新大学生建模报告汇总席位分配.docx
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新大学生建模报告汇总席位分配
建模报告
－－－－论文作者：
雷杨，吴开强，李欧洲
时间：
2006，5，7
席位分配
---------伯努利实验解决方案
摘要：
本文围绕席位分配这一问题采用了伯努利实验，采用了比较新型的方法和细致的算法分析，对分配过程中出现的种种情况都一一进行了分析，并依此与其它的现有方法比较。
我们认为该分配方案较简便且比较优越，很大程度上符合公平化原则
关键词：
伯努利实验公平化原则时间复杂度最大成功次数
一问题重述：
某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系40名。
若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配方法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三系分别应占有10，6，4个席位。
现在丙系有6名学生转入甲乙两系，各系人数如表第二列所示。
仍按比例分配时出现了小数，在将取得整数的19席分配完毕后，三系同意剩下的1席参照所谓惯例分配给比例中小数最大的丙系，于是三系仍分别占有10，6，4席。
因为有20个席位的代表会议在表决提案时可能出现10：
10的局面，会议决定下一届增加1席。
他们按照上述方法重新分配席位，计算结果见表。
显然这个结果对丙系太不公平了，因为总席位增加1席，而丙系却由4席减为3席
20个席位分配
21个席位分配
系别
学生人数
学生人数的比例
比例分配的席位
参照惯例的结果
比例分配的席位
参照惯例的结果
甲
103
51.5
10.3
10
10.815
11
乙
63
31.5
6.3
6
6.615
7
丙
34
17.0
3.4
4
3.570
3
总合
200
100.0
20.0
20
21.00
21
理想化原则：
设第i方人数为p,i=1,2,…,m,总人数P＝，待分配的席位为N，
记q＝Np/P
原则一，i=1，2，，m,即必须取，二者之一。
原则二，i=1，2，，m,即总席位增加时不应减少。
二模型假设
我们把甲乙丙三系分配席位的这个事件看为要从有20个红签180个白签（一共200=人数总和）的盒子里抽红签，对比抽得红签个数的概率大小来求得分配的名额。
三模型的建立与求解
解决方案
公式i=1,2，…,s（抽得红签个的概率）
是分配名额
是总人数
是第i组的人数
k是红签的个数
s是小组的个数
是每人被抽到的概率
由于抽签的伯努利原理，二项分布的极值点在[],其中[]为向下取整函数，抽红签的个数实际上就是最大的成功次数，所以我们的分配方案取值从k=[]（k为整数时取为k-1）开始，首次计算出各个小组的k值，得出第一次要分配的人数为T=，则剩下的人为,,
我们会得出以下情况：
1.若T2.若T=m则第一次分配恰好满足。
3.若T=m+1则对中最小的减1，也分配完毕。
定理证明：
已知T=k=[]（当不为整数时），k=[]–1（为整数时），
证明1.先证不等式右边
i=1,2,3……s
因k（m）=[]是关于m的单增函数且
则k（m）k（）=
k（m）==
由于0<<1,所以得出
k（m）=,同理可得
k（m）=,……k（m）=
==m+1
则T
2再对不等式左边证明：
我们知道对一个数a>0,（a为有理数）
a=[a]+（a）,0<（a）<1其中[a]表示a的整数部分，（a）表示a的小数部分.
则由此出发
由于k（m）=
=
>
=>m-s（0<<1）
又因为
是整数，且值大于m-s所以最后的取值T，不等式左边也得证
●当为整数时，k=[]-1，
不等式右边k（m）不等式左边
由于k（m）=-1
=
>
=>m-s（0<<1）
又因为
是整数，且值大于m-s所以最后的取值T，不等式左边仍成立
定理证明完毕
对分配方案的解释
1.第一次分配
我们分配名额时，让三个小组进行抽签，一共有总人数个签，其中有名额个红签，每组抽到几个红签就分配几个名额，然而这个方案肯定有人反对，因为有可能有的组一个也抽不到，所以我们给他们最有可能抽到的红签个数的名额。
这个过程是伯努利实验，伯努利实验是服从二项分布的。
这样大家心理都比较平衡。
2.第二次分配
由于第一次抽签有可能剩余，则原来各个小组被分到的人数就有可能加1，或保持不变。
我们就比较多一个名额的概率的大小，因为，假设都加1的情况下，概率大的表示被抽到的机会大，就该分配给这组。
所以第二次分配按概率大小，人数依次加上1，直到分配完毕。
分配中的特殊情况：
k=[]为整数时，在k和k-1同时达到最大，这时应取k-1，因为成功的最可能次数最先是在k-1次达到的。
四模型的评价与算法分析
1.对于Q值方法，算法执行时间主要耗费在对S个小组分别分配完1个之后，用Q值公式分配余下的M-S个人，时间复杂度为O（（M-S）S）。
