算法设计与分析 全套课件.ppt

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中国计算机学会21世纪大学本科计算机专业系列教材算法设计与分析,王晓东编著,巢湖学院计算机科学与技术系,主要内容介绍,第1章、算法引论第2章、递归与分治策略第3章、动态规划第4章、贪心算法第5章、回溯法第6章、分支限界法第7章、概率算法第8章、NP完全性理论第9章、近似算法第10章、算法优化策略,巢湖学院计算机科学与技术系,第1章算法引论,1.1算法与程序1.2表达算法的抽象机制1.3描述算法1.4算法复杂性分析,本章主要知识点：

巢湖学院计算机科学与技术系,1.1、算法与程序,算法：

是指解决问题的一种方法或一个过程，在计算机领域是指满足下述性质的指令序列。

（1）输入：

有外部提供的量作为算法的输入。

（2）输出：

算法产生至少一个量作为输出。

（3）确定性：

组成算法的每条指令是清晰，无歧义的。

（4）有限性：

算法中每条指令的执行次数是有限的，执行每条指令的时间也是有限的。

巢湖学院计算机科学与技术系,1.1、算法与程序,程序：

是算法用某种程序设计语言的具体实现。

程序可以不满足算法的性质（4）。

例如操作系统，是一个在无限循环中执行的程序，因而不是一个算法。

操作系统的各种任务可看成是单独的问题，每一个问题由操作系统中的一个子程序通过特定的算法来实现。

该子程序得到输出结果后便终止。

巢湖学院计算机科学与技术系,问题求解（ProblemSolving）,理解问题,精确解或近似解选择数据结构算法设计策略,设计算法,巢湖学院计算机科学与技术系,1.从机器语言到高级语言的抽象,1.2、表达算法的抽象机制,高级程序设计语言的主要好处是：

（4）把繁杂琐碎的事务交给编译程序，所以自动化程度高，开发周期短，程序员可以集中时间和精力从事更重要的创造性劳动，提高程序质量。

（1）高级语言更接近算法语言，易学、易掌握，一般工程技术人员只需要几周时间的培训就可以胜任程序员的工作；,

（2）高级语言为程序员提供了结构化程序设计的环境和工具，使得设计出来的程序可读性好，可维护性强，可靠性高；,（3）高级语言不依赖于机器语言，与具体的计算机硬件关系不大，因而所写出来的程序可植性好、重用率高；,巢湖学院计算机科学与技术系,2.抽象数据类型,1.2、表达算法的抽象机制,抽象数据类型是算法的一个数据模型连同定义在该模型上，并作为算法构件的一组运算。

抽象数据类型带给算法设计的好处有：

（1）算法顶层设计与底层实现分离；

（2）算法设计与数据结构设计隔开，允许数据结构自由选择；（3）数据模型和该模型上的运算统一在ADT中，便于空间和时间耗费的折衷；（4）用抽象数据类型表述的算法具有很好的可维护性；（5）算法自然呈现模块化；（6）为自顶向下逐步求精和模块化提供有效途径和工具；（7）算法结构清晰，层次分明，便于算法正确性的证明和复杂性的分析。

巢湖学院计算机科学与技术系,1.3、算法复杂性分析,算法复杂性是算法运行所需要的计算机资源的量，需要时间资源的量称为时间复杂性T（N），需要的空间资源的量称为空间复杂性S（N）。

这个量应该只依赖于算法要解的问题的规模、算法的输入和算法本身的函数。

如果分别用N、I和A表示算法要解问题的规模、算法的输入和算法本身，而且用C表示复杂性，那么，应该有C=F（N,I,A）。

一般把时间复杂性和空间复杂性分开，分别用T和S来表示则有：

T=T（N,I）和S=S（N,I）。

（通常，让A隐含在复杂性函数名当中）,巢湖学院计算机科学与技术系,1.3、算法复杂性分析,最坏情况下的时间复杂性：

最好情况下的时间复杂性：

平均情况下的时间复杂性：

其中DN是规模为N的合法输入的集合；I*是DN中使T（N,I*）达到Tmax（N）的合法输入；是中使T（N,）达到Tmin（N）的合法输入；而P（I）是在算法的应用中出现输入I的概率。

