浙江版八年级数学下册第5章特殊平行四边形52菱形1有答案.docx

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浙江版八年级数学下册第5章特殊平行四边形52菱形1有答案

浙江版八年级数学下册第5章特殊平行四边形

5.2菱形

第1课时菱形

（1）

【知识清单】

1、菱形的定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；

2、菱形的性质：

（1）菱形的四条边都相等；

（2）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平方一组对角.

【经典例题】

例题1、如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．

（1）求证：

BD=EC；

（2）若∠E=65°，求∠BAO的度数．

【考点】菱形的性质；平行四边形的判定与性质．

【分析】

（1）根据菱形的四条边都相等，且对边平行等可得AB=CD，AB∥CD，再求出四边形BECD是平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证明即可；

例题1图

（2）根据两直线平行，同位角相等可得∠ABO=∠E，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据直角三角形两锐角互余解答．

【解答】

（1）证明：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=CD，AB∥CD，

又∵BE=AB，

∴BE=CD，BE∥CD，

∴四边形BECD 是平行四边形，

∴BD=EC；

（2）∵平行四边形BECD，

∴BD∥CE，

∴∠AOB=∠ACE，

又∵菱形ABCD，

∴AC丄BD，

∴∠AOB=90°，

∴∠ACE=90°.

∴∠BAO=90°

∠E=40°．

【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．

例题2、如图，在菱形ABCD中，AD=6，菱形ABCD的面积为24，P是对角线AC上的任意点，PE⊥AD于点E，则PE+PD的最小值为.

【考点】菱形的性质.

例题2图

【分析】找出D点关于AC的对称点B，过点B作EB⊥AD交AD于E，连接PD，此时PE+PD最小，且BE就是PE+PD的最小值，求出BE的值即可．

【解答】过点B作EB⊥AD交AD于E，连接PD，

∵四边形ABCD是菱形，

∴线段AC、BD互相垂直平分，

∴B、D关于AC对称，则PD=PB，

例题2图

∴PE+PD=PE+BP=BE，

即BE就是PE+PD的最小值．

∵AD=6，菱形ABCD的面积为24，

∴AD·BE=24，

∵BE=4，

∴PE+PD的最小值4．

【点评】本题主要考查轴对称、最短路线问题、菱形的性质、轴对称的性质等知识点，确定点P的位置是解答本题的关键．

【夯实基础】

1、平行四边形、矩形、菱形关于性质有如下结论：

①对边相等；②四条边都相等；③对角线互相平分；④对角相等；⑤四个角都是直角.其中平行四边形、矩形、菱形共同具有的性质的个数为（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

2、菱形的两条对角线分别是12和16，则此菱形高的长度是（）

A．2.4B．4.8C．9.6D．19.2

3、菱形的边长是4cm，有一个内角为60°，则较长的一条对角线的长为（　）

A．

cmB．

cmC．

cmD．8cm

4、如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连结DF，则∠CDF等于（）

A．80°B．75°C．70°D．65°

第4题图

第6题图

5、若菱形的周长为24cm，高是3cm，则菱形的各内角的度数分别是________．

6、菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC=6，BD=8，P为BD上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F，则PE+PF=.

7、如图，在△ABC中，DB＝FC，四边形ADEF是菱形，求证：

点E为BC的中点.

第7题图

8、如图，已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，若∠AEB=∠CFD.

（1）求证：

四边形AECF是平行四边形； 

（2）若BC=16，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长.

第8题图

【提优特训】

9、如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（　）

第10题图

A．75°B．60°C．45°D．30°

第9题图

第11题图

10、如图，如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BC、DC上的点，若AE=EF=FA=AB，则∠C的度数为（）.

A．80°B．100°C．120°D．160°

11、如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，若S菱形ABCD=24，且AE=6，则菱形的周长为（　）

A．32B．24C．16D．12

12、如图，已知矩形ABCD，E、F、P、Q分别为AB、BC、CD、DA的中点，若AB=6，BC=8，则图中阴影部分的面积为.

