知识点线代5.docx

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知识点线代5

知识点特征值和特征向量的若干结论做题结果　

1.下列关于特征值说法正确的是（）

A、实方阵的特征值未必是实数,特征向量未必是实向量.

B、实方阵的特征值一定是实数,特征向量未必是实向量.

C、实方阵的特征值未必是实数,特征向量一定是实向量.

D、实方阵的特征值一定是实数,特征向量一定是实向量.

【正确答案】A【答案正确】【答案解析】请参看教材P131

2.矩阵的所有特征值的和与积分别为（）

A.-6；14B.6；14C.6；-6D.-6；-6

【正确答案】C【答案正确】

3.下列关于特征值说法正确的是（）

A、一个向量P不可能是属于同一个方阵A的不同特征值的特征向量

B、一个向量P可能是属于同一个方阵A的不同特征值的特征向量

C、三角矩阵的特征值可能是它的全体对角元

D、三角矩阵的特征值不是它的全体对角元

【正确答案】A【答案正确】【答案解析】请参看教材P131

知识点特征值和特征向量做题结果　

1.λ1,λ2都是n阶矩阵A的特征值，λ1≠λ2，且x1与x2分别是对应于λ1与λ2的特征向量，当_______时，x=k1x1+k2x2必是A的特征向量。

A.k1=0且k2=0　　　B.k1≠0且k2≠0

C.k1·k2=0　　　　　D.k1≠0而k2=0

【正确答案】 D

【答案解析】 A的特征向量不能是零向量，所以k1、k2不同时为零，所以A、C不对；x1、x2是两个不同的方程组的解，两个方程的两个非零向量解之和不再是其中一个方程的解，所以A的特征向量不选B。

选D是因为k2=0，k1≠0，x=k1x1仍然是A的特征向量。

2.设A的特征值为1，-1，向量α是属于1的特征向量，β是属于-1的特征向量，则下列论断正确的是（）

A.α和β线性无关　　　　　B.α+β是A的特征向量

C.α与β线性相关　　　　　D.α与β必正交

【正确答案】 A【答案正确】

【答案解析】 属于不同特征值的特征向量必线性无关，因此选择A。

3.矩阵

的特征值为（）

A.1，1　　　B.2，2　　　C.1，2　　　D.0，0

【正确答案】 A【答案正确】

【答案解析】 

得到特征值是1，1。

4.下列关于特征值说法正确的是（）

A、n阶方阵和它的转置矩阵可能有相同的特征值

B、n阶方阵和它的转置矩阵必有相同的特征值

C、n阶方阵和它的转置矩阵必有不同的特征值

D、n阶方阵和它的转置矩阵可能有不同的特征值

【正确答案】 B

知识点多项式的特征根做题结果　

1.已知A的特征根是3，则A2+A+3的特征根=（）

A、10B、15C、9D、3

【正确答案】B【答案解析】A2+A+3的特征根=32+3+3=15

2.已知A的特征根是1，则5A2-A+3的特征根=（）

A、1B、7C、3D、4

【正确答案】B【答案解析】5A2-A+3的特征根=5-1+3=7

3.已知A的特征根是2，则A3-A-1的特征根=（）

A、0B、5C、7D、2

【正确答案】B【答案解析】A3-A-1的特征根=23-2-1=5

知识点求特征值和特征向量做题结果　

1.若n阶方阵的特征值为0，1，则下列属于它的转置矩阵的特征值的是（）

A、1，2B、0，3C、0，1D、不确定

【正确答案】 C【答案解析】 请参看教材P132

2.