巢湖学院计算机科学与技术系,1.3、算法复杂性分析,算法复杂性在渐近意义下的阶：

渐近意义下的记号：

O、o设f（N）和g（N）是定义在正数集上的正函数。

（1）渐近上界O的定义：

如果存在正的常数C和自然数N0，使得当NN0时有f（N）Cg（N），则称函数f（N）当N充分大时上有界，且g（N）是它的一个上界，记为f（N）=O（g（N）。

即f（N）的阶不高于g（N）的阶。

根据O的定义，容易证明它有如下运算规则：

（1）O（f）+O（g）=O（max（f,g）；

（2）O（f）+O（g）=O（f+g）；（3）O（f）O（g）=O（f*g）；（4）如果g（N）=O（f（N），则O（f）+O（g）=O（f）；（5）O（Cf（N）=O（f（N），其中C是一个正的常数；（6）f=O（f）。

巢湖学院计算机科学与技术系,1.3、算法复杂性分析,

（2）渐近下界的定义：

如果存在正的常数C和自然数N0，使得当NN0时有f（N）Cg（N），则称函数f（N）当N充分大时下有界，且g（N）是它的一个下界，记为f（N）=（g（N）。

即f（N）的阶不低于g（N）的阶。

（3）同阶的定义：

定义f（N）=（g（N）当且仅当f（N）=O（g（N）且f（N）=（g（N），即（g（n）=f（n）|存在正常数c1,c2和正整数n0使得对所有nn0有：

c1g（n）f（n）c2g（n），此时称f（N）与g（N）同阶。

定理1：

（g（n）=O（g（n）（g（n）,巢湖学院计算机科学与技术系,1.3、算法复杂性分析,（4）低阶o的定义：

对于任意给定的0，都存在正整数N0，使得当NN0时有f（N）/Cg（N）,则称函数f（N）当N充分大时的阶比g（N）低，记为f（N）=o（g（N）。

（有的书称之为非紧上界）例如，4NlogN+7=o（3N2+4NlogN+7）。

（5）非紧下界记号（g（n）=f（n）|对于任何正常数c0，存在正数和n00使得对所有nn0有：

0cg（n）f（n）。

注意：

f（n）（g（n）g（n）o（f（n）,巢湖学院计算机科学与技术系,渐近分析记号在等式和不等式中的意义,f（n）=（g（n）的确切意义是：

f（n）（g（n）。

一般情况下，等式和不等式中的渐近记号（g（n）表示（g（n）中的某个函数。

例如：

2n2+3n+1=2n2+（n）表示2n2+3n+1=2n2+f（n），其中f（n）是（n）中某个函数。

等式和不等式中渐近记号O,o,和的意义是类似的。

巢湖学院计算机科学与技术系,渐近分析中函数比较,f（n）=O（g（n）ab;f（n）=（g（n）ab;f（n）=（g（n）a=b;f（n）=o（g（n）ab;,巢湖学院计算机科学与技术系,渐近分析记号的若干性质,

（1）传递性：

f（n）=（g（n），g（n）=（h（n）f（n）=（h（n）；f（n）=O（g（n），g（n）=O（h（n）f（n）=O（h（n）；f（n）=（g（n），g（n）=（h（n）f（n）=（h（n）；f（n）=o（g（n），g（n）=o（h（n）f（n）=o（h（n）；f（n）=（g（n），g（n）=（h（n）f（n）=（h（n）；

（2）反身性：

f（n）=（f（n）；f（n）=O（f（n）；f（n）=（f（n）.（3）对称性：

f（n）=（g（n）g（n）=（f（n）.（4）互对称性：

f（n）=O（g（n）g（n）=（f（n）；f（n）=o（g（n）g（n）=（f（n）；,巢湖学院计算机科学与技术系,（5）算术运算：

O（f（n）+O（g（n）=O（maxf（n）,g（n）；O（f（n）+O（g（n）=O（f（n）+g（n）；O（f（n）*O（g（n）=O（f（n）*g（n）；O（cf（n）=O（f（n）；g（n）=O（f（n）O（f（n）+O（g（n）=O（f（n）。

