函数及其表示方法基础.docx

1、函数及其表示方法基础函数及其表示方法 A一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法了解每种方法的优点在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用学习策略：通过实例用对应的观点来理解函数，用映射的观点理解函数.函数的三种表示方法各有优点，应多注意图象法，“以形助数”和“以数辅形”二、学习与应用初中学习函数的定义：一般地，在一个

2、 过程中，如果有两个 x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有 的值与其对应，那么我们就说x是 ，y是x的 .如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的 .要点一：函数的概念1函数的定义设A、B是非空的 集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的 一个数x，在集合B中都有 的数f(x)和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的 .要点诠释：（1）A、B集合的 性；（2）对应关系的 性、 性、 性；（3）A中元素的 性；（

3、4）B中元素的 性。2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全致，即称这两个函数 (或为同一函数)；两个函数相等当且仅当它们的 和 完全致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示区间表示： ； x|axb= ； ； ； ； .要点二：函数的表示法1函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系

4、优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系 优点：不需计算就可看出函数值.2分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况要点三：映射与函数1.映射定义：设A、B是两个 ，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的 一个元素，在集合B中都有 元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：AB.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.要点诠释：（1）A中的每一个元素都有 ，且 ； （2）B中的元素未必有 ，即使

5、有，也未必 ；（3）a的象记为 .2.如何确定象与原象对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.3.函数与映射的区别与联系：设A、B是两个非空数集，若f：AB是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).要点诠释：（1）函数一定是 ，映射不一定是 ；（2）函数三要素： 、 、 ；（3）B中的元素未必有 ，即使有原象，也未必 ；（4）原象集合= 域， 域=象集合.4.函数定义域的求法(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义

6、域就是使函数解析式 的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑 ，偶次根号的 ，零次幂的 以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用 或 来表示.5.函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“ ”和“ ”，观察求得函数的值

7、域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求 的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“ ”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约. 类型一：函数的概念例1：下列式子是否能确定是的函数？（1）（2）（3）

8、.【答案】【解析】（1）（2）（3）【总结升华】例2下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，为什么？（1）；（2）；（3）；（4）；【思路点拨】对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.【解析】（1）（2）（3）（4）【总结升华】举一反三：【变式1】判断下列命题的真假(1)y=x-1与是同一函数；(2)与y=|x|是同一函数；(3)是同一函数；(4)与g(x)=x2-|x|是同一函数.【答案】【解析】类型二：函数定义域的求法例3.求下列函数的定义域(用区间表示).(1)； (2)；(3).【思路点拨】由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取

9、值范围. (1)是分式，只要分母不为0即可；(2)是二次根式，需根式有意义；(3)只要使得根式和分式都有意义即可【答案】 【解析】（1）（2）（3）【总结升华】举一反三：【变式1】求下列函数的定义域（用区间表示）：(1)； (2)；（3）.【答案】【解析】（1）（2）【总结升华】小结几类函数的定义域：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是 ；(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是 集合；(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是 集合；(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是 集合；(即求各集合的交集)(5)满足实际问题有意义.类型三：求函数的值及值域

10、例4. 已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：(1)f(2)，g(2)； (2)f(g(2)，g(f(2)； (3)f(g(x)，g(f(x)【思路点拨】根据函数符号的意义，可以知道f(g(2)表示的是函数f(x)在x=g(2)处的函数值，其它同理可得【答案】【解析】【总结升华】例5. 求值域(用区间表示)：(1)y=x2-2x+4，；.【答案】【解析】(1)法一：法二：【总结升华】举一反三：【变式1】 求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）；（4）。【答案】【解析】（1）（2）（3）（4）类型四：映射与函数例6. 判断下列对应哪些是从集合A到集合B的映射，哪些是从集合A

11、到集合B的函数？（1）A=直角坐标平面上的点，B=（x，y）|，对应法则是：A中的点与B中的（x，y）对应。（2）A=平面内的三角形，B=平面内的圆，对应法则是：作三角形的外接圆；（3）A=N，B=0，1，对应法则是：除以2的余数；（4）A=0，1，2，B=4，1，0，对应法则是f：（5）A=0，1，2，B=0，1， ，对应法则是f：【思路点拨】根据映射定义分析是否满足“A中任意”和“B中唯一”【解析】【总结升华】 举一反三：【变式1】下列对应哪些是从A到B的映射？是从A到B的一一映射吗？是从A到B的函数吗？(1)A=N，B=1，-1，f：xy=(-1)x；(2)A=N，B=N+，f：xy=|

12、x-3|； (3)A=R，B=R，(4)A=Z，B=N，f：xy=|x|；(5)A=N，B=Z，f：xy=|x|；(6)A=N，B=N，f：xy=|x|.【解析】类型五：函数解析式的求法例7. 求函数的解析式(1)若，求；(2)若，求；(3)已知，求。【答案】【解析】求函数的表达式可由两种途径.（1）（2）法一：法二：（3）【总结升华】 举一反三：【变式1】 已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)。【答案】【解析】(法1)(法2)(法3)【总结升华】 类型六：函数的图象例8.作出下列函数的图象.（1）；（2）；（3）。【思路点拨】先把要画的函数图象进行变形，依据所学习过的基本函数图象，通

13、过函数图象的平移、对称和翻折得到要求的图象。【解析】类型七：分段函数例9.函数中，若，则的值为（ ）。A1 B1或 C D【思路点拨】分段函数求值，必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系. 【答案】【解析】【总结升华】 举一反三：【变式1】 已知，若，则实数A-4或-2B-4或2 C-2或4 D-2或2【答案】【解析】三、测评与总结要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力知识点：函数及其表示方法测评系统分数： 模拟考试系统分数： 如果你的分数在85分以下，请进入网校资源ID：#6425# 进行巩固练习，如果你的

14、分数在85分以上，请进入网校资源ID：#6518# 进行能力提升我的收获习题整理题目或题目出处所属类型或知识点分析及注意问题好题错题注：本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录知识导学：函数及其表示方法（基础）（#）若想知道北京四中的同学们在学什么，请去“四中同步”看看吧！和四中的学生同步学习，同步提高！更多资源，请使用网校的学习引领或搜索功能来查看使用对本知识的学案导学的使用率： 好（基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等，使用率达到80%以上） 中（使用本学案导学提供的资源、例题和笔记，使用率在50%-80%左右） 弱（仅作一般参考，使用率在50%以下）学生：_ 家长：_ 指导教师：_请联系北京四中网校当地分校以获得更多知识点学案导学