知识点线代5.docx

1、知识点线代5知识点 特征值和特征向量的若干结论 做题结果 1.下列关于特征值说法正确的是 ( )A、实方阵的特征值未必是实数,特征向量未必是实向量.B、实方阵的特征值一定是实数,特征向量未必是实向量.C、实方阵的特征值未必是实数,特征向量一定是实向量.D、实方阵的特征值一定是实数,特征向量一定是实向量.【正确答案】 A【答案正确】 【答案解析】 请参看教材P131 2.矩阵的所有特征值的和与积分别为（ ）A.-6；14 B.6；14 C.6；-6 D.-6；-6【正确答案】 C【答案正确】 3.下列关于特征值说法正确的是( )A、一个向量P不可能是属于同一个方阵A的不同特征值的特征向量B、一个

2、向量P可能是属于同一个方阵A的不同特征值的特征向量C、三角矩阵的特征值可能是它的全体对角元D、三角矩阵的特征值不是它的全体对角元【正确答案】 A【答案正确】 【答案解析】 请参看教材P131 知识点 特征值和特征向量 做题结果1.1,2都是n阶矩阵A的特征值，12，且x1与x2分别是对应于1与2的特征向量，当_时，x=k1x1+k2 x2 必是A的特征向量。A.k1=0且k2=0B.k10且k20C.k1k2=0D. k10而k2=0【正确答案】D 【答案解析】A的特征向量不能是零向量，所以k1、k2不同时为零，所以A、C不对；x1、x2是两个不同的方程组的解，两个方程的两个非零向量解之和不再

3、是其中一个方程的解，所以A的特征向量不选B。选D是因为k2=0，k10，x= k1 x1仍然是A的特征向量。2.设A的特征值为1，-1，向量是属于1的特征向量，是属于-1的特征向量，则下列论断正确的是（ ）A.和线性无关B.+是A的特征向量C.与线性相关D.与必正交【正确答案】A【答案正确】 【答案解析】属于不同特征值的特征向量必线性无关，因此选择A。3.矩阵的特征值为（ ） A.1，1B.2，2C.1，2D.0，0【正确答案】A【答案正确】 【答案解析】得到特征值是1，1。4.下列关于特征值说法正确的是 ( )A、n阶方阵和它的转置矩阵可能有相同的特征值B、n阶方阵和它的转置矩阵必有相同的特

4、征值C、n阶方阵和它的转置矩阵必有不同的特征值D、n阶方阵和它的转置矩阵可能有不同的特征值【正确答案】B 知识点 多项式的特征根 做题结果 1.已知A的特征根是3，则A2+A+3的特征根=（ ）A、10 B、15 C、9 D、3【正确答案】 B【答案解析】 A2+A+3的特征根=32+3+3=15 2.已知A的特征根是1，则5A2-A+3的特征根=（ ）A、1 B、7 C、3 D、4【正确答案】 B【答案解析】 5A2-A+3的特征根=5-1+3=7 3.已知A的特征根是2，则A3-A-1的特征根=（ ）A、0 B、5 C、7 D、2【正确答案】 B 【答案解析】 A3-A-1的特征根=23-

5、2-1=5 知识点 求特征值和特征向量 做题结果1.若n阶方阵的特征值为0，1，则下列属于它的转置矩阵的特征值的是 ( )A、1，2 B、0，3 C、0，1 D、不确定【正确答案】C 【答案解析】请参看教材P1322. 【正确答案】D 【答案解析】3.若n阶方阵的特征值为3，则下列属于它的转置矩阵的特征值的是( )A、1 B、0 C、3 D、不确定【正确答案】C【答案正确】 【答案解析】 知识点 关于求特征值和特征向量的一般方法 做题结果1.已知矩阵【正确答案】B 【答案解析】2.已知矩阵【正确答案】B【答案正确】 【答案解析】3.已知矩阵【正确答案】B【答案正确】 【答案解析】 知识点 相似

