，

∴PA⊥AC.

由面面垂直性质定理，

AC⊥面PAB，

∵AB⊂面PAB，

∴AC⊥AB.

而四边形ABCD为正方形，

∴∠BAC＝45°，矛盾．

∴面PAB⊥面PAC不成立；

④在正方形ABCD中，可得CD⊥AD，

PA⊥底面ABCD，可得PA⊥CD，

PA∩AD＝A，可得CD⊥平面PAD，

CD⊂平面PCD，即有平面PAD⊥平面PDC.

综上可得，①②④正确．

故答案为①②④.

13．（2017·三元区月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD折起，使CD⊥平面ABD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD中，平面BCD，平面ADC，平面ABC，平面ABD，互相垂直的有________．

答案　平面ABD⊥平面ACD、平面ABD⊥平面BCD、平面ABC⊥平面ACD

解析　∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，

∴BD⊥CD.

由CD⊥平面ABD，CD⊂平面BCD，

所以平面ABD⊥平面BCD，

由CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB.

故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC，

平面ABD⊥平面ADC.

14．（2018·泰安模拟）如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则∠BA′C＝________，VA′－BCD＝________.

答案　90°　

解析　由题设知：

△BA′D为等腰直角三角形，CD⊥平面A′BD，得BA′⊥平面A′CD，∴∠BA′C＝90°，

VA′－BCD＝VC－A′BD＝.

B级

三、解答题

15．（2018·临汾期末）在三棱柱ABC－A1B1C1，侧面ABB1A1为矩形，AB＝2，AA1＝2，D是AA1中点，BD与AB1交于点O，且OC⊥平面ABB1A1.

证明：

平面AB1C⊥平面BCD.

证明　∵ABB1A1为矩形，AB＝2，

AA1＝2，D是AA1的中点，

∴∠BAD＝90°，∠ABB1＝90°，

BB1＝2，AD＝AA1＝，

∴tan∠ABD＝＝，

tan∠AB1B＝＝，

∴∠ABD＝∠AB1B，

∴∠AB1B＋∠BAB1＝∠ABD＋∠BAB1＝，

∴∠AOB＝，即AB1⊥BD.

∵CO⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，

∴AB1⊥CO，

又BD∩CO＝O，

∴AB1⊥平面BCD.

∵AB1⊂平面AB1C，

∴平面AB1C⊥平面BCD.

16．（2018·黄冈调研）在三棱锥P－ABC中，△PAB是等边三角形，PA⊥AC，PB⊥BC.

（1）证明：

AB⊥PC；

（2）若PC＝2，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥P－ABC的体积．

解　

（1）证明：

在Rt△PAC和Rt△PBC中

AC＝，BC＝.

∵PA＝PB，∴AC＝BC.

取AB中点M，连接PM，CM，则AB⊥PM，AB⊥MC，

∴AB⊥平面PMC，而PC⊂平面PMC，

∴AB⊥PC.

（2）在平面PAC内作AD⊥PC，垂足为D，连接BD.

∵平面PAC⊥平面PBC，∴AD⊥平面PBC，又BD⊂平面PBC，

∴AD⊥BD，又Rt△PAC≌Rt△PBC，

∴AD＝BD，∴△ABD为等腰直角三角形．

设AB＝PA＝PB＝a，则AD＝a，

在Rt△PAC中，由