考研数学三真题及答案.docx
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考研数学三真题及答案
、填空题（本题共
2）已知曲线y
2019考研数学三真题及答案
6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）
1
xcos,若x
0,
x
0,若x
0,
其导函数在x=0处连续，则
f（x）
1）设
的取值范围是
2
3ax
22
b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2
f（x）g（x）
3）设a>0，
a,若0x1,
0,其他，而D表示全平面，则
If（x）g（yD
x）dxdy
4）设n维向量
（a,0,,0,a）,a0；E为n阶单位矩阵，矩阵
AE
其中A的逆矩阵为B，则a=
5）设随机变量X和Y的相关系数为
0.9,
若ZX0.4，则Y与Z的相关系数为
6）设总体X服从参数为2的指数分布，
X1,X2,
Xn为来自总体X的简单随机样本，
则当n
Y时，
1n
ni1
Xi2
依概率收敛于
、选择题（本题共
6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1）设f（x）为不恒等于零的奇函数，且
f（0）存在，则函数
g（x）
f（x）
x[]
（A）在x=0处左极限不存在.（B）有跳跃间断点x=0.（C）在x=0处右极限不存在.（D）有可去间断点x=0.
2）设可微函数f（x,y）在点（x0,y0）取得极小值，则下列结论正确的是[]
（A）f（x0,y）在yy0处的导数等于零.（B）f（x0,y）在yy0处的导数大于零
（C）f（x0,y）在yy0处的导数小于零.（D）f（x0,y）在yy0处的导数不存在.
3）设pn
an
2
an
qn
anan
2
n1,2,，则下列命题正确的是[]
（A）若
an
1
条件收敛，则
pn
与
qn
1
都收敛.
（B）若
an
1
绝对收敛，则
pn
与
qn
1
都收敛.
（C）若
an
1
条件收敛，则
pn
与
qn
1
敛散性都不定.
（D）若
an
1
绝对收敛，则
pn
与
qn
1
敛散性都不定.
Ab
（4）设三阶矩阵
（A）a=b或a+2b=0.（B）a=b（C）ab且a+2b=0.（D）a
5）设
a，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有[]或a+2b0.
b且a+2b0.
kss0，则
（A）若对于任意一组不全为零的数
k1,k2,,ks，都有k11k22
1,2,,s线性无关.
（B）若1,2,,s线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1,k2,,ks，都有k11k22kss0.
（C）2,,s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.
（D）1,2,,s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.
（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：
A1=｛掷第一次出现正面｝，A2=｛掷第二次出现
正面｝，A3=｛正、反面各出现一次｝，A4=｛正面出现两次｝，则事件[]
（A）A1,A2,A3相互独立.（B）A2,A3,A4相互独立.
（C）A1,A2,A3两两独立.（D）A2,A3,A4两两独立.
三、（本题满分8分）
f（x）设：
1
sinx
1,x[1,1）.
（1x）2
试补充定义
f
（1）
使得f（x）
在［2,1］上连续.
四、（本题满分8分）
设f（u,v）
具有二阶连续偏导数，且满足
u2
v2
122
1，又g（x,y）f[xy,21（x2y2）]
2
g
2
求x2
2
g.
2.
y
五、（本题满分计算二重积分Ie（x2y2
D
8分）
）22
）sin（x2y2）dxdy.
其中积分区域D={（x,y）x六、（本题满分
9分）
22
2y2
}.
1求幂级数n
2n
1
（1）nx2n（x
1）
的和函数
f（x）
及其极值.
七、（本题满分
9分）
设F（x）=f（x）g（x）,
其中函数f（x）,g（x）在（
）内满足以下条件：
x
f（x）g（x），g（x）f（x），且f（0）=0,f（x）g（x）2e.求F（x）所满足的一阶微分方程；
求出F（x）的表达式.
八、（本题满分8分）
设函数f（x）在［0，3］上连续，在（0，3）内可导，且f（0）+f
（1）+f
（2）=3,f（3）=1.试证必存在（0,3），使f（）0.
九、（本题满分13分）
已知齐次线性方程组
（a1
b）x1
a2x2
a3x3
anxn
0,
a1x1
（a2
b）x2
a3x3
anxn
0,
a1x1
a2x2
（a3
b）x3
anxn
0,
a1x1
a2x2
a3x3
（an
b）xn
0,
ai0.
