综合小练.docx

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综合小练

1．（文）（2010·宁波市模拟）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（　　）

A．4B．6

C．8D．10

[答案]　C

[解析]　由题意知，85q＝170，∴q＝2，

∴85＋170＝，∴n＝8.

（理）一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为

（　　）

A．6B．8

C．10D．12

[答案]　B

[解析]　设项数为2n，则由已知得

＝q＝2，又a1＝1，得an＝2n－1，其中间两项和为an＋an＋1＝2n－1＋2n＝24，可解得n＝4，故得项数2n＝8，应选B.

2．（2010·浙江金华十校）已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为{an}的前n项和，则的值为（　　）

A．2B．3

C.D．不存在

[答案]　A

[解析]　由条件a32＝a1a4，∴（a1＋2d）2＝a1（a1＋3d），∴a1d＋4d2＝0，

∵d≠0

，∴a1＝－4d，∴＝＝＝2.

3．（2010·浙江）设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝（　　）

A．11B．5

C．－8D．－11

[答案]　D

[

解析]　∵{an}为等比数列，且8a2＋a5＝0，

∴8a2＋a2·q3＝0，∵a2≠0，∴q3＝－8，∴q＝－2，

＝＝＝＝＝－11，故选D.

4．（2010·江西）等比数列{an}中a1＝2，a8＝4，函数f（x）＝x（x－a1）（x－a2）…·（x－a8），则f′（0）＝（　　）

A．26B．29

C．212D．215

[答案]　C

[解析]　令g（x）＝（x－a1）（x－a2）……（x－a8），则f（x）＝xg（x）

f′（x）＝g（x）＋g′（x）x，故f′（0）＝g（0）＝a1a2……a8

＝（a1a8）4＝212.

5．（文）（2010·广东省高考调研）公差不为零的等差数列{an}中，a2、a3、a6成等比数列，则其公比q为（　　）

A．1　　　　B．2　　　　

C．3　　　　D．4

[答案]　C

[解析]　∵等差数列{an}中a2、a3、a6成等比数列，

∴a2a6＝a32，

即（a1＋d）（a1＋5d）＝（a1＋2d）2⇒d（d＋2a1）＝0，

∵公差不为零，∴d＝－2a1，

∴所求公比q＝＝＝＝3.

（理）（2010·安徽巢湖市质检）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S5、S4、S6成等差数列，则数列{an}的公比q的值为（　　）

A．－2或1B．－1或2

C．－2D．1

[答案]　C

[解析]　∵等比数列{an}的前n项和为Sn,2S4＝S5＋S6，∴q≠1，a1≠0，∴＝＋，∴2q4＝q5＋q6，∴q2＋q－2＝0，∴q＝－2.

6．（文）在等比数列{an}中，若a3a5a7a9a11＝243，则的值为（　　）

A．9B．1

C．2D．3

[答案]　D

[解析]　∵等比数列{an}中，a3a5a7a9

a11＝a75＝243，∴a7＝3，∴＝＝＝a7＝3.故选D.

（理）若公比为c的等比数列{an}的首项a1＝1且满足an＝（n＝3,4，…）．则c的值为（　　）

A．1B．－

C．－1或D．1或－

[答案]　D

[解析]　∵{an}是公比为c的等比数列，a1＝1，

∴an＝cn－1，又an＝（n≥3，n∈N），

∴2cn－1＝cn－2＋cn－3，即2c2＝c＋1，∴c＝1或－.

7．（2010·聊城市模拟）已知an＝n，把数列{an}的各项排列成如下的三角形状：

a1

a2　a3　a4

a5　a6　a7　a8　a9

……………………

记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（11,12）＝（　　）

A.67B.68

C.111D.112

[答案]　D

[解析]　由图形知，各行数字的个数构成首项为1，公差为2的等差数列，∴前10项数字个数的和为10×1＋×2＝100，故A（11,12）为{an}的第112项，

∴A（11,12）＝a112＝112.

8．（文）（2010·延边州质检）等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝154，S9＝18，在等比数列{bn

}中，b3＝a3，b5＝a5，则b7的值为（　　）

A.B.

C．2D．3

[答案]　B

[解析]　由条件知，，∴，

∴b3＝a3＝3，b5＝a5＝2，

∴b7＝＝.