第14题图

第13题图

第12题图

13、如图，已知菱形ABCD的边长为

cm，∠B:

∠BAD=1:

3，则∠EAC度数为__22.5°_______，菱形ABCD的面积为________cm2．

14、如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE分别交AC、AD于E、F，点G为BC上的点，若四边形AFGE是菱形，有下列结：

①BA⊥CA=90°；②BG=CG；③∠EGF=∠ABC；④AB=GB；⑤（AC+AE）（AC

AE）=GC2.其中正确的是（填序号）.

第15题图

15、如图，在菱形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，若BE=DF，连接CE交BD于G，连接CF交BD于H，连接EH、FG.求证：

EH=FG.

第16题图

16、如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F.

（1）求证:

AM=DM；

（2）若DF=a，求菱形ABCD的周长.

17、如图，在周长为20cm的菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点B作

第17题图

BE∥AC交DC的延长线于点E，若AC=6cm.

（1）求△BDE的周长；

（2）求四边形ACEB的面积．

第18题图

18、如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，M为对角线BD延长线上一点，连结AM和CM，E为AM上一点，且满足AB＝AE，连结BE，交AD于点F.

（1）若∠AMB＝30°，求∠EBM的度数；

（2）证明：

CM＝AF＋AB.

【中考链接】

19、（2018•十堰）菱形不具备的性质是（　　）

A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形

20、（2018•淮安）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　　）

A．20B．24C．40D．48　

第21题图

第20题图

21、（2018•孝感）7．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=10，BD=24，则菱形ABCD的周长为（　　）

A．52B．48C．40D．20

22、（2018•广东）10．（3分）如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（　　）

第22题图

第24题图

23、（2018•广州）如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（

2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是．

第23题图

第21题图

24、（2018•随州）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，∠AOC=60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，则点B的对应点B′的坐标为　　．

25、（2018•广东）19．（6分）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD=75°，

（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）

第25题图

（2）在

（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．

26、（2018•柳州）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=2．

第26题图

（1）求菱形ABCD的周长；

（2）若AC=2，求BD的长．

参考答案

1、B2、C3、C4、B5、30°、150°、30°、150°6、4.89、B10、B

11、C12、2413、

14、①③④⑤19、B20、A21、A22、B

23、（

5，4）24、（

）

7、解：

∵四边形ADEF是菱形，

∴DE＝FE，AB∥EF，AC∥DE.

第7题图

∴∠A＝∠BDE，∠A＝∠CFE.

∴∠BDE＝∠CFE.

在△DBE和△FCE中，

∴△DBE≌△FCE（SAS）.

∴BE＝CE.

∴点E为BC的中点.

8、解：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形， 

∴AD∥BC，

第8题图

∴∠CFD=∠FCB.

∵∠AEB=∠CFD， 

∴∠AEB=∠FCB.

∴AE∥FC，

∴四边形AECF是平行四边形.

（2）∵四边形AECF是菱形

∴AE=EC，

∴∠2=∠3.

∵∠BAC=90°，

∴∠3=90°

∠B，∠2=90°

∠1， 

∴∠B=∠1， 

∴AE=BE，

∴BE=AE=CE=

BC=8.

15、证明：

∵四边形ABCD是菱形，

∴BC=DC，∠ABC=∠ADC

在△BCE和△DCF中，

∵

，

第15题图

∴△BCE≌△DCF（SAS），

∴EC=FC，∠ECB=∠FCD.

∵BC=DC，

∴∠CBG=∠CDH.

在△BCG和△DCH中，

∵

，

∴△BCG≌△DCH（ASA），

∴GC=HC.

在△ECH和△FCG中，

∵

，

∴△ECH≌△FCG（SAS），

∴EH=FG.

第16题图

16、解：

（1）∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线， 

∴AD=AB，∠DAC=∠BAC，

∵AC⊥EF，

∴∠AHM=∠AHE=90°

在△AMH和△AEH中，

∵

，

∴△AMH≌△AEH（ASA），

∴AM=AE，

∴∠AMH=∠AEH，

即∠AME=∠AEM.

