中考数学复习圆的证明与计算题专题研究.docx

1、中考数学复习圆的证明与计算题专题研究+数学中考教学资料2019年编+圆的证明与计算 专题研究圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题， 此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。一、考点分析：1.圆中的重要定理：(i)圆的定义：主要是用来证明四点共圆.(2)垂径定理：主要是用来证明一一弧相等、线段相等、垂直关系等等 (3)三者之间的关系定理：主要是用来证明一一弧相等、线段相等、圆心角相等 (4)圆周角性质定理及其推轮：主要是用来证明一一直角、角相等、弧相等 .(5)切线的性质定理：主要是用来证明一一垂直关系 .(6)切线的判定定理：主要是用来证明直线是圆的切线

2、.(7)切线长定理：线段相等、垂直关系、角相等 .2.圆中几个关键元素之间的相互转化 ：弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来 互相转化.这在圆中的证明和方t算中经常用到 .二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现，第1问主要是判定切线；第 2问主要是与圆有关的计算： 求线段长(或面积)；求线段比；求角度的三角函数值(实质还是求线段比) 。三、解题秘笈：1、判定切线的方法：(1)若切点明确，则“连半径，证垂直” 。常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、 勾股定理证垂直；(2)若切点不明确，则“作垂直，证半径” 。常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合

3、一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点) ；直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化 ，要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线 .例：(1)如图，AB是。的直径，BCAB, AD/ OC交。于D点，求证：CD为。O 的切线；(2)如图，以RtAABC的直角边 AB为直径作。O,交斜边 AC于D ,点E为BC的中 点，连结DE ,求证：DE是。O的切线.(3)如图，以等腰 ABC的一腰为直径作。O,交底边BC于D,交另一腰于 F,若 DE XAC于E (或E为CF中点)，求证：DE是O O的切线.(4)如图

4、，AB是。O的直径，AE平分/ BAF,交。于点E,过点E作直线EDXAF, 交AF的延长线于点 D,交AB的延长线于点 C,求证：CD是。O的切线.2、与圆有关的计算：计算圆中的线段长或线段比， 通常与勾股定理、 垂径定理与三角形的全等、 相似等知识 的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系， 选择定理进行线 段或者角度的转化。 特别是要借助圆的相关定理进行弧、 弦、角之间的相互转化， 找出所求 线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：(1)构造思想：如：构建矩形转化线段；构建“射影定理”基本图研究线段(已知 任意两条线段可求

5、其它所有线段长)；构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径； 构造勾股定理模型；构造三角函数 .(2)方程思想：设出未知数表示关键线段， 通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。(3)建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系， 把问题分解为若干基本图 形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论， 进而找出隐藏的线段之间的数量关系。3、典型基本图型：图形1：如图1： AB是。的直径，点E、C是。上的两点，基本结论有：图形2:如图：Rt/ABC中，/ ACB=90。点O是AC上一点，以 OC为半径作。交AC 于点E,基本结论有：图1图2图3(1)在 “

6、BO 平分/ CBA ； “BO/ DE ； “AB 是。O 的切线” ；“ BD=BC 。四个论断中， 知一推三。一一 一 一，、 L、 I- 1 一一 一 一一 1 2(2)G 是力 BCD 的内心； CG=GD ；/BCOsCDEn BO?DE=CO?CE= CE2;2(3)在图(1)中的线段 BC、CE、AE、AD中，知二求四。(4)如图(3),若 BC=CE,贝U: AE =3 =tan/ADE; BC: AC： AB=3: 4: 5 ;(在AD 2、中知一推二)设 BE、CD交于点H,则BH=2EH(1)如图 1： AD+BC=CD; / COD = /AEB=90 ; OD 平分

7、/ ADC (或 OC 平分/BCD);(注：在、及CD是。的切线”四个论断中，知一推三)- 1 一AD BC= AB2=R2；4(2)如图2,连AE、CO,则有：CO/AE, CO?AE=2R2(与基本图形 2重合)(3)如图 3,若 EFXAB 于 F,交 AC 于 G,则：EG=FG.中，知二推一图形6：如图：直线 PR，。O的半径 OB于E, PQ切。于Q, BQ交直线PQ于R。 基本结论有：(1)PQ=PR (NPQR是等腰三角形)；(2)在 “PROB”、“PQ 切。0、“PQ=PR(3)2PR RE=BR RQ=BE 2R=AB2图形7：如图，/ABC内接于。0, I为丛ABC的

