三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质68196.docx
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三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质68196
知识点总结
ABC的重心
OA
三角形“四心
”向量形式的充要条件应用
OB
OC
0；
）
若O是
uu
PG
ABC的重心,ur”
…S则
uuur
PA
OC
AOC
ABC的垂心
OA
uPB
uir
uPC
OBOB
OC
ABC（非直角三角形）的垂心，则S
1S
3ABC故OAOBOC0；
）G为ABC的重心.
SAOB
ur
OC
BOC-
OA；
SAOC:
SAOBtanA:
tanB:
tanC
故tanAOAtanBOBtanCOC0
3.
sin2A:
sin2B:
sin2C
o是ABC的外心|OA||OB||OC|（或OAOBOC）
若O是ABC的外心则Sboc：
Saoc：
SaobsinBOC-sinAOC:
sinAOB
故sin2AOAsin2BOBsin2COC0
O^（ABAC）O^（BABC）O^（CACB）0
4.O是内心ABC的充要条件是|AB|AC|BA||BC||CA||CB|
引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记AB,BC,CA的单位向量为e1,e2,e3，则刚才o是
ABC内心的充要条件可以写成OA（e1e3）OB（e1e2）OC（e2e3）0,o是
ABC内心的充要条件也可以是aOAbOBcOC0。
若O是ABC的内心，则
例1.O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足
（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心
ABuuuuuuumr
解析：
因为|——|是向量AB的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为e2，又
IABI一
OPOAAP，则原式可化为AP（ee2），由菱形的基本性质知AP平分BAC，那么在
ABC中，AP平分BAC，则知选B.
（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”
例2.H是厶ABC所在平面内任一点，HAHBHBHCHCHA点H是厶ABC的垂心.
由HAHBHBHCHB（HCHA）0HBAC0HBAC,
同理HCAB，HABC.故H是厶ABC的垂心.（反之亦然（证略））
例3.（湖南）P是厶ABC所在平面上一点，若PAPBPBPCPCPA，贝UP是厶ABC的（D）
A.外心B.内心C.重心D.垂心
解析:
由PAPBPBPC得PAPBPBPC0•即PB（PAPC）0,即PBCA0
AD为BC边
则PBCA,同理PABC,PCAB所以P为ABC的垂心.故选D.
（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”
例4.G是厶ABC所在平面内一点，GAGBGC=0
重心.
证明作图如右，图中GBGCGE
BGCE为平行四边形D是BC的中点,
连结BE和CE,贝UCE=GB，BE=GC上的中线•
得GAEG=0GAGE2GD，故G是厶ABC的重心.（反之亦然（证略））
例5.P是厶ABC所在平面内任一点.G是厶ABC的重心PG-（PAPBPC）.
3
证明PGPAAGPBBGPCCG3PG（AGBGCG）（PAPBPC）
•/G是厶ABC的重心•••GAGBGC=0AGBGCG=0，即卩3PGPAPBPC
由此可得PG丄（PAPBPC）.（反之亦然（证略））
3
uuuuuuuurr
例6若O为ABC内一点，OAOBOC0，则O是ABC的（）
A.内心
B.外心
C.垂心
D.重心
uuuuuuLULTruuumuruuu
解析：
由OAOBOC0得OBOCOA，如图以OBOC为相邻两边构作平行四边形，则
uuuuuuruuruur1uuur
OBOCOD，由平行四边形性质知OE-OD，OA2OE，同理可证其它两边上的这个性
质，所以是重心，选D
（四）将平面向量与三角形外心结合考查
A.内心B.外心C.垂心D.重心
解析：
由向量模的定义知O到ABC的三顶点距离相等。
故O是ABC的外心，选B
（五）将平面向量与三角形四心结合考查
例8.已知向量OPi，OP2，OP3满足条件OPi+OP2+OP3=0，|OPi|=|OP2|=|OP3|=1，
求证△P1P2P3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题）证明由已知OPi+OP2=-OP3，两边平方得OPi•OP2=-，
2
i
同理OP?