其中i1试讨论a1,a2,,an和b满足何种关系时，
（1）方程组仅有零解；
（2）方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.十、（本题满分13分）
T222
设二次型f（x1,x2,x3）XAXax12x22x32bx1x3（b0）中二次型的矩阵A的
特征值之和为1，特征值之积为-12.
求a,b的值；
利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、（本题满分13分）设随机变量X的概率密度为
1
若x[1,8],
f（x）330x,2,若x其他[1,;8],
F（x）是X的分布函数.求随机变量Y=F（X）的分布函数.十二、（本题满分13分）设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为
12
X~
0.30.7，
而Y的概率密度为f（y），求随机变量U=X+Y的概率密度g（u）.
参考答案
、填空题（本题共
6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）
f（x）
1）设
1
cos
x
0,
若x
若x
0,
0,
其导函数在x=0处连续，则
的取值范围是
分析】当x0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导
详解】当1时，有
f（x）
11
xcosx
21sin
若x
0,
x
0,
x
若x
0,
显然当
2时，有lxim0f（x）0f（0），即其导函数在x=0处连续.
2）已知曲线y
3222
x3axb与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2
4a6
分析】曲线在切点的斜率为0，即y0，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据
2在切点处纵坐标为零，即可找到b与a的关系.
【详解】由题设，在切点处有
2222
y3x3a0，有x0a.
又在此点y坐标为0，于是有
32
0x03ax0b0,
22222246故bx0（3ax0）a4a4a.
【评注】有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程
f（x）g（x）
3）设a>0，
If（x）g（yx）dxdy2D=a2.
a,若0x1,
分析】本题积分区域为全平面，但只有当
0x1,0yx1时，被积函数才不为零，
0,其他，而D表示全平面，则
因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可
If（x）g（yx）dxdya2dxdy
详解】D=0x1,0yx1
21x121
2
a.
a20dxxdya20[（x1）x]dx
【评注】若被积函数只在某区域内不为零，为零的区域的公共部分上积分即可.
则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不
4）设n维向量
（a,0,
0,a）T
a
0；E为n阶单位矩阵，矩阵
AE
T，B
E1
a
其中A的逆矩阵为B，
则a=
-1
分析】这里
T为n阶矩阵，而
AB（E
T）（E
T）
TT
E
T1a
T
1
a
（T）T
T1
T
T
E
2a
=
a
E（
12a
1a）
T
E
a
12a
1
0
2
于是有
a
即2a2a1
5）设随机变量
X和Y的相关系数为
a1,a1.
0，解得2由于A<0,故a=-1.
0.9,若Z
X0.4，则Y与Z的相关系数为
0.9.【分析】利用相关系数的计算公式即可.【详解】因为cov（Y,Z）cov（Y,X0.4）E[（Y（X0.4）]E（Y）E（X0.4）=E（XY）0.4E（Y）E（Y）E（X）0.4E（Y）
=E（XY）–E（X）E（Y）=cov（X,Y）,
且DZDX.
XY
0.9.
cov（Y,Z）cov（X,Y）于是有cov（Y,Z）=DYDZ=DXDY
评注】注意以下运算公式：
D（Xa）
DX
cov（X,Ya）cov（X,Y）.
6）设总体X服从参数为
的指数分布，
X1,X2,,Xn为来自总体X的简单随机样本，
则当n
1n
Yn
时，ni1
Xi2依概率收敛于2.
X1,X2
,Xn，当方差一
致有界时，
其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值
1n
p1
n
X
i
EXi（n
）.
ni1
n
i1
【详解】
这里
X12,X22,
X
2
n满足大数定律的条件，且
1
12
1
EXi2
DXi
2
（EXi）2=
4
（12）2
2，因此根据大数定律有
分析】
本题考查大数定律：
一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量
nn
1Xi21EXi2
ni1依概率收敛于ni1
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1）设f（x）为不恒等于零的奇函数，且
f（0）存在，则函数
g（x）
f（x）
x
（A）在x=0处左极限不存在.（B）有跳跃间断点x=0.