（理）（2010·四川广元市质检）已知x、y>0，且x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是（　　）

A．0B．1

C．2D．4

[答案]　D

[解析]　由条件知x＋y＝a＋b，xy＝cd，∵x>0，y>0，∴＝＝＋＋2≥4，等号在x＝y时成立．

9．若一个三角形的三个内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则此三角形必是（　　）

A．等腰三角形B．等边三角形

C．直角三角形D．等腰直角三角形

[答案]　B

[解析]　∵三内角A、B、C成等差，且对应边依次为a、b、c，则B＝60°，A＋C＝120°，b2＝ac，由正弦定理sin2B＝sinA·sinC，∴＝sinA·sin（120°－A）＝sinA＝sin2A＋（1－cos2A）＝sin2A－cos2A＋＝sin（2A－30°）＋，

∴sin（2A－30°）＝1，∴2A－30°＝90°＋k·360°，

∴A＝60°＋k·180°，

∵k∈Z，∴k＝0，∴A＝B＝C＝60°，故选B.

10．（文）（2010·北京延庆县模考）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（　　）

A．4B．5

C．6D．7

[答案]　D

[解析]　由程序框图可知，S＝1＋2＋22＋…＋2k＝2k＋1－1，由S<100得，2k＋1<101，

∵26

＝64,27＝128，∴k＋1＝7，∴k＝6，结合语句k＝k＋1在S＝S＋2k后面知，当k＝6时，S＝127，k的值再增加1后输出k值为7

[点评]　这是最容易出错的地方，解这类题时，既要考虑等比数列求和，在k取何值时，恰满足S≥100，又要顾及S与k的赋值语句的先后顺序．

（理）（2010·延边州质检）若下面的程序框图输出的S是126，则①应为（　　）

A．n≤5?

B．n≤6?

C．n≤7?

D．n≤8?

[答案]　B

[解析]　∵S＝21＋22＋23＋24＋25＋26＝＝126，

∴由程序框图知，要输出S＝126，应填的条件为n≤6.

二、填空题

11．（文）（2010·浙江金华）如果一个n位的非零整数a1a2…an的各个数位上的数字a1，a2，…，an或适当调整次序后能组成一个等比数列，则称这个非零整数a1a2…an为n位“等比数”．如124,913,333等都是三位“等比数”．那么三位“等比数”共有________个．（用

数字作答）

[答案]　27

[解析]　适当调整次序后能组成一个三位“等比数”的非零整数可分为以下几类：

（1）111,222，…，999；

（2）124,248,139.其中第

（1）类“等比数”有9个；第

（2）类“等比数”有3×6＝18个；因此，满足条件的

三位“等比数”共有27个．

（理）（2010·四川双流县检测）已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1（n∈N*）的取值范围是________．

[答案]　[8，）

[解析]　∵a5＝a2q3，∴＝2×q3，∴q＝，

∴a1＝＝4，∴an＝4×n－1＝23－n，

∴akak＋1＝·＝，

∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1

＝＋＋…＋

＝32×

＝3

2×＝∈[8，）．

12．（2010·福建福州三中）已知数列{an}的各项均是正数，其前n项和Sn满足（p－1）Sn＝p2－an，其中p为正常数，且p≠1，则数列{an}

的通项公式为________．

[答案]　an＝p2－n

[解析]　由题设知（p－1）a1＝p2－a1，解得a1＝p.

因为，

两式作差得（p－1）（Sn＋1－Sn）＝an－an＋1.

所以（p－1）an＋1＝an－an＋1，即an＋1＝an，

∴数列{an}是首项为p，公比为的等比数列．

∴an＝p·n－1＝p2－n.

13．（2010·山东省潍坊市质检）已知等差数列{an}的公差d≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是________．

[答案]　3

[解析]　由题知a52＝a1·a17，即a52＝（a5－4d）·（a5＋12d），∴8a5d－48d2＝0，∵d≠0，∴a5＝6d，∴公比q＝＝＝＝3.

14．（文）已知a、b、c成等比数列，如果a、x、b和b、y、c都成等差数列，则＋＝________.

[答案]　2

[解析]　由条件知x＝，y＝，c＝bq，a＝，

∴＋＝＋＝＋

＝＋＝2.

（理）（2010·上海松汇区模拟）已知数列{an}满足：

a1＝m（m为正整数），an＋1＝，若a4＝7，则m所有可能的取值为________.

