考研数学三真题.docx
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考研数学三真题
2012年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题解析
选择题：
1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
x2+x
y=
（1）曲线
x2-1
渐近线的条数为（）
（A）0（B）1（C）2（D）3
f（x）=（ex-1）（e2x-2）…（enx-n）
（2）设函数
f'（0）=（）
（-1）n-1（n-1）!
（-1）n-1n!
，其中n为正整数，则
（-1）n（n-1）!
（-1）nn!
f（t）
π2
⎰2dθ⎰
f（r2）rdr
（3）设函数
2
连续，则二次积分
02cosθ
22
=（）
（A）
⎰0dx⎰
24-x2
f（x
22
+
y）dy
（B）
⎰0dx⎰
2x-x2
f（x
+
y）dy
⎰dx⎰
f（x2+y2）dy
0
（C）
⎰0
∞
∑
（D）
1+
dx⎰
1+
∞
∑（-1）n
f（x2+y2）dy
nsin1
nα
（-1）n
n2-αα
（4）已知级数i=1
为（）
绝对收敛，i=1
条件收敛，则范围
≤1
（A）0<α2
1
（B）2<α≤1
33
（C）1<α≤2（D）2<α<2
⎛0⎫⎛⎫0
⎛⎫1
⎛-⎫
ç⎪
1ç⎪
ç⎪
2ç⎪
=αç,-⎪
=ç1α⎪
çc⎪çc⎪ç⎪cç⎪
（5）设
⎝1⎭⎝⎭2⎝⎭3⎝⎭其中
c1，，c2
，c3为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）
（A）α1，α2，α3
（C）α1，α3，α4
（B）α1，α2，α4
（D）α2，α3，α4
⎛1⎫
ç1⎪
ç⎪
ç2⎪
（6）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P-1AP=⎝⎭
P=（α，α，α）
Q=（α+α，α，α）Q-1AQ=（）
123
⎛1⎫
1223则
⎛1⎫
ç2⎪ç1⎪
ç⎪ç⎪
ç1⎪ç2⎪
（A）⎝⎭（B）⎝⎭
⎛2⎫
ç1⎪
⎛2⎫
ç2⎪
ç⎪ç⎪
ç2⎪ç1⎪
（C）⎝⎭（D）⎝⎭
（7）设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则
（）
P｛X2+Y2≤1｝
11ππ
（A）4（B）2（C）8（D）4
（8）设
X1，X2，X3，X4
X1-X2
为来自总体
N（1，σ2）（σ>0）
本，则统计量|X3+X4-2|的分布（）
（C）
（A）N（0，1）（B）t
（1）
的简单随机样
χ2
（1）
（D）F（1,1）
二、填空题：
9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）
1
lim（tanx）cosx-sinxx→π
4
f（x）⎧⎪ln
x,x≥1,y=
f（f（x））,求dy
（10）设函数
⎨
⎪⎩2x-1,x<1
dx
x=0.
（11）函数
z=f（x,y）满足
lim
x→0y→1
f（x,y）-2x+y-2=0,
则
（0,1）.
y=4
（12）由曲线
.
x和直线y=x及y=4x在第一象限中所围图形的面积为
（13）设A为3阶矩阵，|A|=3，A*为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得
到矩阵B，则|BA*|=.
（14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，
P（ABC）=.
P（AB）=1,P（C）=1,
23则
解答题：
15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
lim
计算x→0
ex2
-
e2-2cosx
x4
（16）（本题满分10分）
⎰⎰exxydxdy
计算二重积分D
y=
，其中D为由曲线
x与y=1
所围区域.
（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为
10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x（件）和y（件），且固定两种产
x
品的边际成本分别为20+2（万元/件）与6+y（万元/件）.
1）求生产甲乙两种产品的总成本函数C（x,y）（万元）
2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？
求最小的成
本.
3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.
（18）（本题满分10分）
1+xx2
证明：
xln
1-x
+
cosx≥1+
-12
（19）（本题满分10分）已知函数f（x）满足方程f"（x）+
f'（x）-2f（x）=0
及f'（x）+
f（x）=2ex
1）求表达式f（x）
y=
2）求曲线的拐点
f（x2）xf（-t2）dt
⎰
0
（20）（本题满分10分）
⎛1a00⎫⎛1⎫
ç01a
0⎪ç-1⎪
A=ç⎪，b=ç⎪
ç001a⎪ç0⎪
ça001⎪ç0⎪
设⎝⎭⎝⎭
（I）求|A|
（II）已知线性方程组Ax=b有无穷多解，求a，并求Ax=b的通解.
（21）（本题满分10分）
⎡101⎤
⎢011⎥
A=⎢⎥
⎢-10a⎥
⎢0a-⎥
f（x,x
x）=xT（ATA）x
已知⎣
1⎦二次型123
的秩为2，
求实数a的值；
求正交变换x=Qy将f化为标准型.
（22）（本题满分10分）
已知随机变量X,Y以及XY的分布律如下表所示：
X
0
1
2
P
1
2
1
3
1
6
Y
0
1
2
P
1
3
1
3
1
3
XY
0
1
2
4
P
7
12
1
3
0
1
12
求
（1）P（X=2Y）;
（2）cov（X-Y,Y）与ρXY.
（23）（本题满分10分）
设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，
V=min（X,Y）,U=max（X,Y）.
求
（1）随机变量V的概率密度；
（2）E（U+V）.
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