完整版初二第一章直角三角形讲义.docx

1、完整版初二第一章直角三角形讲义直角三角形一、 直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：直角三角形两锐角直角三角形斜边的中线等于在直角三角形中如果有一个锐角是 30，那么它所对 _ 边是_ 边的一半二、 直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：定义法有一个角是 的三角形是直角三角形有两个角 的三角形是直角三角形如果一个三角形一边上的中线等于这边的 这个三角形是直角三角形三、 勾股定理和它的逆定理：1、勾股定理：若 一 个直角三角形的两直角边为 a、b斜边为 c则 a、b、c满足 逆定理：若一个三角形的三边 a、b、c满足 则这个三角形是直角三角形1、

2、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、 勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据,3、 勾股数，列举常见的勾股数三组 、 、2、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半（请画图）3、 在Rt三角形中，30的边所对的角是斜边的一半。 （请画图）4、 直角三角形的边角关系与几种特殊的三角形边角线判定直角 三角形:1A u*2 . 2 2 a b c两 锐 角 互 余CD=AD=BD（斜边上的中线等于 斜边的一半）若/ A+Z B=90,贝U ABC为 Rt ;卄 亠 黄金 直角三角形;|C眄 n Ba: b : c1:2应用：1斜边上的中线把 Rt

3、 分成两等腰三角 形；2等腰Rt 斜边上的 中线把它分为两个全 等的等腰Rto2若 a b2 c2,则厶ABC为Rt ;3若 CD=AD=BD 则厶ABC为Rt ;等腰 直角 三角形AbCaBa : b : c1:12C1、如图，已知 ABC为直角三角形，/ C=90若沿图中虚线剪去/ C,则/ 1 + / 2等于（）A. 90 B. 135 C. 270 D. 315 12、已知：如图， ABC中,AB=AC,BD丄 AC于 D点,BD= AC.则/A= .23、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半 ，则其顶角为 .4、将一个有45角的三角板的直角顶点放在一张宽为 3cm的纸带边

4、沿上.另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一 一边所在的直线成30角，如图，则三角板的最大边的长为（ ）A. 3cm B. 6cm C. 3迈 cm D. 6 V2 cm变式：1、如图，在 ABC中，/ ACB=90 , / A=15 ,AB=8cm, CD为AB的中线，求 ABC的面积。A D B2、如图，在 Rt ABC中，CD是斜边上的中线， CELAB,已知 AB=10cm DE=2.5cm,求CD和/ DCE5、已知：如图,AD ABC的高,E为AC上的一点,BE交AD于 F,且有BF=AC,FD=CD,求证:BE丄AC.1、女口图/ B= / ACD=90 , A

5、D=13,CD=12, BC=3,贝U AB 的长是多少2、2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图 ，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形（如图） ，如果大正方形的面积是 13,小正方形的面积是 1，直角三2角形的较短直角边长为 a，较长直角边长为 b，那么（a b）的值为（ ）A. 13 B. 19 C. 25 D. 1693.如图，已知在 Rt ABC中，/ ACB=90 , AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为 S1、S2,则S1+S2变式：1、如图网格中一个四边形 ABCD ?若小方格正方形的边长为 1, ?

6、则四边形ABCD的周长是2、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形 的面积分别为2, 5, 1, 2.则最大的正方形 E的面积是3 在直线I上依次摆放着七个正方形 （如图所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是 S1、S2、S3、S4，贝y Si+ S2 + S3+ S4等于（ ）例：如图，在 Rt DBC中，/ C=90,/ A=300, BD是/ ABC的平分线，AD=20，求BC的长。如图，在等腰直角三角形 ABC中， C 90o, D是斜边AB上任一点，AE丄CD于E, BF丄CD 并交CD

