洛伦兹变换的推导.docx
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洛伦兹变换的推导
洛伦兹变换的推导
洛伦兹变换的推导:
不妨假设自然界一切物理规律都是平权的,也就是在不同的参考系,
所有的物理规律都是一样的
现在我们设(x,y,z,t)所在坐标系(A系)静止,(X,Y,Z,T)所在坐标系(B系)速度为u,且沿x轴正向。
在A系原点处,x=0,B系中A原点的坐标为X=-uT,即X+uT=0。
可令
(1).
又因在惯性系内的各点位置是等价的,因此k是与u有关的常数(广义相对论中,由于时空弯曲,各点不再等价,因此k不再是常数。
)同理,B系中的原点处有
,由相对性原理知,两个惯性系等价,除速度反向外,两式应取相同的形式,即k=K。
故有
(2).
对于y,z,Y,Z皆与速度无关,可得
(3).
(4).
将
(2)代入
(1)可得:
,即
(5).
(1)
(2)(3)(4)(5)满足相对性原理,要确定k需用光速不变原理。
当两系的原点重合时,由重合点发出一光信号,则对两系分别有
,
。
代入
(1)
(2)式得:
,
。
两式相乘消去t和T得:
.
将γ反代入
(2)(5)式得坐标变换:
3.速度变换:
同理可得V(y),V(z)的表达式。
4.尺缩效应:
B系中有一与x轴平行长l的细杆,则由
得:
,又△t=0(要同时测量两端的坐标),则
,即:
,
。
5.钟慢效应:
由坐标变换的逆变换可知,
B系原点处一光源发出光信号,A系原点有一探测器,两系中分别有两个钟,当两系原点重合时,校准时钟开始计时。
B系中光源频率为ν(b),波数为N,B系的钟测得的时间是△t(b),由钟慢效应可知,A△系中的钟测得的时间为
(1).
探测器开始接收时刻为
,最终时刻为
,则
(2).
相对运动不影响光信号的波数,故光源发出的波数与探测器接收的波数相同,即
(3).
由以上三式可得:
.
7.动量表达式:
(注:
,此时,
因为对于动力学质点可选自身为参考系,
)
牛顿第二定律在伽利略变换下,保持形式不变,即无论在那个惯性系内,牛顿第二定律都成立,但在洛伦兹变换下,原本简洁的形式变得乱七八糟,因此有必要对牛顿定律进行修正,要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。
牛顿力学中,
,r在坐标变换下形式不变,(旧坐标系中为(x,y,z)新坐标系中为(X,Y,Z))只要将分母替换为一个不变量(当然非固有时
莫属)就可以修正速度的概念了。
即令
为相对论速度。
牛顿动量为
,将v替换为V,可修正动量,即
。
定义
(相对论质量)则
.这就是相对论力学的基本量:
相对论动量。
(注:
人们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算)
8.相对论力学基本方程:
:
由相对论动量表达式可知:
,这是力的定义式,虽与牛顿第二定律的形式完全一样,但内涵不一样。
(相对论中质量是变量)
9.质能方程:
即
10.能量动量关系:
,
,
,
四维证明
1.公理,无法证明。
2.坐标变换:
由光速不变原理:
dl=cdt,即dx2+dy2+dz2+(icdt)2=0在任意惯性系内都成立。
定义dS为四维间隔,
dS2=dx2+dy2+dz2+(icdt)2
(1).
则对光信号dS恒等于0,而对于任意两时空点的dS一般不为0。
dS2>0称类空间隔,dS2<0称类时间隔,dS2=0称类光间隔。
相对论原理要求
(1)式在坐标变换下形式不变,因此
(1)式中存在与坐标变换无关的不变量,dS2dS2光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量。
因此在两个原理的共同制约下,可得出一个重要的结论:
dS是坐标变换下的不变量。
由数学的旋转变换公式有:
(保持y,z轴不动,旋转x和ict轴)
X=xcosφ+(ict)sinφ
得:
tanφ=iu/c,则cosφ=γ,sinφ=iuγ/c反代入上式得:
X=γ(x-ut)
Y=y
Z=z
T=γ(t-ux/c2)
3.4.5.6.略。
7.动量表达式及四维矢量:
(注:
γ=1/sqr(1-v2/c2),下式中dt=γdτ)
令r=(x,y,z,ict)则将v=dr/dt中的dt替换为dτ,V=dr/dτ称四维速度。
则V=(γv,icγ)γv为三维分量,v为三维速度,icγ为第四维分量。
(以下同理)
四维动量:
P=mV=(γmv,icγm)=(Mv,icM)
四维力:
f=dP/dτ=γdP/dt=(γF,γicdM/dt)(F为三维力)
四维加速度:
ω=/dτ=(γ4a,γ4iva/c)
则f=mdV/dτ=mω
8.略。
9.质能方程:
fV=mωV=m(γ5va+i2γ5va)=0
故四维力与四维速度永远“垂直”,(类似于洛伦兹磁场力)
由fV=0得:
γ2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0(F,v为三维矢量,且Fv=dEk/dt(功率表达式))
故dEk/dt=c2dM/dt即∫dEk=c2∫dM,即:
Ek=Mc2-mc2
故E=Mc2=Ek+mc2