[答案]　56和9

[解析]　由a4＝7可知a3＝14，由a3＝14得a2＝28时，由a2＝28得a1＝56或a1＝9.

三、解答题

15．（文）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝3·2n－3.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令bn＝（n－1）an，求数列{bn}的前n项和Tn.

[解析]　

（1）当n＝1时，a1＝3

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3·2n－2－3·2n－1＋2

＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1.

（2）bn＝3（n－1）·2n－1

Tn＝3·（2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋（n－1）·2n－1）

利用错位相减法求得Tn＝3（n－2）·2n＋6.

（理）设{an}为等比数列，且满足：

Sn＝2n＋a.

（1）求{an}的通项公式，并求最小的自然数n，使an>2010；

（2）数列{bn}的通项公式为bn＝－，求数列{bn}的前n项和Tn.

[解析]　

（1）n＝1

时，a1＝2＋a

n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1

∵{an}为等比数列，∴a1＝2＋a＝21－1＝1，∴a＝

－1

∴{an}的通项公式为an＝2n－1，

∵an＝2n－1>2010，又211＝2048，

故最小自然数n为12.

（2）bn＝－＝－

Tn＝－（1×1＋2×＋3×＋…＋n×）①

Tn＝－[1×＋2×＋…＋（n－1）×＋n×]②

②－①

得，－Tn＝1＋＋＋…＋－n·

∴Tn＝－4

16．（文）（2010·金华十校）已知数列{an}前n项和Sn＝2n2－3n，数列{bn}是各项为正的等比数列，满足a1＝－b1，b3（a2－a1）＝b1.

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）记cn＝an·bn，求cn的最大值．

[解析]　

（1）∵an＝，

∴an＝，

即an＝4n－5（n∈N*）

由已知b1＝1，b1q2（a2－a1）＝b1，∴q2＝

∵bn>0，∴q＝，∴bn＝n－1

（2）cn＝（4n－5）n－1

由得n＝3，即c3最大，最大值为.

（理）（2010·吉林一中）已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝Sn－n＋3，n∈N*，a1＝2.

（1）求数列{an}的通项；

（2）设bn＝（n∈N*）的前n项和为Tn，求证：

Tn<（n∈N*）．

[解析]　

（1）∵an＋1＝Sn－n＋3，n∈N*，

∴n≥2时，an＝Sn－1－（n－1）＋3，

∴an＋1－an＝an－1，即an＋1＝2an－1，

∴an＋1－1＝2（an－1）（n≥2，n∈N*），

∵a1＝2，a2＝4，

∴an＝（a2－1）·2n－2＋1＝3·2n－2＋1（n≥2，n∈N*）．

∴an＝.

（2）∵Sn＝an＋1＋n－3＝3·2n－1＋n－2，

∴bn＝，

∴Tn＝（1＋＋＋…＋），Tn＝（＋＋＋…＋），∴Tn＝（1＋＋＋…＋－），∴Tn＝

（1－）－·<.

17．（文）（2010·山东邹平一中模考）已知等比数列{an}中，a2，a3，a4分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且a1＝。

公比q≠1.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）已知数列{bn}满足：

a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝2n－1（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn.

[解析]　

（1）由已知得a2－a3＝2（a3－a4）．

从而得2q2－3q＋1＝0

解得q＝或q＝1（舍去）

所以an＝n.

（2）当n＝1时，a1b1＝1，∴b1＝2，

当n≥2时，a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＋anbn＝2n－1，

a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝2n－3，

两式相减得anbn＝2，∴bn＝2n＋1.

因此bn＝，

当n＝1时，Sn＝S1＝b1＝2；

当n≥2时，Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2＋

＝2n＋2－6.

综上，Sn＝2n＋2－6.

（理）（2010·吉林市质检）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且3an＋1＋2Sn＝3（n为正整数）．

（1）求出数列{an}的通项公式；

（2）若对任意正整数n，k≤Sn恒成立，求实数k的最大值．

[解析]　

（1）∵3an＋1＋2Sn＝3①

∴当n≥2时，3an＋2Sn－1＝3②

由①－②得，3an＋1－3an＋2an＝0.

∴＝　（n≥2）．

又∵a1＝1,3a2＋2a1＝3，解得a2＝.