渐近分析记号的若干性质,巢湖学院计算机科学与技术系,规则O（f（n）+O（g（n）=O（maxf（n）,g（n）的证明：

对于任意f1（n）O（f（n），存在正常数c1和自然数n1，使得对所有nn1，有f1（n）c1f（n）。

类似地，对于任意g1（n）O（g（n），存在正常数c2和自然数n2，使得对所有nn2，有g1（n）c2g（n）。

令c3=maxc1,c2,n3=maxn1,n2,h（n）=maxf（n）,g（n）。

则对所有的nn3，有f1（n）+g1（n）c1f（n）+c2g（n）c3f（n）+c3g（n）=c3（f（n）+g（n）c32maxf（n）,g（n）=2c3h（n）=O（maxf（n）,g（n）.,渐近分析记号的若干性质,巢湖学院计算机科学与技术系,算法渐近复杂性分析中常用函数,

（1）单调函数单调递增：

mnf（m）f（n）;单调递减：

mnf（m）f（n）;严格单调递增：

mf（n）.

（2）取整函数x：

不大于x的最大整数；x：

不小于x的最小整数；,巢湖学院计算机科学与技术系,取整函数的若干性质,x-1xxxx+1；n/2+n/2=n;对于n0，a,b是大于0的整数，有：

n/a/b=n/ab;n/a/b=n/ab;a/b（a+（b-1）/b;a/b（a-（b-1）/b;f（x）=x,g（x）=x为单调递增函数。

巢湖学院计算机科学与技术系,（3）多项式函数p（n）=a0+a1n+a2n2+adnd；ad0;p（n）=（nd）;f（n）=O（nk）f（n）多项式有界；f（n）=O

（1）f（n）c;kdp（n）=O（nk）;kdp（n）=（nk）;kdp（n）=o（nk）;kdp（n）=（nk）.,算法渐近复杂性分析中常用函数,巢湖学院计算机科学与技术系,算法渐近复杂性分析中常用函数,（4）指数函数对于正整数m,n和实数a0:

a0=1;a1=a;a-1=1/a;（am）n=amn;（am）n=（an）m;aman=am+n;a1an为单调递增函数;a1nb=o（an）,巢湖学院计算机科学与技术系,算法渐近复杂性分析中常用函数,（5）对数函数logn=log2n;lgn=log10n;lnn=logen;logkn=（logn）k;loglogn=log（logn）;fora0,b0,c0,巢湖学院计算机科学与技术系,|x|1forx-1,foranya0,logbn=o（na）,算法渐近复杂性分析中常用函数,（5）对数函数,巢湖学院计算机科学与技术系,算法渐近复杂性分析中常用函数,（6）阶层函数Stirlingsapproximation,巢湖学院计算机科学与技术系,算法分析中常见的复杂性函数,巢湖学院计算机科学与技术系,小规模数据,巢湖学院计算机科学与技术系,中等规模数据,巢湖学院计算机科学与技术系,

（1）选择语句：

（1.1）if语句：

（1.2）？

语句：

if（expression）statement;elsestatement;,exp1?

exp2:

exp3y=x9?

100:

200;等价于：

if（x9）y=100;elsey=200;,用c+描述算法的常用语句,巢湖学院计算机科学与技术系,switch（expression）case1:

statementsequence;break;case2:

statementsequence;break;default:

statementsequence;,（1.3）switch语句：

用c+描述算法的常用语句,巢湖学院计算机科学与技术系,（2.1）for循环：

for（init;condition;inc）statement;（2.2）while循环：

while（condition）statement;（2.3）do-while循环：

dostatement;while（condition）;,用c+描述算法的常用语句,

（2）迭代语句,巢湖学院计算机科学与技术系,（3.1）return语句：

returnexpression;（3.2）goto语句：

gotolabel;label:

用c+描述算法的常用语句,（3）跳转语句：

巢湖学院计算机科学与技术系,算法分析方法举例,例：

顺序搜索算法,templateintseqSearch（Type*a,in