8、内心。(1)如图 1, BD=CD=ID ; DI2=DE DA;/ AIB=90 + - / ACB;2图形8：已知，AB是。的直径,(2)如图 2,若/ BAC=60 ,贝U: BD+CE=BC.C是 BG 中点，CD LAB 于 D。BG 交 CD、AC于E、F。基本结论有：(1)CD = - BG; BE=EF=CE ; GF= 2DE2一、,一1 一(反之，由CD= -BG或BE=EF可得：C是BG中点)2(2)OE= - AF, OE/AC; NODEs/AGF2(3)BE BG=BD BA(4)若D是OB的中点，则：/CEF是等边三角形； 四、范例讲解：c c例题1: 4ABP中

9、，/ ABP=90 ,以AB为直径作。交AP于C点，弧CF = CB ,过C作AF的垂线，垂足为 M, MC的延长线交BP于D.(1)求证：CD为。的切线；(2)连 BF 交 AP 于 E,若 BE=6, EF=2,求-EF 的值。AF例题2:直角梯形 ABCD中，/BCD=90, AB=AD+BC , AB为直径的圆交BD交于F.求证：CD为。的切线若BE = 3 ,求见的值AB 5 DFBC 于 E,连 OC、例题3:如图，AB为直径，PB为切线，点 C在。上，AC/ OPo(1)求证：PC为。的切线。DG 一一(2)过D点作DEAB, E为垂足，连 AD交BC于G, CG=3, DE=4

10、 ,求 的值。DB例题4 (2009调考)：如图，已知4ABC中，以边BC为直径的。与边AB交于点D,点E为BD 的中点，AF为 ABC的角平分线，且(1)求证：AC与。相切；(2)若 AC=6, BC=8,求 EC 的长五、练习:1.如图，RtAABC,以AB为直径作。交AC于点D, BD=DE，过D作AE的垂线,F为垂足.(1)求证：DF为。的切线；(2)若DF=3,。的半径为5,求tan/BAC的值.2.如图，AB为。O的直径，C、D为。O上的两点，AD=DC ,过D作直线BC的垂线交直线AB于点E, F为垂足.(1)求证：EF为。的切线；(2)若 AC=6 , BD=5 ,求 sin

11、E 的值.3.如图，AB为。的直径，半径 OCAB, D为AB延长线上一点，过 D作。的切线，E为切点，连结 CE交AB于点F.(1)求证：DE=DF ;(2)连结 AE,若 OF=1, BF=3,求 tan/A 的值.4.如图，RtABC中，/ C=90, BD平分/ ABC,以AB上一点。为圆心过 B、D两。交BC于点D, DEL AC于E.(1)求证：。与AC相切；(2)若 EF=3, BC=4,求 tanZA 的值.5.如图，等腰 ABC中，AB=AC ,以AB为直径作。(1)求证：DE为。的切线；(2)若 BC=4而，AE=1,求 cos/AEO 的值.6.如图，BD为。O的直径，A

12、为BC 的中点，AD交BC于点E, F为BC延长线上 一点，且 FD=FE.(1)求证：DF为。的切线；(2)若 AE=2, DE=4, BDF 的面积为 8J3 ,求 tan/EDF 的值.7、如图，AB是。O的直径，M是线段OA上一点，过 M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点 E,直线 CF交EN于点F,且/ ECF = Z E.(1)求证：CF是。的切线；(2)设。的半径为1,且AC=CE = J3,求AM的长.8、如图，AB是。的直径,BCXAB,过点C作。O的切线 CE,点D是CE延长线上一点，连结 AD,且 AD+BC=CD(1)求证：AD是。的切线;(2)设OE交AC于

13、F,若 OF=3, EF=2,求线段 BC的长.9、如图， ABC中，AB=BC,以AB为直径的。交AC于点D,且CD=BD .(1)求证：BC是。的切线；(2)已知点M、N分别是AD、CD的中点，BM延长线交。于E, EF/ AC,分别交BD、BN的延长线于 H、F,若DH =2 ,求EF的长.FE10、如图，AB是半。上的直径，E是BC的中点，OE交弦BC于点D,过点C作交AD的平行线交 OE的延长线于点 F. /ADO=/B.(1)求证：CF为。O的。O切线；(2)求 sin Z BAD 的值.11、如图，/ABC中，AB = AC,以AC为直径的。与AB相交于点 E,点F是BE的中占I 八、(1)求证：DF是。的切线.(2)若 AE= 14, BC= 12,求 BF 的长