中考数学复习圆的证明与计算题专题研究.docx
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中考数学复习圆的证明与计算题专题研究
△+△数学中考教学资料2019年编△+△
《圆的证明与计算》专题研究
圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发
挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。
一、考点分析：
1.圆中的重要定理：
（i）圆的定义：
主要是用来证明四点共圆.
（2）垂径定理：
主要是用来证明一一弧相等、线段相等、垂直关系等等^
（3）三者之间的关系定理：
主要是用来证明一一弧相等、线段相等、圆心角相等^
（4）圆周角性质定理及其推轮：
主要是用来证明一一直角、角相等、弧相等.
（5）切线的性质定理：
主要是用来证明一一垂直关系.
（6）切线的判定定理：
主要是用来证明直线是圆的切线.
（7）切线长定理：
线段相等、垂直关系、角相等.
2.圆中几个关键元素之间的相互转化：
弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和方t算中经常用到.
二、考题形式分析：
主要以解答题的形式出现，第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：
①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。
三、解题秘笈：
1、判定切线的方法：
（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。
常见手法有：
全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；
（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。
常见手法：
角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；
总而言之，要完成两个层次的证明：
①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直
线与半径的关系是互相垂直。
在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化，要善
于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：
（1）如图，AB是。
。
的直径，BC^AB,AD//OC交。
。
于D点，求证：
CD为。
O的切线；
（2）如图，以RtAABC的直角边AB为直径作。
O,交斜边AC于D,点E为BC的中点，连结DE,求证：
DE是。
O的切线.
（3）如图，以等腰△ABC的一腰为直径作。
O,交底边BC于D,交另一腰于F,若DEXAC于E（或E为CF中点），求证：
DE是OO的切线.
（4）如图，AB是。
O的直径，AE平分/BAF,交。
。
于点E,过点E作直线EDXAF,交AF的延长线于点D,交AB的延长线于点C,求证：
CD是。
O的切线.
2、与圆有关的计算：
计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。
分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。
特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。
其中重要而常见的数学思想方法有：
（1）构造思想：
如：
①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：
弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数.
（2）方程思想：
设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相
等关系建立方程，解决问题。
（3）建模思想：
借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间
的数量关系。
3、典型基本图型：
图形1：
如图1：
AB是。
。
的直径，点E、C是。
。
上的两点，基本结论有：
图形2:
如图：
Rt/ABC中，/ACB=90°。
点O是AC上一点，以OC为半径作。
。
交AC于点E,基本结论有：
图1
图2
图3
（1）在“BO平分/CBA"；“BO//DE"；“AB是。
O的切线”；“BD=BC"。
四个论断中，知一推三。
一一一一，、…L、I--1一一一一一12
（2）①G是力BCD的内心；②CG=GD；③/BCOs』CDEnBO?
DE=CO?
CE=—CE2;
2
（3）在图
（1）中的线段BC、CE、AE、AD中，知二求四。
（4）如图（3）,若①BC=CE,贝U:
②~AE=3=tan/ADE;③BC:
AC：
AB=3:
4:
5;（在
AD2
①、②、③中知一推二）④设BE、CD交于点H,,则BH=2EH
（1）如图1：
①AD+BC=CD;②/COD=/AEB=90°;③OD平分/ADC（或OC平
分/BCD）;（注：
在①、②、③及④CD是。
。
的切线”四个论断中，知一推三）
-1一
④ADBC=—AB2=R2；
4
（2）如图2,连AE、CO,则有：
CO//AE,CO?
AE=2R2（与基本图形2重合）
（3）如图3,若EFXAB于F,交AC于G,则：
EG=FG.
中，知二推一
图形6：
如图：
直线PR，。
O的半径OB于E,PQ切。
。
于Q,BQ交直线PQ于R。
基本结论有：
（1）PQ=PR（NPQR是等腰三角形）；
（2）在“PR^OB”、“PQ切。
0"、“PQ=PR
（3）2PRRE=BRRQ=BE2R=AB2
图形7：
如图，/ABC内接于。
0,I为丛ABC的内心。
（1）如图1,①BD=CD=ID;②DI2=DEDA;
③/AIB=90°+-/ACB;
2
图形8：
已知，AB是。
。
的直径,
（2）如图2,若/BAC=60°,贝U:
BD+CE=BC.