【正确答案】 D

【答案解析】 

3.若n阶方阵的特征值为3，则下列属于它的转置矩阵的特征值的是（）

A、1B、0C、3D、不确定

【正确答案】 C【答案正确】

【答案解析】 

知识点关于求特征值和特征向量的一般方法做题结果　

1.已知矩阵

【正确答案】 B

【答案解析】 

2.已知矩阵

【正确答案】 B【答案正确】

【答案解析】 

3.已知矩阵

【正确答案】 B【答案正确】

【答案解析】 

知识点相似矩阵的定义做题结果　

1.设A和B是两个n阶方阵，如果存在某个n阶可逆矩阵P，使得B=PTAP，则

A、A与B正交B、A与B相等C、A与B相似D、不确定

【正确答案】 A【答案正确】

【答案解析】 根据相似矩阵的定义我们知，A和B是两个n阶方阵，要求存在某个n阶可逆矩阵P，使B=P-1AP，才能说A~B。

2.设A和B是两个n阶方阵，如果存在某个n阶可逆矩阵P，使得B=P-1AP，则A~B。

下列说法正确的是（）

A、那么A、B一定不可逆B、那么A、B一定可逆

C、那么A、B可以不可逆D、那么A、B正交

【正确答案】 C

【答案解析】 设A和B是两个n阶方阵，如果存在某个n阶可逆矩阵P，使得B=P-1AP，则A~B，A、B可以不可逆。

3.设A和B是两个n阶方阵，如果存在某个n阶可逆矩阵P，使得B=P-1AP，则（）

A、A与B正交B、A与B相等

C、A与B相似D、不确定

【正确答案】 C

【答案解析】 这就是相似矩阵的定义。

知识点相似矩阵的性质做题结果　

1.下列说法中错误的是（）

A、相似矩阵必有相同的特征多项式，相同的特征值，相同的迹和相同的行列式。

B、具有相同特征多项式的两个方阵必相似

C、对于方阵A，若有P-1AP=∧，则说对角形矩阵∧是方阵的相似标准形。

D、相似矩阵有

（1）反身性；

（2）对称性；（3）传递性。

【正确答案】 B【答案正确】

【答案解析】 具有相同特征多项式的两个方阵未必相似，比如：

，这两个矩阵有相同的特征多项式，但不相似。

2.下列说法中错误的是（）

A、相似矩阵必有相同的特征多项式，因而必有相同的特征值，相同的迹和相同的行列式。

B、对于方阵A，若有P-1AP=∧（对角形矩阵）则说对角形矩阵∧是方阵的相似标准形。

C、具有相同特征多项式的两个方阵必相似

D、相似矩阵有

（1）反身性；

（2）对称性；（3）传递性。

【正确答案】 C【答案正确】

【答案解析】 具有相同特征多项式的两个方阵未必相似，比如：

，这两个矩阵有相同的特征多项式，但不相似。

3.下列说法中错误的是（）

A、相似矩阵必有相同的特征多项式，因而必有相同的特征值，相同的迹和相同的行列式。

B、相似矩阵有

（1）反身性；

（2）对称性；（3）传递性。

C、对于方阵A，若有P-1AP=∧（对角形矩阵）则说对角形矩阵∧是方阵的相似标准形。

D、具有相同特征多项式的两个方阵必相似

【正确答案】 D

【答案解析】 具有相同特征多项式的两个方阵未必相似，比如：

，这两个矩阵有相同的特征多项式，但不相似。

知识点方阵与对角阵相似做题结果　

1.下列说法中错误的是（）

A、设p1和p2分别是n阶方阵A的两个不同的特征值λ1和λ2的特征向量，则p1和p2可能线性相关

B、任意一个没有重特征值的方阵一定相似于对角矩阵

C、对角元两两互异的三角矩阵一定相似于对角矩阵

D、若A中任一k重特征根对应有k个线性无关特征向量，则A一定与对角阵∧相似

【正确答案】 A【答案正确】

【答案解析】 p1和p2必线性无关，不可能相关。

2.下列说法中错误的是（）

A、设p1和p2分别是n阶方阵A的两个不同的特征值λ1和λ2的特征向量，则p1和p2必线性无关；

B、没有重特征值的方阵也可能不相似于对角矩阵；

C、对角元两两互异的三角矩阵一定相似于对角矩阵；

D、若A中任一k重特征根对应有k个线性无关特征向量，则A一定与对角阵∧相似。

【正确答案】 B【答案正确】

【答案解析】 任意一个没有重特征值的方阵一定相似于对角矩阵。

3.下列矩阵中必相似于对角阵的有（ ）

A、实对称阵

B、上三角阵

C、非异阵

D、正交阵

【正确答案】 A【答案正确】

【答案解析】 对称矩阵必正交相似于对角阵，因此选A。

知识点方阵与对角阵相似1做题结果　

1.问

【正确答案】 A【答案正确】

【答案解析】 

注1在求变换矩阵P时，列向量次序的安排应遵循下列原则：

P的列向量的位置应与特征值的位置一致。