（C）在x=0处右极限不存在.（D）有可去间断点x=0.[D]
【分析】由题设，可推出f（0）=0,再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可.【详解】显然x=0为g（x）的间断点，且由f（x）为不恒等于零的奇函数知，f（0）=0.
于是有
lxim0g（x）
limf（x）
x0x
limf（x）
x0
f（0）
0
f（0）
存在，故x=0为可去间断点
【评注1】本题也可用反例排除，例如f（x）=x,
则此时g（x）=
x1,x
x0,x
0,
0,可排除（A）,（B）,（C）
三项，故应选（D）.
lim
f（x）
A
f（x0）
0,f（x0）A.
【评注2】若f（x）在xx0处连续，则xx0
xx0
（2）设可微函数f（x,y）在点（x0,y0）取得极小值，则下列结论正确的是
（A）f（x0,y）在yy0处的导数等于零.（B）f（x0,y）在yy0处的导数大于零
（C）f（x0,y）在yy0处的导数小于零.（D）f（x0,y）在yy0处的导数不存在.[A]
【分析】可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.
详解】可微函数f（x,y）在点（x0,y0）取得极小值，根据取极值的必要条件知
fy（x0,y0）0，即f（x0,y）在yy0处的导数等于零,故应选（A）.
评注1】本题考查了偏导数的定义，
f（x0,y）在yy0处的导数即fy（x0,y0）；而f（x,y0）
在xx0处的导数即fx（x0,y0）.
【评注2】本题也可用排除法分析，取f（x,y）xy，在（0,0）处可微且取得极小值，
2
并且有f（0,y）y，可排除（B）,（C）,（D）,故正确选项为（A）.
3）设pn
an
2
an
qn
anan
2
n1,2,，则下列命题正确的是
（A）若
an
1
条件收敛，则
pn
与
qn
1
都收敛.
（B）若
an
1
绝对收敛，则
pn
与
qn
1
都收敛.
（C）若
an
1
条件收敛，则
pn
与
qn
1
敛散性都不定.
（D）若
an
1
绝对收敛，则
pn
与
qn
1
敛散性都不定.[B]
分析】
根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案
若n1绝对收敛，即n1收敛，
an
收敛，再根据
anan
an
an
pn
qn
pnqn
2
2
及收敛级数的运算性质知，
n1与n1都收敛，故应选
（B）.
a
b
b
A
b
a
b
（4）
设三阶矩阵
b
b
a，若A的伴随矩阵的秩为
1，则必有
详解】
当然也有级数
n1
（A）a=b或a+2b=0.（B）a=b或a+2b0.
（C）ab且a+2b=0.（D）ab且a+2b0.[C]
分析】A的伴随矩阵的秩为
1,说明A的秩为2，由此可确定a,b应满足的条件
详解】根据A与其伴随矩阵
A*秩之间的关系知，秩（A）=2，故有
abb
2
bab（a2b）（ab）2bba
0
，即有a2b0或a=b.
但当a=b时，显然秩（A）
2,故必有ab且a+2b=0.应选（C）.
评注】n（n2）阶矩阵A与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系：
n,r（A）n,r（A*）1,r（A）n1,
0,r（A）n1.
12
s线性无关.
（B）
若1
s线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1,k2,,ks，都有
k1
1k2
kss0.
（C）
12
s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.
（D）
12
s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关
.[B]
【分析】本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、形式.应注意是寻找不正确的命题.
线性无关的等价表现
详解】（A）:
若
对于任
意一组不全为零的数
k1,k2,,ks,都有
k11k22
ks
s0，则
1,2,,s必线性无关，因为若
1,2,,s线性相关，
则存在一组不全为零的数
k1,k2,
ks,使得k11k22
kss0，矛盾.可见（A）
（B）:
若
成立.
2,,s线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数k1,k2,,ks，
都有k1
kss
0.（B）不成立.
（C）1
s线性无关,则此向量组的秩为s；反过来，若向量组
1,2,,s的秩为s，
则1
s线性无关，因此（C）成立.
