函数及其表示方法基础.docx
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函数及其表示方法基础
函数及其表示方法A
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
（1）会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.
（2）能正确认识和使用函数的三种表示法：
解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
（3）求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．
学习策略：
●通过实例用对应的观点来理解函数，用映射的观点理解函数.
●函数的三种表示方法各有优点，应多注意图象法，“以形助数”和“以数辅形”
二、学习与应用
初中学习函数的定义：
一般地，在一个过程中，如果有两个x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有的值与其对应，那么我们就说x是，y是x的.如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的.
要点一：
函数的概念
1．函数的定义
设A、B是非空的集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的一个数x，在集合B中都有的数f（x）和它对应，那么就称f:
A→B为从集合A到集合B的一个函数.
记作：
y=f（x），x
A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x
A叫做函数的.
要点诠释：
（1）A、B集合的性；
（2）对应关系的性、性、
性；（3）A中元素的性；（4）B中元素的性。
2．构成函数的三要素：
定义域、对应关系和值域
①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数
（或为同一函数）；
②两个函数相等当且仅当它们的和完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.
3．区间的概念
（1）区间的分类：
开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示．
区间表示：
；{x|a≤x≤b}=；
；
；
；
.
要点二：
函数的表示法
1．函数的三种表示方法：
解析法：
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：
简明，给自变量求函数值.
图象法：
用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：
直观形象，反应变化趋势.
列表法：
列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：
不需计算就可看出函数值.
2．分段函数：
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
要点三：
映射与函数
1.映射定义：
设A、B是两个，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的一个元素，在集合B中都有元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：
A→B.
象与原象：
如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.
要点诠释：
（1）A中的每一个元素都有，且；
（2）B中的元素未必有，即使有，也未必；
（3）a的象记为.
2.如何确定象与原象
对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.
3.函数与映射的区别与联系：
设A、B是两个非空数集，若f：
A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f（x）.
要点诠释：
（1）函数一定是，映射不一定是；
（2）函数三要素：
、、；
（3）B中的元素未必有，即使有原象，也未必；
（4）原象集合=域，域=象集合.
4.函数定义域的求法
（1）当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式的自变量的
取值的集合.具体地讲，就是考虑，偶次根号的，
零次幂的以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.
（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.
（3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个
集合，其结果必须用或来表示.
5.函数值域的求法
实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，
值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：
观察法：
通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的
图象的“”和“”，观察求得函数的值域；
配方法：
对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，
利用求的值域方法求函数的值域；
判别式法：
将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于
一些“”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；
换元法：
通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，
从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.
类型一：
函数的概念
例1：
下列式子是否能确定
是
的函数？
（1）
（2）
（3）
.
【答案】
【解析】
（1）
（2）
（3）
【总结升华】
例2．下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，为什么？
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
【思路点拨】对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，
否则等号不成立.
【解析】
（1）
（2）
（3）
（4）
【总结升华】
举一反三：
【变式1】判断下列命题的真假
（1）y=x-1与
是同一函数；
（2）
与y=|x|是同一函数；
（3）
是同一函数；
（4）
与g（x）=x2-|x|是同一函数.
【答案】
【解析】
类型二：
函数定义域的求法
例3.求下列函数的定义域（用区间表示）.
（1）
；
（2）
； （3）
.
【思路点拨】由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围.
（1）是分式，只要分母不为0即可；
（2）是二次根式，需根式有意义；（3）只要使得根式和分式都有意义即可．
【答案】
【解析】
（1）
（2）
（3）
【总结升华】
举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域（用区间表示）：
（1）
；
（2）
；（3）
.
【答案】
【解析】
（1）
（2）
【总结升华】小结几类函数的定义域：
（1）如果f（x）是整式，那么函数的定义域是；
（2）如果f（x）是分式，那么函数的定义域是集合；
（3）如果f（x）是二次根式，那么函数的定义域是集合；
（4）如果f（x）是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是集合；
（即求各集合的交集）
（5）满足实际问题有意义.
类型三：
求函数的值及值域
例4.已知f（x）=2x2-3x-25，g（x）=2x-5，求：
（1）f
（2），g
（2）；
（2）f（g
（2）），g（f
（2））；（3）f（g（x）），g（f（x））
【思路点拨】根据函数符号的意义，可以知道f（g
（2））表示的是函数f（x）在x=g
（2）处的函数值，其它同理可得．
【答案】
【解析】
【总结升华】
例5.求值域（用区间表示）：
（1）y=x2-2x+4，①
；②
；
.
【答案】
【解析】
（1）法一：
法二：
【总结升华】
举一反三：
【变式1】求下列函数的值域：
（1）
；
（2）
；（3）
；（4）
。
【答案】
【解析】
（1）
（2）
（3）
（4）
类型四：
映射与函数
例6.判断下列对应哪些是从集合A到集合B的映射，哪些是从集合A到集合B的函数？
（1）A={直角坐标平面上的点}，B={（x，y）|
}，对应法则是：
A中的
点与B中的（x，y）对应。
（2）A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则是：
作三角形的外接圆；
（3）A=N，B={0，1}，对应法则是：
除以2的余数；
（4）A={0，1，2}，B={4，1，0}，对应法则是f：
（5）A={0，1，2}，B={0，1，
}，对应法则是f：
【思路点拨】根据映射定义分析是否满足“A中任意”和“B中唯一”．
【解析】
【总结升华】
举一反三：
【变式1】下列对应哪些是从A到B的映射？
是从A到B的一一映射吗？
是从A
到B的函数吗？
（1）A=N，B={1，-1}，f：
x→y=（-1）x；
（2）A=N，B=N+，f：
x→y=|x-3|；
（3）A=R，B=R，
（4）A=Z，B=N，f：
x→y=|x|；
（5）A=N，B=Z，f：
x→y=|x|；
（6）A=N，B=N，f：
x→y=|x|.
【解析】
类型五：
函数解析式的求法
例7.求函数的解析式
（1）若
，求
；
（2）若
，求
；
（3）已知
，求
。
【答案】
【解析】求函数的表达式可由两种途径.
（1）
（2）法一：
法二：
（3）
【总结升华】
举一反三：
【变式1】已知f（x+1）=x2+4x+2，求f（x）。
【答案】
【解析】（法1）
（法2）
（法3）
【总结升华】
类型六：
函数的图象
例8.作出下列函数的图象.
（1）
；
（2）
；（3）
。
【思路点拨】先把要画的函数图象进行变形，依据所学习过的基本函数图象，通过函数图象的平移、对称和翻折得到要求的图象。
【解析】
类型七：
分段函数
例9.函数
中，若
，则
的值为（）。
A．1B．1或
C．
D．
【思路点拨】分段函数求值，必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.
【答案】
【解析】
【总结升华】
举一反三：
【变式1】已知
，若
，则实数
A．-4或-2 B．-4或2 C．-2或4 D．-2或2
【答案】
【解析】
三、测评与总结
要想学习成绩好，总结测评少不了！
课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力．
知识点：
函数及其表示方法
测评系统分数：
模拟考试系统分数：
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#6425#进行巩固练习，如果你的分数在85分以上，请进入网校资源ID：
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