知识点线代5.docx
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知识点线代5
知识点特征值和特征向量的若干结论做题结果
1.下列关于特征值说法正确的是()
A、实方阵的特征值未必是实数,特征向量未必是实向量.
B、实方阵的特征值一定是实数,特征向量未必是实向量.
C、实方阵的特征值未必是实数,特征向量一定是实向量.
D、实方阵的特征值一定是实数,特征向量一定是实向量.
【正确答案】A【答案正确】【答案解析】请参看教材P131
2.矩阵的所有特征值的和与积分别为()
A.-6;14B.6;14C.6;-6D.-6;-6
【正确答案】C【答案正确】
3.下列关于特征值说法正确的是()
A、一个向量P不可能是属于同一个方阵A的不同特征值的特征向量
B、一个向量P可能是属于同一个方阵A的不同特征值的特征向量
C、三角矩阵的特征值可能是它的全体对角元
D、三角矩阵的特征值不是它的全体对角元
【正确答案】A【答案正确】【答案解析】请参看教材P131
知识点特征值和特征向量做题结果
1.λ1,λ2都是n阶矩阵A的特征值,λ1≠λ2,且x1与x2分别是对应于λ1与λ2的特征向量,当_______时,x=k1x1+k2x2必是A的特征向量。
A.k1=0且k2=0 B.k1≠0且k2≠0
C.k1·k2=0 D.k1≠0而k2=0
【正确答案】 D
【答案解析】 A的特征向量不能是零向量,所以k1、k2不同时为零,所以A、C不对;x1、x2是两个不同的方程组的解,两个方程的两个非零向量解之和不再是其中一个方程的解,所以A的特征向量不选B。
选D是因为k2=0,k1≠0,x=k1x1仍然是A的特征向量。
2.设A的特征值为1,-1,向量α是属于1的特征向量,β是属于-1的特征向量,则下列论断正确的是()
A.α和β线性无关 B.α+β是A的特征向量
C.α与β线性相关 D.α与β必正交
【正确答案】 A【答案正确】
【答案解析】 属于不同特征值的特征向量必线性无关,因此选择A。
3.矩阵
的特征值为()
A.1,1 B.2,2 C.1,2 D.0,0
【正确答案】 A【答案正确】
【答案解析】
得到特征值是1,1。
4.下列关于特征值说法正确的是()
A、n阶方阵和它的转置矩阵可能有相同的特征值
B、n阶方阵和它的转置矩阵必有相同的特征值
C、n阶方阵和它的转置矩阵必有不同的特征值
D、n阶方阵和它的转置矩阵可能有不同的特征值
【正确答案】 B
知识点多项式的特征根做题结果
1.已知A的特征根是3,则A2+A+3的特征根=()
A、10B、15C、9D、3
【正确答案】B【答案解析】A2+A+3的特征根=32+3+3=15
2.已知A的特征根是1,则5A2-A+3的特征根=()
A、1B、7C、3D、4
【正确答案】B【答案解析】5A2-A+3的特征根=5-1+3=7
3.已知A的特征根是2,则A3-A-1的特征根=()
A、0B、5C、7D、2
【正确答案】B【答案解析】A3-A-1的特征根=23-2-1=5
知识点求特征值和特征向量做题结果
1.若n阶方阵的特征值为0,1,则下列属于它的转置矩阵的特征值的是()
A、1,2B、0,3C、0,1D、不确定
【正确答案】 C【答案解析】 请参看教材P132
2.
