三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质68196.docx

1、三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质68196知识点总结ABC的重心OA三角形“四心”向量形式的充要条件应用OBOC0；)若O是u uPGABC的重心, ur ”S 则u u urPAOCAOCABC的垂心OAu PBu iru PCOB OBOCABC （非直角三角形）的垂心，则S1S3 AB C 故 OA OB OC 0 ；) G为ABC的重心.S AOBurOCBOC -OA ；S AOC : S AOB tan A : tan B : tan C故 tan AOA tan BOB tan COC 03.sin2A : sin2B : sin2Co 是 ABC 的外心 |OA | |

2、OB | |OC |(或OA OB OC)若 O 是 ABC 的外心则 S boc： S aoc： S aob sin BOC -sin AOC:sin AOB故 sin2AOA sin 2BOB sin2COC 0O ( AB AC ) O ( BA BC ) O ( CA CB ) 04. O 是内心 ABC 的充要条件是 |AB | AC |BA | |BC | |CA | |CB |引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记 AB,BC,CA的单位向量为e1,e2,e3，则刚才o是ABC内心的充要条件可以写成 OA （e1 e3）OB （e1 e2）OC （e2 e3）0 , o是ABC内

3、心的充要条件也可以是aOA bOB cOC 0 。若O是 ABC的内心，则例1 . O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心AB uuu uuu umr解析：因为|是向量AB的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为e2， 又IABI 一OP OA AP，则原式可化为AP （e e2），由菱形的基本性质知 AP平分 BAC，那么在ABC 中，AP平分 BAC，则知选B.（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2. H是厶ABC所在平面内任一点，HA HB HB HC HC HA 点H是厶ABC的垂心.由 HA HB H

4、B HC HB （HC HA） 0 HB AC 0 HB AC ,同理HC AB， HA BC .故 H是厶ABC的垂心.（反之亦然（证略）例3.（湖南）P是厶ABC所在平面上一点，若 PA PB PB PC PC PA，贝U P是厶ABC的（D ）A .外心 B .内心 C.重心 D .垂心解析:由 PA PB PB PC得 PA PB PB PC 0 即 PB （PA PC） 0,即PB CA 0AD为BC边则PB CA,同理PA BC,PC AB 所以P为ABC的垂心.故选D.（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4. G是厶ABC所在平面内一点，GA GB GC =0重心.

5、证明 作图如右，图中GB GC GEBGCE为平行四边形 D是BC的中点,连结 BE 和 CE,贝U CE=GB，BE=GC 上的中线得GA EG =0 GA GE 2GD，故G是厶ABC的重心.（反之亦然（证略）例5. P是厶ABC所在平面内任一点.G是厶ABC的重心 PG -（PA PB PC）.3证明 PG PA AG PB BG PC CG 3PG (AG BG CG) (PA PB PC)/ G 是厶 ABC 的重心 GA GB GC =0 AG BG CG =0，即卩 3PG PA PB PC由此可得PG丄（PA PB PC）.（反之亦然（证略）3uuu uuu uur r例6若O

6、为ABC内一点，OA OB OC 0，则O是ABC的（ ）A .内心B.外心C.垂心D .重心uuu uuu LULT r uuu mur uuu解析：由OA OB OC 0得OB OC OA，如图以 OB OC为相邻两边构作平行四边形，则uuu uuur uur uur 1 uuurOB OC OD，由平行四边形性质知 OE -OD， OA 2 OE，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D（四）将平面向量与三角形外心结合考查A .内心 B.外心 C.垂心 D .重心解析：由向量模的定义知 O到ABC的三顶点距离相等。故O是ABC的外心，选B（五）将平面向量与三角形四心结合考查例 8.

7、已知向量 OPi， OP2，OP3 满足条件 OPi +OP2 +OP3 =0，|OPi |=|OP2 |=|OP3 |=1，求证 P1P2P3是正三角形.（数学第一册（下），复习参考题五B组第6题） 证明 由已知OPi+OP2=-OP3，两边平方得 OPi OP2 =-，2i同理 OP? OP3 =OP3 OPi =-，|PiP2 | = |卩2卩3 | = |P3Pi |= 、3，从而 PiP-P3 是正三角形.反之，若点O是正三角形 PiP2P3的中心，则显然有 旳+匝+匝=0且| | = |Op2 |=|Op； |.即O是厶ABC所在平面内一点,OPi +OP2+OP3 =0 且|OP

8、i |=|OP2 | = |OP3 | 点 O 是正 PiP2P3 的中心.例9.在 ABC中，已知Q G H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证： Q G H三点共线，且 QG:GH=1:2【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A（0,0）、敦xi,0 ）、 C（X2,y 2），D E、F分别为AB BC AC的中点，则有：D (空X,0)、E(i X 222G(Xi-X2,y2)uuuu AH3 3uurBC(X2 Xi，y2)ujuuuurQ AHBCujuuuurAH?BC X2(X2Y4X2(X2Xi)yuuuuuiuQQFAC）由题设可设心uuuQ