C是BG中点，CDLAB于D。
BG交CD、AC
于E、F。
基本结论有：
（1）CD=-BG;BE=EF=CE;GF=2DE
2
一、,一1一
（反之，由CD=-BG或BE=EF可得：
C是BG中点）
2
（2）OE=-AF,OE//AC;NODEs/AGF
2
（3）BEBG=BDBA
（4）若D是OB的中点，则：
①/CEF是等边三角形；②四、范例讲解：
cc
例题1:
4ABP中，/ABP=90°,以AB为直径作。
。
交AP于C点，弧CF=CB,过C作
AF的垂线，垂足为M,MC的延长线交BP于D.
（1）求证：
CD为。
。
的切线；
（2）连BF交AP于E,若BE=6,EF=2,求-EF的值。
AF
例题2:
直角梯形ABCD中，/BCD=90°,AB=AD+BC,AB为直径的圆交
BD交于F.
⑴求证：
CD为。
。
的切线
⑵若BE=3,求见的值
AB5DF
BC于E,连OC、
例题3:
如图，AB为直径，PB为切线，点C在。
。
上，AC//OPo
（1）求证：
PC为。
。
的切线。
DG一一
（2）过D点作DE^AB,E为垂足，连AD交BC于G,CG=3,DE=4,求——的值。
DB
例题4（2009调考）：
如图，已知4ABC中，以边BC为直径的。
。
与边AB交于点D,点E
为BD的中点，AF为△ABC的角平分线，且
（1）求证：
AC与。
。
相切；
（2）若AC=6,BC=8,求EC的长
五、练习:
1.如图，RtAABC,以AB为直径作。
。
交AC于点D,BD=DE，过D作AE的垂线,
F为垂足.
（1）求证：
DF为。
。
的切线；
（2）若DF=3,。
。
的半径为5,求tan/BAC的值.
2.如图，AB为。
O的直径，C、D为。
O上的两点，AD=DC,过D作直线BC的垂
线交直线AB于点E,F为垂足.
（1）求证：
EF为。
。
的切线；
（2）若AC=6,BD=5,求sinE的值.
3.如图，AB为。
。
的直径，半径OC^AB,D为AB延长线上一点，过D作。
。
的切
线，E为切点，连结CE交AB于点F.
（1）求证：
DE=DF;
（2）连结AE,若OF=1,BF=3,求tan/A的值.
4
.如图，Rt^ABC中，/C=90°,BD平分/ABC,以AB上一点。
为圆心过B、D两
。
交BC于点D,DELAC于E.
（1）求证：
。
。
与AC相切；
（2）若EF=3,BC=4,求tanZA的值.
5.如图，等腰△ABC中，AB=AC,以AB为直径作。
（1）求证：
DE为。
。
的切线；
（2）若BC=4而，AE=1,求cos/AEO的值.
6.如图，BD为。
O的直径，A为BC的中点，AD交BC于点E,F为BC延长线上一点，且FD=FE.
（1）求证：
DF为。
。
的切线；
（2）若AE=2,DE=4,△BDF的面积为8J3,求tan/EDF的值.
7、如图，AB是。
O的直径，M是线段OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N,
交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,且/ECF=ZE.
（1）求证：
CF是。
。
的切线；
（2）设。
。
的半径为1,且AC=CE=J3,求AM的长.
8、如图，AB是。
。
的直径,
BCXAB,过点C作。
O的切线CE,点D是CE延长线
上一点，连结AD,且AD+BC=CD
（1）求证：
AD是。
。
的切线;
（2）设OE交AC于F,若OF=3,EF=2,求线段BC的长.
9、如图，△ABC中，AB=BC,以AB为直径的。
。
交AC于点D,且CD=BD.
（1）求证：
BC是。
。
的切线；
（2）已知点M、N分别是AD、CD的中点，BM延长线交。
。
于E,EF//AC,分别交
BD、BN的延长线于H、F,若DH=2,求EF的长.
F
E
10、如图，AB是半。
。
上的直径，E是BC的中点，OE交弦BC于点D,过点C作交
AD的平行线交OE的延长线于点F./ADO=/B.
（1）求证：
CF为。
O的。
O切线；
（2）求sinZBAD的值.
11、如图，/ABC中，AB=AC,以AC为直径的。
。
与AB相交于点E,点F是BE的
中占
I八、、♦
（1）求证：
DF是。
。
的切线.
（2）若AE=14,BC=12,求BF的长
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