【正确答案】 D
【答案解析】
3.若n阶方阵的特征值为3,则下列属于它的转置矩阵的特征值的是()
A、1B、0C、3D、不确定
【正确答案】 C【答案正确】
【答案解析】
知识点关于求特征值和特征向量的一般方法做题结果
1.已知矩阵
【正确答案】 B
【答案解析】
2.已知矩阵
【正确答案】 B【答案正确】
【答案解析】
3.已知矩阵
【正确答案】 B【答案正确】
【答案解析】
知识点相似矩阵的定义做题结果
1.设A和B是两个n阶方阵,如果存在某个n阶可逆矩阵P,使得B=PTAP,则
A、A与B正交B、A与B相等C、A与B相似D、不确定
【正确答案】 A【答案正确】
【答案解析】 根据相似矩阵的定义我们知,A和B是两个n阶方阵,要求存在某个n阶可逆矩阵P,使B=P-1AP,才能说A~B。
2.设A和B是两个n阶方阵,如果存在某个n阶可逆矩阵P,使得B=P-1AP,则A~B。
下列说法正确的是()
A、那么A、B一定不可逆B、那么A、B一定可逆
C、那么A、B可以不可逆D、那么A、B正交
【正确答案】 C
【答案解析】 设A和B是两个n阶方阵,如果存在某个n阶可逆矩阵P,使得B=P-1AP,则A~B,A、B可以不可逆。
3.设A和B是两个n阶方阵,如果存在某个n阶可逆矩阵P,使得B=P-1AP,则()
A、A与B正交B、A与B相等
C、A与B相似D、不确定
【正确答案】 C
【答案解析】 这就是相似矩阵的定义。
知识点相似矩阵的性质做题结果
1.下列说法中错误的是()
A、相似矩阵必有相同的特征多项式,相同的特征值,相同的迹和相同的行列式。
B、具有相同特征多项式的两个方阵必相似
C、对于方阵A,若有P-1AP=∧,则说对角形矩阵∧是方阵的相似标准形。
D、相似矩阵有
(1)反身性;
(2)对称性;(3)传递性。
【正确答案】 B【答案正确】
【答案解析】 具有相同特征多项式的两个方阵未必相似,比如:
,这两个矩阵有相同的特征多项式,但不相似。
2.下列说法中错误的是()
A、相似矩阵必有相同的特征多项式,因而必有相同的特征值,相同的迹和相同的行列式。
B、对于方阵A,若有P-1AP=∧(对角形矩阵)则说对角形矩阵∧是方阵的相似标准形。
C、具有相同特征多项式的两个方阵必相似
D、相似矩阵有
(1)反身性;
(2)对称性;(3)传递性。
【正确答案】 C【答案正确】
【答案解析】 具有相同特征多项式的两个方阵未必相似,比如:
,这两个矩阵有相同的特征多项式,但不相似。
3.下列说法中错误的是()
A、相似矩阵必有相同的特征多项式,因而必有相同的特征值,相同的迹和相同的行列式。
B、相似矩阵有
(1)反身性;
(2)对称性;(3)传递性。
C、对于方阵A,若有P-1AP=∧(对角形矩阵)则说对角形矩阵∧是方阵的相似标准形。
D、具有相同特征多项式的两个方阵必相似
【正确答案】 D
【答案解析】 具有相同特征多项式的两个方阵未必相似,比如:
,这两个矩阵有相同的特征多项式,但不相似。
知识点方阵与对角阵相似做题结果
1.下列说法中错误的是()
A、设p1和p2分别是n阶方阵A的两个不同的特征值λ1和λ2的特征向量,则p1和p2可能线性相关
B、任意一个没有重特征值的方阵一定相似于对角矩阵
C、对角元两两互异的三角矩阵一定相似于对角矩阵
D、若A中任一k重特征根对应有k个线性无关特征向量,则A一定与对角阵∧相似
【正确答案】 A【答案正确】
【答案解析】 p1和p2必线性无关,不可能相关。
2.下列说法中错误的是()
A、设p1和p2分别是n阶方阵A的两个不同的特征值λ1和λ2的特征向量,则p1和p2必线性无关;
B、没有重特征值的方阵也可能不相似于对角矩阵;
C、对角元两两互异的三角矩阵一定相似于对角矩阵;
D、若A中任一k重特征根对应有k个线性无关特征向量,则A一定与对角阵∧相似。
【正确答案】 B【答案正确】
【答案解析】 任意一个没有重特征值的方阵一定相似于对角矩阵。
3.下列矩阵中必相似于对角阵的有( )
A、实对称阵
B、上三角阵
C、非异阵
D、正交阵
【正确答案】 A【答案正确】
【答案解析】 对称矩阵必正交相似于对角阵,因此选A。
知识点方阵与对角阵相似1做题结果
1.问
【正确答案】 A【答案正确】
【答案解析】
注1在求变换矩阵P时,列向量次序的安排应遵循下列原则:
P的列向量的位置应与特征值的位置一致。
比如A相似的对角阵中,1在第一列,则属于1的特征向量作为P的第一列,2在第二列,则属于2的特征向量放在P的第二列等等。