6、矩阵的定义 做题结果1.设A和B是两个n阶方阵，如果存在某个n阶可逆矩阵P，使得B=PTAP，则A、A与B正交 B、A与B相等 C、A与B相似 D、不确定【正确答案】A【答案正确】 【答案解析】根据相似矩阵的定义我们知，A和B是两个n阶方阵，要求存在某个n阶可逆矩阵P，使B=P-1AP，才能说AB。2. 设A和B是两个n阶方阵，如果存在某个n阶可逆矩阵P，使得B=P-1AP，则AB。下列说法正确的是 ( )A、那么A、B一定不可逆 B、那么A、B一定可逆C、那么A、B可以不可逆 D、那么A、B正交【正确答案】C 【答案解析】设A和B是两个n阶方阵，如果存在某个n阶可逆矩阵P，使得B=P-1AP

7、，则AB，A、B可以不可逆。3.设A和B是两个n阶方阵，如果存在某个n阶可逆矩阵P，使得B=P-1AP，则( )A、A与B正交 B、A与B相等C、A与B相似 D、不确定【正确答案】C 【答案解析】这就是相似矩阵的定义。 知识点 相似矩阵的性质 做题结果1.下列说法中错误的是（ ）A、相似矩阵必有相同的特征多项式，相同的特征值，相同的迹和相同的行列式。B、具有相同特征多项式的两个方阵必相似C、对于方阵A，若有P-1AP = ，则说对角形矩阵是方阵的相似标准形。D、相似矩阵有（1）反身性；（2）对称性；（3）传递性。【正确答案】B【答案正确】 【答案解析】具有相同特征多项式的两个方阵未必相似，比如

8、：，这两个矩阵有相同的特征多项式，但不相似。2.下列说法中错误的是（ ）A、相似矩阵必有相同的特征多项式，因而必有相同的特征值，相同的迹和相同的行列式。B、对于方阵A，若有P-1AP = （对角形矩阵）则说对角形矩阵是方阵的相似标准形。C、具有相同特征多项式的两个方阵必相似D、相似矩阵有（1）反身性；（2）对称性；（3）传递性。【正确答案】C【答案正确】 【答案解析】具有相同特征多项式的两个方阵未必相似，比如：，这两个矩阵有相同的特征多项式，但不相似。3.下列说法中错误的是（ ）A、相似矩阵必有相同的特征多项式，因而必有相同的特征值，相同的迹和相同的行列式。B、相似矩阵有（1）反身性；（2）对

9、称性；（3）传递性。C、对于方阵A，若有P-1AP = （对角形矩阵）则说对角形矩阵是方阵的相似标准形。D、具有相同特征多项式的两个方阵必相似【正确答案】D 【答案解析】具有相同特征多项式的两个方阵未必相似，比如：，这两个矩阵有相同的特征多项式，但不相似。 知识点 方阵与对角阵相似 做题结果1.下列说法中错误的是（ ）A、设p1和p2分别是n阶方阵A的两个不同的特征值1和2的特征向量，则p1和p2可能线性相关B、任意一个没有重特征值的方阵一定相似于对角矩阵C、对角元两两互异的三角矩阵一定相似于对角矩阵D、若A中任一k重特征根对应有k个线性无关特征向量，则A一定与对角阵相似【正确答案】A【答案正

10、确】 【答案解析】p1和p2必线性无关，不可能相关。2.下列说法中错误的是（ ）A、设p1和p2分别是n阶方阵A的两个不同的特征值1和2的特征向量，则p1和p2必线性无关；B、没有重特征值的方阵也可能不相似于对角矩阵；C、对角元两两互异的三角矩阵一定相似于对角矩阵；D、若A中任一k重特征根对应有k个线性无关特征向量，则A一定与对角阵相似。【正确答案】B【答案正确】 【答案解析】任意一个没有重特征值的方阵一定相似于对角矩阵。3.下列矩阵中必相似于对角阵的有( )A、实对称阵B、上三角阵C、非异阵D、正交阵【正确答案】A【答案正确】 【答案解析】对称矩阵必正交相似于对角阵，因此选A。 知识点 方阵