2.伯努利方法，算法执行时间主要耗费在用取整函数对S个小组分配，基于最坏情况考虑，只分配M-S+1个人之后，剩余S-1个人，用求出各小组各分配一人的概率，将S-1个人分别分配给概率前S-1个最大的小组，用简单排序算法比较概率大小，最坏时间复杂度为O（S*S）
3.d’Hondt方法，算法执行时间主要耗费在基于最坏情况考虑，除数N取到M，则计算得商数表，语句频度为S*M，比较商数大小，由于只需S*M个中的前M个，考虑用堆排序方法，最坏
时间复杂度为O（S*M㏒（S*M））
基于公平性原则的评价
1原则一在）且T或当不是整数，而是整数且T其他情况全部满足。
原理证明较繁，见附页
2原则二由分配过程知及分配函数随m的单增性，一定满足。
五应用例子
执行步骤及结果显示
组别
红签数=8
甲组113
乙组64
丙组50
丁组23
K=1
0.0946822
0.263923
0.325097
0.359862
K=2
0.175279
0.274829
0.263301
0.130859
K=3
0.214391
0.187762
0.139267
0.0302814
K=4
0.194901
0.0946569
0.0540954
0.00500519
K=5
0.140458
0.0375498
0.0164522
0.000628751
结果
3
2
2
1
红签数=21
K=1
0.280355
K=2
0.128138
0.282803
K=3
0.18801
0.181537
K=4
0.163635
0.202583
0.0832376
K=5
0.18007
0.170913
0.029006
K=6
0.162378
0.0079798
K=7
0.104158
0.123379
K=8
0.126558
0.0806136
K=9
0.135401
K=10
0.129133
K=11
0.110883
结果
9
5
4
2+1=3
红签数=24
K=1
0.23972
K=2
0.0888716
0.280027
K=3
0.151003
0.208162
K=4
0.126538
0.18842
0.110528
K=5
0.161252
0.184085
K=6
0.168387
0.146616
K=7
0.148164
K=8
0.112106
K=9
0.114271
0.0740761
K=10
0.126204
K=11
0.125493
K=12
0.113277
结果
10
6
4+1=5
2+1=3
n=250,n1=113,n2=64,n3=50,n4=23
总人数=250
Bernoulli法
Q值
甲
10
11
总分配名额24人
乙
6
6
丙
5
5
丁
3
2
Bernoulli法
Q值
总分配名额21人
甲
9
10
乙
5
5
丙
4
4
丁
3
2
Bernoulli法
Q值
总分配名额8人
甲
3
3
乙
2
2
丙
2
2
丁
1
1
另一种解法：
我们回想Bernoulli实验是有放回的，而如果我们做无
放回的抽签实验，我们就只用依次计算出最可能成功次数，
一次分配完毕，这就是超几何分布。
f（k）=
分配方案：
我们把甲乙丙三系分配席位的这个事件看为要从有20个红签180个白签（一共200=人数总和）的盒子里抽红签，对比抽得红签个数的概率大小来求得分配的名额。
先计算出第一组的最可能成功次数k，然后从总人数n中减去第一组人数，从总的红签数m中减去第一组的最可能成功次数，下来再计算第二组的最可能成功次数，依此类推，到最后一组时因为是无放回的因为把所有的签都要抽完，所以剩几个红签分配几个名额。
因此我们不必担心名额分配完后，有可能大于或小于实际名额数。
分配方法：
计算出最可能成功次数
k（m）=
证明过程如伯努利的最大成功次数，在此略去
由于超几何分配的不放回性，k（m）>k（m-1）,很容易证明，k（m）最多比k（m-1）大1，则对若k（m）=k（m-1）+1，则对m的时候他们的剩下和m-1一样，则分配结果也一样。
否则k（m）=k（m-1）,，剩下的则要判断下一个，分配过程如上面的分析过程。
同样对m-k来说，按照这种规定的同样进行，则分配的结果一样最可得出每组的名额随m的增大不减。
所以符合原则二。
原则一的合理性有待证明。
例子检验
红签数=21
甲组113
乙组64
丙组50
丁组23
K=1
K=2
1
K=3
0.203909
K=4
0.153647
0.342277
K=5
0.223486
0.286268
K=6
0.229602
K=7
0.16786
K=8
0.145809
K=9
0.176915
K=10
0.175231
K=11
0.142116
结果
9
6
4
2
总人数=250
Bernoulli法
Q值
超几何分布
甲131
10
11
11
应分配人是24
乙64
6
6
6
丙50
5
5
5
丁23
3
2
2
总人数=250
Bernoulli法
Q值
超几何分布
应分配人是21
甲
9
10
9
乙
5
5
6（64.*21/250＝5.376）
丙
4
4
4
丁
3
2
2
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