（D）1
s线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可
见（D）也成立.综上所述，应选（B）.【评注】原命题与其逆否命题是等价的
.例如，原命题：
若存在一组不全为零的数
k1,k2,,ks，使得k11k22
kss0成立，则1,2,,s线性相关.其逆否命
题为：
若对于任意一组不全为零的数
k1,k2
ks，都有k11k22
kss0，则
应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价
性.
6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：
A1=｛掷第一次出现正面｝，A2=｛掷第二次出现
正面｝，A3=｛正、反面各出现一次｝，A4=｛正面出现两次｝，则事件
（A）A1,A2,A3相互独立.（B）A2,A3,A4相互独立.
（C）A1,A2,A3两两独立.（D）A2,A3,A4两两独立.[C]【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验是否相互独立.
【详解】因为
P（A1）
1
2，
P（A2）
P（A3）
1
P（A4）
2，
1
4，
且P（A1A2）
11
1P（A1A3）14，4，
P（A2A3）
P（AA）1
P（A2A4）4P（A1A2A3）0，
可见有
P（A1A2）P（A1）P（A2），P（A1A3）
P（A1）P（A3），P（A2A3）P（A2）P（A3），
P（A1A2A3）P（A1）P（A2）P（A3），
P（A2A4）P（A2）P（A4）
故A1,A2,A3两两独立但不相互独立；
A2,A3,A4不两两独立更不相互独立，应选（C）.
【评注】本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立
三、（本题满分8分）设
f（x）1
x
1
sinx
11
（11x）,x[21,1）.
试补充定义
f
（1）使得f（x）在[21,1]上连续.
分析】只需求出极限
详解】因为
lim
x1
f（x）lxim1[1x
sin1x（11x）]
1lim
x1
（1x）sinx
（1x）sinx
1lim
x1
cosx
sinx（1x）cosx
1lim
x1
2
sinx
2
cosxcosx（1x）sinx
xlim1f（x），然后定义f
（1）为此极限值即可.
［,1）
由于f（x）在2上连续，因此定义
1
f
（1）
.在计
使f（x）在［12,1］上连续.
评注】本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念
的极限，可以适当简化
算过程中，也可先作变量代换y=1-x，转化为求y
四、（本题满分8分）
设f（u,v）
具有二阶连续偏导数，且满足
u2
v2
，又g（x,y）
f[xy,21（x2
y2）]
2
g.
2.
y
2
g
2
求x2
分析】
本题是典型的复合函数求偏导问题：
f（u,v），
uxy,v
12
12（x2
y2），直接
利用复合函数求偏导公式即可，注意利用
uv
vu
g详解】x
yu
x
v，
gx
y
yv.
2
2g
故x2
2y2u
2xy
uv
22f
x2
v
v，
2
g
2
y
2
2xy
v
f22fy2uv
所以
2
2g
2
x
2
2g
2
y
（x2
y2）u2f2
u
（x2
2
y.
【评注】本题考查半抽象复合函数求二阶偏导
五、（本题满分8分）
计算二重积分
Ie（xy）sin（x2y2）dxdy.
D
其中积分区域
D={（x,y）x2
}.
分析】从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算
详解】作极坐标变换：
xrcos,yrsin，有
Ie
（e
D
xy）sin（x2y2）dxdy
2e
d
rersinr2dr.
=0
0
令tr
2
，则
Ie
e
0
tsintdt
A
e
tsintdt
记
0
，则
A
te0
intdet
[et
sint
etcostdt]
00
costdet
0
[etcost
00etsintdt]
=e1A.
1
A（1e）
因此2，
e
I（1e）（1e）.
22【评注】本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点.
六、（本题满分9分）
2n
nx
1
（1）n（x1）
求幂级数n12n的和函数f（x）及其极值.
【分析】先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当后，再按通常方法求极值.
【详解】
x=0时和为1.求出和函数
n2n1
f（x）
（1）x
x
2.
x
上式两边从0到x积分，xt01t
f（x）f（0）
2dt
1ln（1x2）.
2
由f（0）=1,
f（x）1
得
12ln（1
x2）,（x
1）.
令f（x）
0，求得唯一驻点
x=0.由于
n1
f（x）
1x2,
22,（1x2）2
f（0）
可见f（x）在x=0处取得极大值，且极大值为f（0）=1.
【评注】求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.
七、（本题满分9分）设F（x）=f
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