∵点E为AB的中点，

∴点M为AD的中点.

∴AM=DM；

（2）由

（1）得△AMH≌△AEH（SAS），

∴AM=AE，

∴∠AMH=∠AEH.

∵AB∥DC，

∴∠AEM=∠F，

∴∠F=∠AME，

∵∠AME=∠DMF，

∴∠F=∠DMF，

∴FD=DM=a

∴AD=2DM=2a.

∴菱形ABCD的周长为8a.

第17题图

17、解：

（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AD=BC=AB=DC=5，

∵AC=6，

∴AO=

AC=3cm，

∴DO＝

，

∴BD=2DO=2×4=8.

∵BE∥AC，AB∥CE，

∴四边形ACEB是平行四边形，

∴BE=AC=6，CE=AD=5，

∴△BDE的周长是：

BD＋DE＋BE=8＋10＋6＝24（cm），

即△BDE的周长是24cm.

（2）∵四边形ABCD是菱形，

∴S△ADC=S△ACB.

∵四边形ACEB是平行四边形，

∴S△ACB=S△ECB.

∴S菱形ABCD=S□ACEB.

∴S□ACEB=S菱形ABCD=

AC·BD=24cm2.

18、解：

（1）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，

∴∠BAD=∠BCD=60°，△ABD，△BCD的是等边三角形，

∴∠ADB=60°，BA=BC，

∵∠AMB=30°，∠ADB=∠AMB＋∠5，

∴∠5=∠DMA=30°，

∴∠BAM=90°，

∵AB=AE，

∴∠ABE=∠AEB=45°.

∵∠AEB=∠2+∠AMB，

∴∠2=∠AEB

∠AMB=45°

30°=15°.

即∠EBM=15°.

第18题图

（2）在BD上取一点G，使得BG＝DF，连结AG交BE于P.

在△ABG和△BDF中，

∵

∴△ABG≌△BDF（SAS），

∴AM=AE，

∴∠1＝∠2，∠AGB＝∠BFD，

∴∠AGM＝∠BFA，

∵∠CPF＝∠ABP＋∠1＝∠ABP＋∠2＝60°.

在△APE中，∠APE＋∠AEP＋∠PAE＝180°，

在△ABF中，∠ABF＋∠BFA＋∠BAF＝180°，

∵AB＝AE，

∴∠ABE＝∠AEB，

∵∠BAF＝∠APE＝60°，

∴∠PAE＝∠BFA＝∠AGM，

∴MA＝MG，

由

（1）可知△BMA≌△BMC，

∴AM＝MC＝MG，

∵MG＝DG＋DM，

∵BD＝AD，BG＝DF，

∴DG＝AF，

∴CM＝AF＋AB

25、（2018•广东）【分析】

（1）分别以A、B为圆心，大于

AB长为半径画弧，

过两弧的交点作直线即可；

第25题图

（2）根据∠DBF=∠ABD﹣∠ABF计算即可；

【解答】解：

（1）如图所示，直线EF即为所求；

（2）∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ABD=∠DBC=

∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C．

∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°，

∴∠C=∠A=30°，

∵EF垂直平分线线段AB，

∴AF=FB，

∴∠A=∠FBA=30°，

∴∠DBF=∠ABD

∠FBE=45°．

【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．

26、（2018•柳州）【分析】

（1）由菱形的四边相等即可求出其周长；

（2）利用勾股定理可求出BO的长，进而解答即可．

第26题图

【解答】解：

（1）∵四边形ABCD是菱形，AB=2，

∴菱形ABCD的周长=2×4=8；

（2）∵四边形ABCD是菱形，AC=2，AB=2

∴AC⊥BD，AO=1，

∴BO=

，

∴BD=2

.

【点评】本题主要考查菱形的性质，能够利用勾股定理求出BO的长是解题关键．