注2A相似的对角阵主对角线上的元素次序可以不同,这时P也应作相应的变动。
2.与
相似的对角阵∧=
【正确答案】 对【答案正确】
【答案解析】
知识点方阵与对角阵相似2做题结果
1.问
【正确答案】 B【答案正确】
【答案解析】
系数矩阵的秩用初等变换法或行列式法可求出为2,故只有一个基础解向量。
但是1是2重根,因此A不可能相似于一个对角阵。
2.问
【正确答案】 A【答案正确】
【答案解析】
知识点向量的长度做题结果
1.求向量α=(2,0,4)的长度()
A、1
B、3
C、2
D、20
【正确答案】 C
【答案解析】 α的长度就是
2.求向量α=(1,2,1,3)的长度()
A、1
B、
C、15
D、4
【正确答案】 B【答案正确】
【答案解析】 α的长度就是
3.求向量α=(0,1,1,1)的长度()
A、1
B、4
C、3
D、
【正确答案】 D
【答案解析】 α的长度就是
知识点向量的正交与正交向量组做题结果
1.下列说法中错误的有()
A、设α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn),α、β正交当且仅当
B、正交矩阵的转置矩阵是正交矩阵;两个同阶的正交矩阵的乘积一定是正交矩阵;正交矩阵的逆矩阵却不是正交矩阵。
C、若S=(a1,a2,…,am),2≤m≤n是Rn中的一个正交向量组,且其中每个向量都是单位向量,则这个向量组就是标准正交向量组。
D、线性无关向量组未必是正交向量组
【正确答案】 B【答案正确】
【答案解析】 正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。
2.下列说法中错误的有()
A、设α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn),α、β正交当且仅当
B、正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵;两个同阶的正交矩阵的乘积一定是正交矩阵;正交矩阵的转置矩阵却不是正交矩阵
C、若S=(a1,a2,…,am),2≤m≤n是Rn中的一个正交向量组,且其中每个向量都是单位向量,则这个向量组就是标准正交向量组。
D、线性无关向量组未必是正交向量组
【正确答案】 B【答案正确】
【答案解析】 正交矩阵的转置矩阵也是正交矩阵。
3.下列说法中错误的有()
A、设α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn),α、β正交当且仅当
B、正交矩阵的转置矩阵和逆矩阵也是正交矩阵;两个同阶的正交矩阵的乘积一定是正交矩阵
C、若S=(a1,a2,…,am),2≤m≤n是Rn中的一个正交向量组,且其中每个向量都是单位向量,则这个向量组就是标准正交向量组。
D、线性无关向量组一定是正交向量组
【正确答案】 D
【答案解析】 线性无关向量组未必是正交向量组。
知识点施密特正交化手续做题结果
1.将
【正确答案】 A【答案正确】
【答案解析】
2.将
【正确答案】 A【答案正确】
【答案解析】
3.将
【答疑编号1227,点击提问】
【您的答案】 A
【正确答案】 A【答案正确】
【答案解析】
知识点正交矩阵做题结果
1.
是什么类型的矩阵()
A、正交矩阵
B、逆矩阵
C、单位矩阵
D、相似矩阵
【正确答案】 A【答案正确】
【答案解析】 根据正交矩阵的定义,我们可以验证ATA看是否等于单位矩阵。
由于
,所以是正交矩阵。
2.
是什么类型的矩阵()
A、正交矩阵
B、对称矩阵
C、单位矩阵
D、相似矩阵
【正确答案】 B
【答案解析】
根据正交矩阵的定义,我们可以验证ATA看是否等于单位矩阵。
由于
,不是单位矩阵,所以不是正交矩阵。
不能说某个矩阵是相似矩阵。
3.
是什么类型的矩阵()
A、正交矩阵
B、逆矩阵
C、单位矩阵
D、相似矩阵
【正确答案】 A
【答案解析】 根据正交矩阵的定义,我们可以验证ATA看是否等于单位矩阵。
由于
,所以是正交矩阵。
知识点正交矩阵的性质做题结果
1.如果A是正交阵,则下列说法正确的是()
A、则A不可逆,AT=A-1
B、则A不可逆,AT=A
C、则A必可逆,且AT=A
D、则A必可逆,且AT=A-1
【正确答案】 D
【答案解析】 这是性质2.请参看教材P151.