9、F ?ACX2(X2Y3) 0y3X2(X2Xi)2y2y22umury2 x2 y22)、F(，22 2 2uur (X2，y4)，QF 1Xi)河 4 0Y3)i uuun 二 _QH3UULU ULUT即QH =3QG，故Q G H三点共线，且QG Gh=i： 2例10.若 0、H分别是 ABC的外心和垂心.求证OH OA OB OC .证明 若厶ABC的垂心为H，外心为O,如图. 连BO并延长交外接圆于D，连结AD, CD. AD AB，CD BC .又垂心为 H，AH BC，CH AB， AH / CD，CH / AD，四边形AHCD为平行四边形，AH DC DO OC，故 OH O

10、A AH OA OB OC .著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”一一外心、重心、垂心的位置关系：(1) 三角形的外心、重心、垂心三点共线一一“欧拉线”；(2)三角形的重心在“欧拉线”上，且为外一一垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距 离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题 .例11. 设O、G、H分别是锐角 ABC的外心、重心、垂心. 求证 OG OH3证明 按重心定理 G是厶ABC的重心 OG 1 (OA OB OC)3按垂心定理 Oh Oa Ob Oc 由此可得 og oh .3补充练习1.已知A、B、C是平面上不共线的三点，0是三

11、角形ABC的重心，动点P满足OP二(0A+0B+2 0C),贝y点 P 一定为三角形 ABC 的 (B )3 2 2A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心 D.AB边的中点一 一 一 1 1 一 1 一 一1. B 取 AB 边的中点 M，则 OA OB 20M，由 0P = ( OA + 0B+2 0C)可得一 3 2 230P 30M 2MC， mp 2mc，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且3点P不过重心，故选B.A 外心B内心 C 重心D 垂心3.已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：OP OA(ABAC)，贝U P

12、的轨迹定通过厶ABC的(C)A 外心B内心 C 重心D 垂心4 .已知 ABC ,P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：uur uuu uuu uuuI uuu uuuPA?PC PA?PB，PB?PC 0，贝U P点为三角形的(D)A 外心B内心 C 重心D 垂心uuruuuuuu5 .已知 ABC ,P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：aPAb PBc?PC 0 ,贝U P点为三角形的(B )A 外心B内心 C 重心D 垂心6.在三角形ABC中，动点P满足:.2 2CA CB 2AB?CP，贝9P点轨迹定通过厶ABC的：(B )A 夕卜心B内心 C 重心D 垂心(C )uuu uu

13、ur八 AB AC 1cosA -uuu luuh =|AB | |AC | 2,/ A二一，所以 ABC为等边三角形，选D .3 AB AC 1 、BC=0 且= =2 ,则厶ABC 为()|AB| |AC| 2c.等腰非等边三角形7.已知非零向量Ab与AC满足cab + AC)-|AB| |AC|A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形uuuACAC- ) =0，即角 A的平分线垂直于 BC，A AB=AC，又解析：非零向量与满足uuu/ AB (uuu|AB| |AC|D.等边三角形8. ABC的外接圆的圆心为0,两条边上的高的交点为 H, OH m(OA OB OC)，则实数m= 9点

14、O是 ABC所在平面内的一点，满足 OA OB OB OC OC OA，则点O是 ABC的(B )(A)三个内角的角平分线的交点 (B)三条边的垂直平分线的交点(C)三条中线的交点 (D)三条高的交点uuuv uuv10.如图1,已知点G是 ABC的重心，过G乍直线与ABAC两边分别交于MN两点，且AM xAB，uuu/ uuiv 1 1AN yAC ，贝U 3。x y资料收集于网络，如有侵权 请联系网站删除只供学习与交流证 点G是ABC的重心，知GA GB GC 0,UJLV uuv unv LUV ULU/得 AG (AB AG) (AC AG)uuvQ有AG1 uuv iuu/-(AB

15、AC)。又M N G三点共线(A不在直线MN3上),于是存在uuv uuuv uuv，使得AG AM AN (且1)，,uuv有AGuuv xABuuv 1 uuv uuv yAC=(AB AC)，1，于是得x3例讲三角形中与向量有关的问题教学目标：1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法2、向量的加法、数量积等性质3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题4、数形结合教学重点：灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题教学难点：针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题 教学过程：1、课前练习 2 2 21.1已知0是厶ABC内的一点，若OA OB 0C，贝U

16、 0是厶ABCA、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心1.2 在厶 ABC中,有命题 AB AC BC ， AB BC CA 0 ；若 AB AC ? AB AC 0，则厶ABC为等腰三角形；若AB?AC 0,则厶ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是A、 B 、 C 、 D 、 2、知识回顾2.1三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法2.2向量的有关性质2.3 上述两者间的关联3 、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题例1、已知 ABC中，有ABAC ?BCAC0和晋?些ABACi，试判断ABC的形状练习1、已知 ABC中, AB a，BC b，B是厶ABC中的最大