比如A相似的对角阵中，1在第一列，则属于1的特征向量作为P的第一列，2在第二列，则属于2的特征向量放在P的第二列等等。

注2A相似的对角阵主对角线上的元素次序可以不同，这时P也应作相应的变动。

2.与

相似的对角阵∧=

【正确答案】 对【答案正确】

【答案解析】 

　知识点方阵与对角阵相似2做题结果　

1.问

【正确答案】 B【答案正确】

【答案解析】 

系数矩阵的秩用初等变换法或行列式法可求出为2，故只有一个基础解向量。

但是1是2重根，因此A不可能相似于一个对角阵。

2.问

【正确答案】 A【答案正确】

【答案解析】 

知识点向量的长度做题结果　

1.求向量α=（2，0，4）的长度（）

A、1

B、3

C、2

D、20

【正确答案】 C

【答案解析】 α的长度就是

2.求向量α=（1，2，1，3）的长度（）

A、1

B、

C、15

D、4

【正确答案】 B【答案正确】

【答案解析】 α的长度就是

3.求向量α=（0，1，1，1）的长度（）

A、1

B、4

C、3

D、

【正确答案】 D

【答案解析】 α的长度就是

知识点向量的正交与正交向量组做题结果　

1.下列说法中错误的有（）

A、设α=（a1,a2,…,an）,β=（b1,b2,…,bn），α、β正交当且仅当

B、正交矩阵的转置矩阵是正交矩阵；两个同阶的正交矩阵的乘积一定是正交矩阵；正交矩阵的逆矩阵却不是正交矩阵。

C、若S=（a1,a2,…,am），2≤m≤n是Rn中的一个正交向量组，且其中每个向量都是单位向量，则这个向量组就是标准正交向量组。

D、线性无关向量组未必是正交向量组

【正确答案】 B【答案正确】

【答案解析】 正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。

2.下列说法中错误的有（）

A、设α=（a1,a2,…,an）,β=（b1,b2,…,bn），α、β正交当且仅当

B、正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵；两个同阶的正交矩阵的乘积一定是正交矩阵；正交矩阵的转置矩阵却不是正交矩阵

C、若S=（a1,a2,…,am），2≤m≤n是Rn中的一个正交向量组，且其中每个向量都是单位向量，则这个向量组就是标准正交向量组。

D、线性无关向量组未必是正交向量组

【正确答案】 B【答案正确】

【答案解析】 正交矩阵的转置矩阵也是正交矩阵。

3.下列说法中错误的有（）

A、设α=（a1,a2,…,an）,β=（b1,b2,…,bn），α、β正交当且仅当

B、正交矩阵的转置矩阵和逆矩阵也是正交矩阵；两个同阶的正交矩阵的乘积一定是正交矩阵

C、若S=（a1,a2,…,am），2≤m≤n是Rn中的一个正交向量组，且其中每个向量都是单位向量，则这个向量组就是标准正交向量组。

D、线性无关向量组一定是正交向量组

【正确答案】 D

【答案解析】 线性无关向量组未必是正交向量组。

知识点施密特正交化手续做题结果　

1.将

【正确答案】 A【答案正确】

【答案解析】 

2.将

【正确答案】 A【答案正确】

【答案解析】 

3.将

【答疑编号1227,点击提问】

【您的答案】 A

【正确答案】 A【答案正确】

【答案解析】 

知识点正交矩阵做题结果　

1.

是什么类型的矩阵（）

A、正交矩阵

B、逆矩阵

C、单位矩阵

D、相似矩阵

【正确答案】 A【答案正确】

【答案解析】 根据正交矩阵的定义，我们可以验证ATA看是否等于单位矩阵。

由于

，所以是正交矩阵。

2.

是什么类型的矩阵（）

A、正交矩阵

B、对称矩阵

C、单位矩阵

D、相似矩阵

【正确答案】 B

【答案解析】 

根据正交矩阵的定义，我们可以验证ATA看是否等于单位矩阵。

由于

，不是单位矩阵，所以不是正交矩阵。

不能说某个矩阵是相似矩阵。

3.

是什么类型的矩阵（）

A、正交矩阵

B、逆矩阵

C、单位矩阵

D、相似矩阵

【正确答案】 A

【答案解析】 根据正交矩阵的定义，我们可以验证ATA看是否等于单位矩阵。

由于

，所以是正交矩阵。

知识点正交矩阵的性质做题结果　

1.如果A是正交阵，则下列说法正确的是（）

A、则A不可逆，AT=A-1

B、则A不可逆，AT=A

C、则A必可逆，且AT=A

D、则A必可逆，且AT=A-1

【正确答案】 D

【答案解析】 这是性质2.请参看教材P151.