∴数列{an}是首项为1，公比q＝的等比数列．

∴an＝a1qn－1＝n－1（n为正整数）

（2）由

（1）知，∴Sn＝

由题意可知，对于任意的正整数n，恒有

k≤，

∵数列单调递增，当n＝1时，数列取最小项为，∴必有k≤1，即实数k的最大值为1.

第6章第4节

一、选择题

1．（文）（2010·重庆理，1）在等比数列{an}中，a2010＝8a2007，则公比q的值为（　　）

A．2　　　　B．3　　　　

C．4　　　　D．8

[答案]　A

[解析]　a2010＝a2007·q3，故q3＝8，∴q＝2.

（理）（2010·黑龙江哈三中）已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－（n≥2），则a5＝（　　）

A.　　　B.　　　

C.　　　D.

[答案]　A

[解析]　a1＝4，a2＝4－＝3，a3＝4－＝，a4＝4－＝，a5＝4－＝.

2．（2010·大庆铁

人中学）若“*”表示一种运算，且满足如下关系：

（1）1]N*）．

则n*1＝（　　）

A．3n－2B．3n＋1

C．3nD．3n－1

[答案]　A

[解析]　设n*1＝an，于是有a1＝1，an＋1＝3＋an，则数列{an}是等差数列，公差d＝3，所以n*1＝an＝a1＋（n－1）d＝1＋3（n－1）＝3n－2.故选A.

3．（文）（2010·安徽安庆联考）已知等比数列{an}中有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且a7＝b7，则b5＋b9＝（　　）

A．2B．4

C．8D．16

[答案]　C

[解析]　∵a3a11＝a72＝4a7，∴a7＝4，∴b7＝a7＝4，∴b5＋b9＝2b7＝8.

（理）（2010·昌南模拟）已知函数f（x）＝x2＋bx的图象在点A（1，f

（1））处的切线的斜率为3，数列（）的前n项和为Sn，则S2010的值为（　　）

A.B.

C.D.

[答案]　C

[解析]　0＝f′（x）＝2x＋b，∴0＝f′

（1）＝2＋b＝3，∴b＝1，

∴f（n）＝n2＋n，∴＝＝－，

∴Sn＝（1－）＋（－）＋…＋（－）＝

∴S2010＝.

4．（2010·浙江金华十校）已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为{an}的前n项和，则的值为（　　）

A．2B．3

C.D．不存在

[答案]　A

[解析]　由条件a32＝a1a4，∴（a1＋2d）2＝a1（a1＋3d），∴a1d＋4d2＝0，

∵d≠0，∴a1＝－4d，∴＝＝＝＝2.

5．（文）（2010·马鞍山市质检）等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n＝3（a1＋a3＋…＋a2n－1），a1a2a3＝8，则a10等于（　　）

A．－512B．1024

C．－1024D．512

[答案]　D

[解析]　∵{an}为等比数列，a1a2a3＝8，∴a23＝8，

∴a2＝2，

又S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝3（a1＋a3＋…＋a2n－1），

∴a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝2（a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1），

∴q＝2，∴a10＝a2q8＝2×28＝512.

（理）（2010·长沙模拟）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝（1＋2x）dx，S20＝18，则S30为（　　）

A．36B．27

C．24D．21

[答案]　D

[解析]　S10＝（1＋2x）dx＝（x＋x2）03＝12，又S20＝18，且{an}等比数列，∴S10，S20－S10，S30－S20，也成等比数列，即：

12,6，S30－18成等比数列，∴S30－18＝3，S30＝21，故选D.

6．（2010·东北三校）在圆x2＋y2＝5x内，过点有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a1，最长弦长为an，若公差d∈，那么n的取值集合为（　　）

A．{4,5,6}B．{6,7,8,9}

C．{3,4,5}D．{3,4,5,6}

[答案]　A

[解析]　圆心到点的距离

d＝＝，圆半径为，

∴a1＝2＝4，an＝5.

∴d＝＝，∵

∵n∈N*，

∴n＝4,5,

6.故选A.

7．运行如图的程序框图，则输出的结果是（　　）

A．2009B．2010

C.D.

[答案]　D

[解析]　如果把第n个a值记作an，第1次运行后得到a2＝，第2次运行后得到a3＝，……，第n次运行后得到an＋1＝，则这个程序框图的功能是计算数列{an}的第2010项．将an＋1＝变形为＝＋1，故数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，故＝n，即an＝，故输出结果是.