7、的延长线于F, CH丄AB于H，交AE于G .求证：BD CG .直角三角形与等腰三角形的综合1、如图，在 Rt ABC中，AB=AC . D, E是斜边 BC上两点，且/ DAE=45。，将 ADC绕点A顺时针旋转90 后，得至AFB,连接 EF,下列结论: AED AEF;厶 ABE ACD;BE+DC=DE ;BE2+DC2=DE2 其中正确的是（ ）变式：1.在 ABC中，AB=AC，/ BAC=90 , D、E为斜边BC上两点（不与 B、C重合），且/ DAE=45。，把 ABD沿着AD折叠，得到 ADF .那么正确结论有（ ）1厶DEF是直角三角形；2厶 AFE ACE ;3BD+

8、EC DE;4AF是/ BAC的平分线.A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个AC于点E, F，给出以下四个结论： AE=CF ;直 EPF是等腰直角三角形； S四边形2、如图所示，已知 ABC中，AB=AC，/ BAC=90 ，直角/ EPF的顶点P是BC中点，两边 PE、PF分别交AB、 AEPFJ SABC : EF=AP .当2）1.如右图：在四边形 ABCD中, AB=2, CD=1 / A=60,求AD的长，与四边形 ABCD的面积。2. 来源:学|科|网Z|X|X|KA. 154:如图，已知BE丄AD CF丄AD且BE= CF请你判断 AD是 ABC勺中线还是角平

9、分线？请说明你判断的理由.图（19）7:在直角三角形中，若两直角边 a,b满足a b 17,ab 60,则斜边长为点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端 A下滑多少米?9.如图，在平面直角坐标系中， Rt OAB的直角边OA在x轴的正半轴上，点 B在第一象限，将 OAB绕点O按逆时针方向旋转到 OA B,使点B的对应点B落在y轴的正半轴上，已知 OB=2 / BOA=3O 。（1） 求点B与点A 的坐标；（2） 求经过点B与点B的直线所对应的一次函数解析式 ，并判断断点A是否在直线BB上.课后练习A组（基础巩固）1、 下列说法：1若在 ABC中a2+b2，则厶ABC不是直角

10、三角形；0 2 2 22若 ABC是直角三角形，/ C=90，则a +b =c ;3若在 ABC中，a2+b2=c2，则/ C=9（f;4若两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。正确的有 （把你认为正确的序号填在横线上） 。2、 在以下列各组数为边长的三角形，不是直角三角形的是 （ ）A、3, 4, 5 B、2, 2, 3 C、7, 24, 25 D、2, 7 , 31、2、3，正放置的四个正方3在直线I上依次摆放着七个正方形（如图）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是形的面积依次是 Si、S2、s、S4,贝y S1+ 2S2+ 2S3+ S4等于（）D 、106.如

11、图，有两个长度相同的滑梯（即 BC=EF，左边滑梯的高度 AC?与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则/ ABC+/ DFE的度数为（ ）A 60 0 B 90 0 C 120 0 D 不确定7 如图，要为一段高为 5米，水平长为13米的 楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 米。&用刻度尺和圆规在数轴上找出 5的点.9 .如图 2,已知/ BAC=30 , AD=BD , AB 丄 BC, AD 丄DB , BC=4 , 求(1) AD、AC、AB的长度。(2)求四边形ADBC的面积。B组（能力提升）1、直角三角形的周长为12cm,斜边的长为5cm,则其面积为 ；3如图，已知 AC=5cm , BC

12、=12cm , AC丄BC , CD丄AB于D，求线段 CD和AD的长?5、如图，直角三角形两条直角边 点E重合。求CD的长。4、一个直角三角形的两边长分别是 5, 12,那么它斜边上的中线长是多少？它斜边上的高线长是多少?AC=6cm，BC=8cm ,现将直角边 AC沿AD折叠，使它落在斜边 AB上，点C与C组(拓展提高)1.如图1,点P、Q分别是边长为4cm的等边 ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出 发，且它们的速度都为 1cm/s,(1)连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，/ CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它 的度数；(2)何时 PBQ是直角三角形？(3) 如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线 AB、BC上运动，直线 AQ、CP交点为M,则/ CMQ变化吗? 若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数.2 .如图，已知一个四边形的四条边 AB , BC, CD和DA的长分别是3, 4, 13和12,其中/ B=90。，求这个四边形的面积。