2.

设A，B都是正交阵，下列说法正确的是（）

A、它们的乘积仍为正交阵

B、它们的乘积可能为正交阵

C、它们的乘积不为正交阵

D、它们的乘积不一定为正交阵

【正确答案】 A【答案正确】

【答案解析】 这是性质4.

3.如果A是正交阵，则下列说法不正确的是（）

A、|A|=±1

B、它的伴随矩阵也是正交矩阵

C、则A必可逆，且A的转置=A

D、则A必可逆，且A的转置=A的逆

【正确答案】 C

【答案解析】 请参看教材P151.

知识点正交矩阵的性质1做题结果　

1.下列关于正交阵的说法不正确的是（）

A.它的行向量组是标准正交向量组。

B.它的列向量组是标准正交向量组。

C.两个同阶的正交阵的乘积一定是正交阵。

D.两个同阶的正交阵的乘积不一定是正交阵。

【正确答案】 D【答案正确】

【答案解析】 请参看教材P151。

2.设A是n阶矩阵，C是n阶正交阵，且B=CTAC，则下述结论（）不成立。

A.A与B相似

B.A与B等价

C.A与B有相同的特征值

D.A与B有相同的特征向量

【正确答案】 D【答案正确】

【答案解析】 ∵C是正交阵，所以C′=C-1,B=C-1AC，因此A与B相似，A对。

C是正交阵|C|不等于0，CTAC相当对A实行若干次初等行变换和初等列变换，A与B等价，B对。

两个相似矩阵A、B有相同的特征值，C对。

（λE-A）X=0,（λE-B）X=0是两个不同的齐次线性方程组，非零解是特征向量，一般情况这两个方程的非零解常常不同，所以只有D不对，选D。

3.设A是n阶正交阵。

λ是A的一个特征值，λ≠0，下列说法正确的是（）

A、1/λ不是A的特征值。

B、1/λ是A的特征值。

C、1/λ可能是A的特征值。

D、1/λ不确定是否为A的特征值。

【正确答案】 B

【答案解析】 设A是n阶正交阵。

λ是A的一个特征值，λ≠0，且1/λ也是A的一个特征值。

知识点实对称矩阵的性质做题结果　

1.设A，B都是n阶方阵，若存在正交阵P使得B=P-1AP，则（）

A、A与B正交相似

B、A与B正交

C、A与B相似

D、不确定

【正确答案】 A【答案正确】

【答案解析】 设A，B都是n阶方阵，若存在正交阵P使得B=P-1AP，则称A与B正交相似。

2.

下列关于实对称矩阵的特征向量说法正确的是（）

A、所有特征向量相互正交

B、所有特征向量不相互正交

C、属于不同特征值的特征向量相互正交

D、属于不同特征值的特征向量不相互正交

 【正确答案】 C【答案正确】

【答案解析】 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交。

3.

下列关于实对称矩阵的特征值的说法正确的是（）

A、可能是虚数

B、可能是实数

C、一定是虚数

D、一定是实数

 【正确答案】 D

【答案解析】 实对称矩阵的特征值必为实数。

知识点求正交阵，使实对称阵正交相似于对角形做题结果　

1.求正变换阵P使

【正确答案】 C【答案正确】

【答案解析】 

2.求正变换阵P使A相似于对角阵，

【正确答案】 D【答案正确】

【答案解析】 

知识点求正交阵，使实对称阵正交相似于对角形1做题结果　

1.求正变换阵P使

【正确答案】 A【答案正确】

【答案解析】 

2.

A、0

B、1

C、2

D、3

【正确答案】 A

【答案解析】 

3.对于任意一个n阶实对称矩阵A，一定存在n阶正交矩阵P，使得

对角矩阵中的n个对角元λ1,λ2,…λn，就是A的n个特征值。

下列说法正确的是（）

A、反之，凡是正交相似于对角矩阵的实方阵一定不是对称矩阵。

B、反之，凡是正交相似于对角矩阵的实方阵可能不是对称矩阵。

C、反之，凡是正交相似于对角矩阵的实方阵一定是对称矩阵。

D、反之，凡是正交相似于对角矩阵的实方阵可能是对称矩阵。

【正确答案】 C【答案正确】