17、角，若a?b 0，试判断厶ABC的形状。T 2AB ，则4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题例2、已知O是厶ABC所在平面内的一点，满足OA? |bc|2O 是厶 ABCM资料收集于网络，如有侵权 请联系网站删除只供学习与交流、内心A、重心 B 、垂心 C 、外心 D5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题例3、已知P是厶ABC所在平面内的一动点，且点 P满足0P0AAB ACAB AC，则动点P 一定过 ABC的:A、重心 练习2、已知B 、垂心O为平面内一点、内心OP OAAB12BC，0,C 、外心 D，A、B、C平面上不共线的三点，动点P满足则动点P的轨迹一定通过厶A

18、BCA、重心例 4 、垂心是CABC、外心所在D平面内、内心的一点，动点 POP OAABAC0,，则动点P 一定过 ABCAB cosBAC cosCA、重心练习 3、垂心O 是CABC外心在平D 、内心面内的一点，动点 POP OB OC2ABAC0,，则动点P 一定过 ABC的:AB cosBAC cosCA、重心例5、已知点、垂心是的重心，C 、外心过G作直线与D 、内心AB、AC分别相交于M、N两点，1 1AM x?AB, AN y?AC，求证： 3x y6小结 处理与三角形有关的向量问题时，要允分注意数形结合的运用，关注向量等式中的实数互化, 合理地将向量等式和图形进行转化是处理这

19、类问题的关键。7、作业1、已知O是厶ABC内的一点，若OA OB OC 0，则。是厶ABC的:A、重心 B 、垂心C、外心D、内心2、若厶ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,且OAOB OC 0，贝U OA?OB 等于1A、丄 B 、0C、1D1、 223、已知O是 ABC所在平面上的一点，A、B、C、所对的过分别是a、b、c若a?OA b?OB c?OC 0，贝U 0是厶 ABC的:A、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心AC 3AP，则 P 是厶 ABC的 : 4、已知P是厶ABC所在平面内与A不重合的一点，满足AB资料收集于网络，如有侵权 请联系网站删除只供学习与交流A、重心 B 、

20、垂心 C 、外心 D 、内心5 、平面上的三个向量 OA、OB、OC满足OA OB OC 0，OA OB OC 1 ,求证： ABC为正三角形。6在厶ABC中, O为中线AM上的一个动点，若 AMh2,求OA (OB OC)三角形四心与向量的典型问题分析向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小。在高中数学“平面向量”(必 修4第二章)的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向 量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几 何关系用向量表示，然后选择适当的基

21、底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转 化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系。下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质。既学习了三角形四心的一些特定性质， 又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感。重心”的向量风采【命题11 G是厶ABC所在平面上的一点,uuu uuu mur若GA GB GC 0，则G是厶ABC的重心.如图.二、垂心”的向量风采【命题31 P是厶ABC所在平面上一点，若 PA PB PB PC PC PA，贝U P是厶ABC的垂心.【解析1UlU UUU 由 PA PBUUU UUU UUU UU

22、U UULT UUU UT UUU UUTPB PC，得PB (PA PC) 0，即PB CA 0，所以PB丄CA .同理可证uuu uuu uuu uuuPC丄AB , PA丄BC . P是厶ABC的垂心.如图ABA B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足uuu uuu OP OAuuu -uutr-ABcosBACcosCuuu uultAB AC(0,)，则动点P的轨迹一定通过 ABC的垂心.uuu【解析】 由题意APuuuABuuu AB cosBuuurACuuur AC cosC,由于uuuABturn AB cosBuutrACtutr AC cosCumtBC 0 ,uuu

23、 uuit uuur uuitAB BC AC BC即-uttt UtT AB cosB AC cosCuuiurBCuuut umt uuuCB 0,所以AP表示垂直于BC的向量，即P点在过点A且垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过 ABC的垂心，如图.二、内心”的向量风米 【命题uu uuaIA bIB5】UTcIC已知I ABC所在平面上的一点，且AB c， AC b0，贝U I是厶ABC的内心.【解析】uuv IBuu uuu IA AB，icuuIAuutrAC，BC a .若图uuuuutrUULTuuuuuuuutruiur uuu AC ABbABcACACABABAC

24、uu)IAuuu bABUULT cACuuuuuurABACi UUUiruturrABAC则由题意得(a bUUUUUTUUU UUTULTbcABACAB i ACAIi i iml LUUJ Ii ii r1 MLAJ I -UUU 与 UUTa b cABACAB ACUUU UULT分别为AB和AC方向上的单位向量,ULT AI与/ BAC平分线共线，即AI平分 BAC .BI平分 ABC，CI平分 ACB .从而I是厶ABC的内心，如图.方向的向量，故动点P的轨迹一定通过 ABC的内心，如图.四、“外心”的向量风采【解析】由于UUUOBUUT严过BC的中点，当(0,)时,-UUU tutrABcosBACcosCUUU表示垂直于BCUUTACUUUAB【命题7】 已知O是平面上的一定点,B, C是平面上不共线的三个点，动点 P满足外心，如图。的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以P在BC垂直平分线上，动点P的轨迹一定通过 ABC 的外心，如图。