8．（2010·浙江宁波十校）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的n值是8，则S0的值为（　　）

A．0B．1

C．2D．3

[答案]　A

[解析]　由题意可知

，

∵n＝8，易验证S0＝0，故选A.

9．（文）（2010·海淀模拟）数列{an}的前n项和是Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：

，，，，，，，，，，，…，

若存在正整数k，使Sk<10，Sk＋1≥10，则ak＝（　　）

A.B.

C.D

.

[答案]　C

[解析]　S

20＋1＝＋＋＋＋＋＝＋1＋＋2＋＋3＝10.5

∵>0.5，

∴S20<10，S21＝10.5>10，即

k＝20

∴a20＝.

（理）（2010·杭州质检）已知在平面直角坐标系中有一个点列：

P1（1,2），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），Pn＋1（xn＋1，yn＋1）（n∈N*），若点Pn（xn，yn）到点Pn＋1（xn＋1，yn＋1）的变化关系为（n∈N*），则|P2009P2010|等于（　　）

A．21004B．10052

C．22010D．20102

[答案]　A

[解析]　

P1（1,2）→P2（1,3）→P3（2,4）→P4（2,6）→P5（4,8）→P6（4,12）→P7（8,16）→P8（8,24）→P9（16,32）→P10（16,48）→P11（32,64）→P12（32,96）→….

由此可归纳出：

P2n－1（2n－1,2n），p2n（2n－1,3×2n－1），

所以P2009（21004,21005），P2010（21004,3×21004），

所以|P2009P2010|＝21004.

10．（文）（2010·广东罗湖区调研）在等差数列{an}中，其前n项和为Sn.若a2，a10是方程x2＋12x－8＝0的两个根，那么S11的值为（　　）

A．44B．－44

C．66D．－66

[答案]

　D

[解析]　∵a2＋a10＝－12，∴S11＝＝

＝＝－66.

（理）（2010·衡水市模考）已知公比不为1的正项等比数列{an}的通项公式为an＝f（n）（n∈N*），记f（x）的反函数为y＝f－1（x），若f－1（3）＋f－1（6）＝7，则数列{an}的前6项乘积为（　　）

A．33B．36

C．63D．183

[答案]　D

[解析]　∵f（x）的反函数为f－1（x），设f－1（3）＝m，

f－1（6）＝－k，则f（m）＝3，f（k）＝6，即，

∵{an}为等比数列，m＋k＝7，

∴a1qm－1＝3，a1qk－1＝a1q6－m＝6，

两式相乘得a12q5＝18，

∴{an}的前6项乘积a1a2a3a4a5a6＝a16·q15＝（a12q5）3＝183，故选D.

二、填空题

11．（2010·新乡市模考）设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为________．

[答案]　

[解析]　＋＝＋＝＝

＝＝＝.

12．（2010·浙江金华十校模考）数列{an}中，Sn是前n项和，若a1＝1,3Sn＝4Sn－1，则an＝________.

[答案]　

[解析]　∵3Sn＝4Sn－1，∴＝，又S1＝a1＝1，

∴{Sn}是以S1＝1，公比为的等比数列，

∴Sn＝n－1，

∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝·n－2，

∴an＝.

13．（文）（2010·浙江杭州质检）已知数列{an}满足：

a1＝1，如果an是自然数，则an＋1＝an－2，否则an＋1＝an＋3，则a6＝________.

[答案]　1

[解析]　a1＝1∈N，∴a2＝a1－2＝－1，a2＝－1∉N，∴a3＝a2＋3＝2；

依次类推有：

a4＝0，a5＝－2，a6＝1.

[点评]　此题若求a2010＝？

，则需研究其周期，你知道其周期是几吗？

（理）（2010·山东聊城联考）设集合M＝{m|m＝7n＋2n，n∈N*，且m<200}，则集合M中所有元素的和为________．

[答案]　450

[解析]　∵n＝6时，m＝7×6＋26＝106，n＝7时，m＝7×7＋27＝177，又28＝256，

∴由m<200知，n≤7，n∈N*，故集合M中所有元素之和为S＝7×（1＋2＋…＋7）＋（21＋22＋…＋27）＝450.

14．（文）（

2010·