质数与合数的基本概念.docx
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质数与合数的基本概念
质数与合数的基本概念
知识点拨
1．质数与合数
一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）.一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：
0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.
考点：
⑴值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.
⑵除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.
2.判断一个数是否为质数的方法
根据定义如果能够找到一个小于p的质数q（均为整数），使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数.
例如：
149很接近，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.
例题精讲
例1：
下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：
美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；
杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；
九天九霄志凌云，九七共庆手相握；
聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．
请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．
例2：
（2008年南京市青少年“科学小博士”思维训练）炎黄骄子菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家．华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖．我们知道正整数中有无穷多个质数（素数），陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：
对任何正整数k，存在无穷多组含有k个等间隔质数（素数）的数组．例如，时，3，5，7是间隔为2的3个质数；5，11，17是间隔为6的3个质数：
而，，是间隔为12的3个质数（由小到大排列，只写一组3个质数即可）．
例3：
（2003年“祖冲之杯”邀请赛）大约1500年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出的值在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把的值精确到7位小数的人．现代人利用计算机已经将的值计算到了小数点后515亿位以上．这些数排列既无序又无规律．但是细心的同学发现：
由左起的第一位3是质数，31也是质数，但314不是质数，在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中恰有一个是质数，是哪个？
例4：
（2004年全国小学奥林匹克）自然数是一个两位数，它是一个质数，而且的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？
例5：
两个质数之和为，求这两个质数的乘积是多少.
例6：
如果a，b均为质数，且，则______.
例7：
A，B，C为3个小于20的质数，，求这三个质数.
例8：
已知3个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这3个质数的乘积是多少？
例9：
小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数．同时，她感到这个号码很容易记住，因为它的形式为，其中，而且和都是质数（和是两个数字）．具有这种形式的数共有多少个？
例10：
（“祖冲之杯”小学数学邀请赛）九九重阳节，一批老人决定分乘若干辆至多可乘32人的大巴前去参观兵马俑．如果打算每辆车坐22个人，就会有1个人没有座位；如果少开一辆车，那么，这批老人刚好平均分乘余下的大巴．那么有多少个老人？
原有多少辆大巴？
例11：
（俄罗斯数学奥林匹克）万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同．如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？
例12：
（第五届“华杯赛”口试第15题）图中圆圈内依次写出了前25个质数；甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计算相邻二质数之积填在下行方格中．
问：
甲填的数中有多少个与乙填的数相同?
为什么?
例13：
（全国小学数学奥林匹克）从1～9中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数．排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是多少？
例14：
（保良局亚洲区城市小学数学邀请赛）用L表示所有被3除余1的全体正整数．如果L中的数（1不算）除1及它本身以外，不能被L的任何数整除，称此数为“L—质数”．问：
第8个“L—质数”是什么？
例15：
9个连续的自然数，每个数都大于80，那么其中最多有多少个质数？
请列举和最小的一组
例16：
（我爱数学少年数学夏令营）用0，1，2，…，9这10个数字组成6个质数，每个数字至多用1次，每个质数都不大于500，那么共有多少种不同的组成6个质数的方法．请将所有方法都列出来．
例17：
从小到大写出5个质数，使后面数都比前面的数大12。
这样的数有几组？
例18：
用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数.
例19：
有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来.
例20：
某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？
把它们写出来.
例20：
7个连续质数从大到小排列是a、b、c、d、e、f、g。
已知它们的和是偶数，那么d是多少？
例22：
从以内的质数中选出个，然后把这个数分别写在正方体木块的个面上，并且使得相对两个面的数的和都相等.将这样的三个木块掷在地上，向上的三个面的三个数之和可能有多少种不同的值？
例23：
将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质，那么A最小是几？
A=（）+（）=（）+（）=（）+（）=（）+（）
例24：
4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油．每瓶和其他各瓶分别合称一次，记录千克数如下：
8，9，10，11，12，13．已知4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内有多少油？
例25：
将60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少
例26：
将50分拆成10个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大的质数是多少？
例27：
将37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？
将每一种拆法中拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？
例28：
如果一个数不能表示为三个不同合数的和，我们称这样的数为“状元数”，最大的“状元数”是几？
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