•OP3=OP3•OPi=-，
|PiP2|=|卩2卩3|=|P3Pi|='、3，从而△PiP-P3是正三角形.
反之，若点O是正三角形△PiP2P3的中心，则显然有旳+匝+匝=0且|^|=|Op2|=|Op；|.
即O是厶ABC所在平面内一点,
OPi+OP2+OP3=0且|OPi|=|OP2|=|OP3|点O是正△PiP2P3的中心.
例9.在△ABC中，已知QGH分别是三角形的外心、重心、垂心。
求证：
QGH三点共
线，且QG:
GH=1:
2
【证明】：
以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。
设A（0,0）、敦xi,0）、C（X2,y2），DE、F分别为ABBCAC的中点，则有：
D（空
X
0）、E（
iX2
2
2
G（Xi-
X2,y2）
uuuuAH
33
uur
BC
（X2Xi，y
2）
ujuu
uur
QAH
BC
ujuu
uur
AH
?
BCX2
（X2
Y4
X2（X2
Xi）
y
uuu
uuiu
QQF
AC
）由题设可设心
uuu
QF?
AC
X2（X2
Y3）0
y3
X2（X2
Xi）
2y2
y2
2
umur
y2x2y2
2）、F（」，2
222
uur（X2，y4），QF1
Xi）河40
Y3）
iuuun二_QH
3
UULUULUT
即QH=3QG，故QGH三点共线，且QGGh=i：
2
例10.若0、H分别是△ABC的外心和垂心.求证
OHOAOBOC.
证明若厶ABC的垂心为H，外心为O,如图.连BO并延长交外接圆于D，连结AD,CD.
•••ADAB，CDBC.又垂心为H，AHBC，CHAB，•••AH//CD，CH//AD，
•四边形AHCD为平行四边形，
AHDCDOOC，故OHOAAHOAOBOC.
著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”一一外心、重心、垂心的位置关系：
（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线一一“欧拉线”；
（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外一一垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。
“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.
例11.设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.求证OG[OH
3
证明按重心定理G是厶ABC的重心OG1（OAOBOC）
3
按垂心定理OhOaObOc由此可得og[oh.
3
补充练习
1.已知A、B、C是平面上不共线的三点，0是三角形ABC的重心，动点P满足
OP二—（―0A+—0B+20C）,贝y点P一定为三角形ABC的（B）
322
A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点（非重心）
C.重心D.AB边的中点
—一一一11一1一一
1.B取AB边的中点M，则OAOB20M，由0P=—（—OA+—0B+20C）可得
一—322
30P30M2MC，•mp2mc，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且
3
点P不过重心，故选B.
A外心
B
内心C重心
D垂心
3.已知O是平面上一定点，A、B、
C是平面上不共线的三个点，
动点
P满足：
OPOA
（AB
AC），贝UP的轨迹
「定通过厶ABC的
（
C
）
A外心
B
内心C重心
D垂心
4.已知△ABC,
P为三角形所在平面上的动点，且动点
P满足：
uuruuuuuuuuu
Iuuuuuu
PA?
PCPA?
PB
，PB?
PC0，贝UP点为三角形的
（
D
）
A外心
B
内心C重心
D垂心
uur
uuu
uuu
5.已知△ABC,
P为三角形所在平面上的一点，且点
P满足：
a
PA
bPB
c?
PC0,贝UP点
为三角形的
（
B）
A外心
B
内心C重心
D垂心
6.在三角形
ABC中，动点P满足:
.22
CACB2AB?
CP，贝9
P
点轨迹
「定通过厶ABC的：
（B）
A夕卜心
B
内心C重心
D垂心
（
C）
uuuuuur
八ABAC1
cosA-uuuluuh=~
|AB||AC|2
/A二一，所以△ABC为等边三角形，选D.