11、与对角阵相似1 做题结果1.问【正确答案】A【答案正确】 【答案解析】注1 在求变换矩阵P时，列向量次序的安排应遵循下列原则：P的列向量的位置应与特征值的位置一致。比如A相似的对角阵中，1在第一列，则属于1的特征向量作为P的第一列，2在第二列，则属于2的特征向量放在P的第二列等等。注2 A相似的对角阵主对角线上的元素次序可以不同，这时P也应作相应的变动。2.与相似的对角阵= 【正确答案】对【答案正确】 【答案解析】 知识点 方阵与对角阵相似2 做题结果1.问【正确答案】B【答案正确】 【答案解析】系数矩阵的秩用初等变换法或行列式法可求出为2，故只有一个基础解向量。但是1是2重根，因此A不可能相

12、似于一个对角阵。2.问【正确答案】A【答案正确】 【答案解析】 知识点 向量的长度 做题结果1.求向量=（2，0，4）的长度（ ）A、1B、3C、2 D、20【正确答案】C 【答案解析】的长度就是2.求向量=（1，2，1，3）的长度（ ）A、1B、 C、15D、4【正确答案】B【答案正确】 【答案解析】的长度就是3.求向量=（0，1，1，1）的长度（ ）A、1B、4C、3D、【正确答案】D 【答案解析】的长度就是 知识点 向量的正交与正交向量组 做题结果1.下列说法中错误的有（ ）A、设=（a1,a2,an）, =（b1,b2,bn），、正交当且仅当 B、正交矩阵的转置矩阵是正交矩阵；两个同阶

13、的正交矩阵的乘积一定是正交矩阵；正交矩阵的逆矩阵却不是正交矩阵。C、若S=（a1,a2,am），2mn是 Rn中的一个正交向量组，且其中每个向量都是单位向量，则这个向量组就是标准正交向量组。D、线性无关向量组未必是正交向量组【正确答案】B【答案正确】 【答案解析】正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。2.下列说法中错误的有（ ）A、设=（a1,a2,an）, =（b1,b2,bn），、正交当且仅当 B、正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵；两个同阶的正交矩阵的乘积一定是正交矩阵；正交矩阵的转置矩阵却不是正交矩阵C、若S=（a1,a2,am），2mn是 Rn中的一个正交向量组，且其中每个向量都是单位向量，则这个向

14、量组就是标准正交向量组。D、线性无关向量组未必是正交向量组【正确答案】B【答案正确】 【答案解析】正交矩阵的转置矩阵也是正交矩阵。3.下列说法中错误的有（ ）A、设=（a1,a2,an）, =（b1,b2,bn），、正交当且仅当B、正交矩阵的转置矩阵和逆矩阵也是正交矩阵；两个同阶的正交矩阵的乘积一定是正交矩阵C、若S=（a1,a2,am），2mn 是 Rn中的一个正交向量组，且其中每个向量都是单位向量，则这个向量组就是标准正交向量组。D、线性无关向量组一定是正交向量组【正确答案】D 【答案解析】线性无关向量组未必是正交向量组。 知识点 施密特正交化手续 做题结果1.将【正确答案】A【答案正确】

15、 【答案解析】2.将【正确答案】A【答案正确】 【答案解析】3.将【答疑编号1227,点击提问】【您的答案】A【正确答案】A【答案正确】 【答案解析】 知识点 正交矩阵 做题结果1. 是什么类型的矩阵( )A、正交矩阵B、逆矩阵C、单位矩阵D、相似矩阵【正确答案】A【答案正确】 【答案解析】根据正交矩阵的定义，我们可以验证ATA看是否等于单位矩阵。由于，所以是正交矩阵。2. 是什么类型的矩阵( )A、正交矩阵B、对称矩阵C、单位矩阵D、相似矩阵【正确答案】B 【答案解析】 根据正交矩阵的定义，我们可以验证ATA看是否等于单位矩阵。由于，不是单位矩阵，所以不是正交矩阵。不能说某个矩阵是相似矩阵。