2.
设A,B都是正交阵,下列说法正确的是()
A、它们的乘积仍为正交阵
B、它们的乘积可能为正交阵
C、它们的乘积不为正交阵
D、它们的乘积不一定为正交阵
【正确答案】 A【答案正确】
【答案解析】 这是性质4.
3.如果A是正交阵,则下列说法不正确的是()
A、|A|=±1
B、它的伴随矩阵也是正交矩阵
C、则A必可逆,且A的转置=A
D、则A必可逆,且A的转置=A的逆
【正确答案】 C
【答案解析】 请参看教材P151.
知识点正交矩阵的性质1做题结果
1.下列关于正交阵的说法不正确的是()
A.它的行向量组是标准正交向量组。
B.它的列向量组是标准正交向量组。
C.两个同阶的正交阵的乘积一定是正交阵。
D.两个同阶的正交阵的乘积不一定是正交阵。
【正确答案】 D【答案正确】
【答案解析】 请参看教材P151。
2.设A是n阶矩阵,C是n阶正交阵,且B=CTAC,则下述结论()不成立。
A.A与B相似
B.A与B等价
C.A与B有相同的特征值
D.A与B有相同的特征向量
【正确答案】 D【答案正确】
【答案解析】 ∵C是正交阵,所以C′=C-1,B=C-1AC,因此A与B相似,A对。
C是正交阵|C|不等于0,CTAC相当对A实行若干次初等行变换和初等列变换,A与B等价,B对。
两个相似矩阵A、B有相同的特征值,C对。
(λE-A)X=0,(λE-B)X=0是两个不同的齐次线性方程组,非零解是特征向量,一般情况这两个方程的非零解常常不同,所以只有D不对,选D。
3.设A是n阶正交阵。
λ是A的一个特征值,λ≠0,下列说法正确的是()
A、1/λ不是A的特征值。
B、1/λ是A的特征值。
C、1/λ可能是A的特征值。
D、1/λ不确定是否为A的特征值。
【正确答案】 B
【答案解析】 设A是n阶正交阵。
λ是A的一个特征值,λ≠0,且1/λ也是A的一个特征值。
知识点实对称矩阵的性质做题结果
1.设A,B都是n阶方阵,若存在正交阵P使得B=P-1AP,则()
A、A与B正交相似
B、A与B正交
C、A与B相似
D、不确定
【正确答案】 A【答案正确】
【答案解析】 设A,B都是n阶方阵,若存在正交阵P使得B=P-1AP,则称A与B正交相似。
2.
下列关于实对称矩阵的特征向量说法正确的是()
A、所有特征向量相互正交
B、所有特征向量不相互正交
C、属于不同特征值的特征向量相互正交
D、属于不同特征值的特征向量不相互正交
【正确答案】 C【答案正确】
【答案解析】 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交。
3.
下列关于实对称矩阵的特征值的说法正确的是()
A、可能是虚数
B、可能是实数
C、一定是虚数
D、一定是实数
【正确答案】 D
【答案解析】 实对称矩阵的特征值必为实数。
知识点求正交阵,使实对称阵正交相似于对角形做题结果
1.求正变换阵P使
【正确答案】 C【答案正确】
【答案解析】
2.求正变换阵P使A相似于对角阵,
【正确答案】 D【答案正确】
【答案解析】
知识点求正交阵,使实对称阵正交相似于对角形1做题结果
1.求正变换阵P使
【正确答案】 A【答案正确】
【答案解析】
2.
A、0
B、1
C、2
D、3
【正确答案】 A
【答案解析】
3.对于任意一个n阶实对称矩阵A,一定存在n阶正交矩阵P,使得
对角矩阵中的n个对角元λ1,λ2,…λn,就是A的n个特征值。
下列说法正确的是()
A、反之,凡是正交相似于对角矩阵的实方阵一定不是对称矩阵。
B、反之,凡是正交相似于对角矩阵的实方阵可能不是对称矩阵。
C、反之,凡是正交相似于对角矩阵的实方阵一定是对称矩阵。
D、反之,凡是正交相似于对角矩阵的实方阵可能是对称矩阵。
【正确答案】 C【答案正确】