3
—ABAC1、’
BC=0且=•==2,则厶ABC为（）
|AB||AC|2
c.等腰非等边三角形
7.已知非零向量Ab与AC满足cab+"AC）-
|AB||AC|
A.三边均不相等的三角形B.直角三角形
uuu
AC
AC-）=0，即角A的平分线垂直于BC，AAB=AC，又
解析：
非零向量与满足
uuu
/AB（uuu
|AB||AC|
D.等边三角形
8.ABC的外接圆的圆心为0,两条边上的高的交点为H,OHm（OAOBOC），则实数m=」9•点O是ABC所在平面内的一点，满足OAOBOBOCOCOA，则点O是ABC的（B）
（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点
（C）三条中线的交点（D）三条高的交点
uuuvuuv
10.如图1,已知点G是ABC的重心，过G乍直线与ABAC两边分别交于MN两点，且AMxAB，
uuu/uuiv11
ANyAC，贝U3。
xy
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证点G是ABC的重心，知GAGBGC0,
UJLVuuvunvLUVULU/
得AG（ABAG）（ACAG）
uuv
Q有AG
1uuviuu/
-（ABAC）。
又MNG三点共线（A不在直线MN
3
上）,
于是存在
uuvuuuvuuv
，使得AGAMAN（且
1），
uuv
有AG
uuvxAB
uuv1uuvuuvyAC=§（ABAC），
1，于是得—
x
3
例讲三角形中与向量有关的问题
教学目标：
1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法
2、向量的加法、数量积等性质
3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题
4、数形结合
教学重点：
灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题
教学难点：
针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题教学过程：
1、课前练习
222
1.1已知0是厶ABC内的一点，若OAOB0C，贝U0是厶ABC£〔〕
A、重心B、垂心C、外心D、内心
1.2在厶ABC中,有命题①ABACBC•，②ABBCCA0；③若ABAC?
ABAC0，
则厶ABC为等腰三角形；④若AB?
AC0,则厶ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是〔〕
A、①②B、①④C、②③D、②③④2、知识回顾
2.1三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法
2.2向量的有关性质
2.3上述两者间的关联
3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题
例1、已知△ABC中，有
AB
AC?
BC
AC
0和晋?
些
AB
AC
i，试判断△ABC的形状
练习1、已知△ABC中,ABa，BCb，B是厶ABC中的最大角，若a?
b0，试判断厶ABC
的形状。
——T2
AB，则
4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题
例2、已知O是厶ABC所在平面内的一点，满足［OA?
|bc|2
O是厶ABCM〔〕
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、内心
A、重心B、垂心C、外心D
5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题
例3、已知P是厶ABC所在平面内的一动点，且点P满足0P
0A
ABAC
ABAC''，
则动点P一定过△ABC的:
〕
A、重心练习2、
已知
B、垂心
O为平面内一点
、内心
OPOA
AB
1
2BC，
0,
C、外心D
，A、B、C平面上不共线的三点，动点P满足
则动点P的轨迹一定通过厶ABC£〔〕
A、重心
例4、
、垂心
是
C
ABC
、外心
所在
D
平面内
、内心
的一点，动点P
OPOA
AB
AC
0,
，则动点
P一定过△ABC£〔〕
ABcosB
ACcosC
A、重心
练习3、
、垂心
O是
C
ABC
外心
在平
D、内心
面内的一点，动点P
OPOBOC
2
AB
AC
0,
，则动点P一定过△ABC的:
ABcosB
ACcosC
A、重心
例5、已知点
、垂心
是的重心，
C、外心
过G作直线与
D、内心
AB、AC分别相交于M、N两点，
11
AMx?
AB,ANy?
AC，求证：
3
xy
6小结处理与三角形有关的向量问题时，要允分注意数形结合的运用，关注向量等式中的实数互化,合理地将向量等式和图形进行转化是处理这类问题的关键。
7、作业
1、已知O是厶ABC内的一点，若OAOBOC0，则。
是厶ABC的:
〕
A、重心B、垂心
C
、外心
D
、内心
2、若厶ABC的外接圆的圆心为O,
半径为1,
且OA
OBOC0，贝UOA?