16、3. 是什么类型的矩阵( )A、正交矩阵B、逆矩阵C、单位矩阵D、相似矩阵【正确答案】A 【答案解析】根据正交矩阵的定义，我们可以验证ATA看是否等于单位矩阵。由于，所以是正交矩阵。 知识点 正交矩阵的性质 做题结果1.如果A是正交阵，则下列说法正确的是( )A、则A不可逆，AT=A-1B、则A不可逆，AT=AC、则A必可逆，且AT=AD、则A必可逆，且AT=A-1【正确答案】D 【答案解析】这是性质2.请参看教材P151.2. 设A，B都是正交阵，下列说法正确的是( )A、它们的乘积仍为正交阵B、它们的乘积可能为正交阵C、它们的乘积不为正交阵D、它们的乘积不一定为正交阵【正确答案】A【答案正

17、确】 【答案解析】这是性质4.3. 如果A是正交阵，则下列说法不正确的是( )A、|A|=1B、它的伴随矩阵也是正交矩阵C、则A必可逆，且A的转置=AD、则A必可逆，且A的转置=A的逆【正确答案】C 【答案解析】请参看教材P151. 知识点 正交矩阵的性质1 做题结果1.下列关于正交阵的说法不正确的是( )A.它的行向量组是标准正交向量组。B.它的列向量组是标准正交向量组。C.两个同阶的正交阵的乘积一定是正交阵。D.两个同阶的正交阵的乘积不一定是正交阵。【正确答案】D【答案正确】 【答案解析】请参看教材P151。2.设A是n阶矩阵，C是n阶正交阵，且B=CTAC，则下述结论（ ）不成立。A.A

18、与B相似B.A与B等价C.A与B有相同的特征值D.A与B有相同的特征向量【正确答案】D【答案正确】 【答案解析】C是正交阵，所以C=C-1,B= C-1AC，因此A与B相似，A对。C是正交阵|C|不等于0，CTAC相当对A实行若干次初等行变换和初等列变换，A与B等价，B对。两个相似矩阵A、B有相同的特征值，C对。（E-A）X=0, （E-B）X=0是两个不同的齐次线性方程组，非零解是特征向量，一般情况这两个方程的非零解常常不同，所以只有D不对，选D。3.设A是n阶正交阵。是A的一个特征值，0，下列说法正确的是( )A、1/不是A的特征值。B、1/是A的特征值。C、1/可能是A的特征值。D、1/

19、不确定是否为A的特征值。【正确答案】B 【答案解析】设A是n阶正交阵。是A的一个特征值，0，且1/也是A的一个特征值。 知识点 实对称矩阵的性质 做题结果1. 设A，B都是n阶方阵，若存在正交阵P使得B=P-1AP，则( )A、A与B正交相似B、A与B正交C、A与B相似D、不确定【正确答案】A【答案正确】 【答案解析】设A，B都是n阶方阵，若存在正交阵P使得B=P-1AP，则称A与B正交相似。2. 下列关于实对称矩阵的特征向量说法正确的是( )A、所有特征向量相互正交B、所有特征向量不相互正交C、属于不同特征值的特征向量相互正交D、属于不同特征值的特征向量不相互正交【正确答案】C【答案正确】

20、【答案解析】实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交。3. 下列关于实对称矩阵的特征值的说法正确的是( )A、可能是虚数B、可能是实数C、一定是虚数D、一定是实数【正确答案】D 【答案解析】实对称矩阵的特征值必为实数。知识点 求正交阵，使实对称阵正交相似于对角形 做题结果1.求正变换阵P使【正确答案】C【答案正确】 【答案解析】2.求正变换阵P使A相似于对角阵，【正确答案】D【答案正确】 【答案解析】 知识点 求正交阵，使实对称阵正交相似于对角形1 做题结果1.求正变换阵P使【正确答案】A【答案正确】 【答案解析】2.A、0B、1C、2D、3【正确答案】A 【答案解析】 3.对于任意一个n阶实对称矩阵A，一定存在n阶正交矩阵P，使得对角矩阵中的n个对角元1,2,n，就是A的n个特征值。下列说法正确的是( )A、反之，凡是正交相似于对角矩阵的实方阵一定不是对称矩阵。B、反之，凡是正交相似于对角矩阵的实方阵可能不是对称矩阵。C、反之，凡是正交相似于对角矩阵的实方阵一定是对称矩阵。D、反之，凡是正交相似于对角矩阵的实方阵可能是对称矩阵。【正确答案】C【答案正确】