OB等于〔〕
1
A、丄B、0
C
、1
D
1
、—
2
2
3、已知O是△ABC所在平面上的一点
，A、
B、C、
所对的过分别是a、b、c若
a?
OAb?
OBc?
OC0，贝U0是厶ABC的:
〕
A、重心B、垂心C、外心D、内心
AC3AP，则P是厶ABC的:
〕
4、已知P是厶ABC所在平面内与A不重合的一点，满足AB
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A、重心B、垂心C、外心D、内心
5、平面上的三个向量OA、OB、OC满足OAOBOC0，OAOBOC1,求证：
△ABC为正三角形。
6在厶ABC中,O为中线AM上的一个动点，若AMh2,求OA（OBOC）
三角形四心与向量的典型问题分析
向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小。
在高中数学“平面向量”（必修4第二章）的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。
在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系。
下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一
些特定的性质。
既学习了三角形四心的一些特定性质，又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感。
重心”的向量风采
【命题11G是厶ABC所在平面上的一点,
uuuuuumur
若GAGBGC0，则G是厶ABC的重心.如图⑴.
二、垂心”的向量风采
【命题31P是厶ABC所在平面上一点，若PAPBPBPCPCPA，贝UP是厶ABC的垂心.
【解析1
UlUUUU由PAPB
UUUUUUUUUUUUUULTUUUUTUUUUUT
PBPC，得PB（PAPC）0，即PBCA0，所以PB丄CA.同理可证
uuuuuuuuuuuu
PC丄AB,PA丄BC.•••P是厶ABC的垂心.如图⑶
A
B
AB,C是平面上不共线的三个点，动点
P满足
uuuuuuOPOA
■uuu
-uutr-
AB
cosB
AC
cosC
uuuuult
ABAC
（0,），则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心.
uuu
【解析】由题意AP
uuu
AB
uuu
ABcosB
uuur
AC
uuur
ACcosC
由于
uuu
AB
turn
ABcosB
uutr
AC
tutr
ACcosC
umt
BC0,
uuuuuituuuruuit
ABBCACBC
即-utttUtT
ABcosBACcosC
uuiur
BC
uuutumtuuu
CB0,所以AP表示垂直于BC的向量，即P点在过点A且
垂直于BC的直线上，所以动点
P的轨迹一定通过△ABC的垂心，如图⑷.
二、内心”的向量风米【命题
uuuu
aIAbIB
5】
UT
cIC
已知IABC所在平面上的一点，且ABc，ACb
0，贝UI是厶ABC的内心.
【解析】
uu
vIB
uuuuuIAAB
，ic
uu
IA
uutr
AC
，BCa.若
图⑹
uuu
uutr
UULT
uuu
uuu
uutr
uiuruuuACAB
bAB
cAC
AC
AB
AB
AC
uu
）IA
uuubAB
UULTcAC
uuu
uuur
AB
AC
iUUUi
ruturr
AB
AC
则由题意得（ab
UUU
UUT
UUUUUT
ULT
bc
AB
AC
ABiAC
AI
iiim
lLUUJI
iii■r
1MLAJI•
-UUU与UUT
abc
AB
AC
ABAC
UUUUULT
分别为AB和AC方向上的单位向量,
ULT
•••AI与/BAC平分线共线，即AI平分BAC.
BI平分ABC，CI平分ACB.从而I是厶ABC的内心，如图⑸.
方向的向量，故动点P的轨迹一定通过△ABC的内心，如图⑹.
四、“外心”的向量风采
【解析】由于
UUU
OB
UUT
严过BC的中点，当
（0,
）时,
-UUU
tutr
AB
cosB
AC
cosC
UUU
表示垂直于BC
UUT
AC
UUU
AB
【命题7】已知
O是平面上的一定点,
B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足
外心，如图⑺。
的向量（注意：
理由见二、4条解释。
），所以P在BC垂直平分线上，动点P的轨迹一定通过△ABC的外心，如图⑻。
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