概率与数理统计一维随机变量习题及答案.docx
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概率与数理统计一维随机变量习题及答案
第2章一维随机变量习题2
一.填空题:
常数＞0,则C的值应是
e
。
1C-
K0
K
1k!
Ce1Ce
C
0
K
k!
解：
P
K0
k1
K
5设
随机变量
的分布律
是
P
kA-
k
k
123,4
2
F（x）单调不减，函数F（x）右连续，日F（）=0，F（+）=1
7.随机变量〜N（a,2），记g（）Pa,
则随着的增大，g（）之值保持不变
8•设〜N（1,1），记的概率密度为（x）,分布函数为F（x），贝U
P1P1。
9、分别用随机变量表示下列事件
（1）观察某电话总机每分钟内收到的呼唤次数，试用随机变量表示事件
6
.“收到呼唤3次”{X3}“收到呼唤次数不多于6次”{X6}{Xk}
k0
（2）抽查一批产品，任取一件检查其长度，试用随机变量表示事件
“长度等于10cm”=_{X10}；
“长度在10cm到之间”={10X10.1}
大号码，则X的分布律为：
X
3
4
5
Pk
1
3
6
10
10
10
10、一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取
3只，以x表示取出的3只球中的最
二.计算题：
4、飞机上载有3枚对空导弹，
未击中则再发射第二枚，再未击中再发射第三枚，求发射导弹数的分布律
1、将一颗骰子抛掷两次，以X!
表示两次所得点数之和，以X2表示两次中得到的小的点数，试
分别写出X,,X2的分布律.
X1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
Pk
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
X
0
1
2
22
12
1
pk
35
35
35
（1）设随机变量
X的分布律为：
P{X
k
k}a——,
k!
k0,1,2,,
0为常数，试确定常数
k
k
解：
因
P{Xk}
a
a
1ae
1,故ae
k0
k
0k!
k0k!
（2）设随机变量X的分布律为:
P{X
k}-
N
k1,2,
N，试确定常数a.
N
N
a
N
1
1
P{X
k}
N
a
—aN
—1a
1
k1
k1
k1
N
N
a.
若每枚导弹命中率为,
发射一枚导弹如果击中敌机则停止，如果
3、
2、设在15只同类型的零件中有2只次品，在其中取3次，每次任取一只，作不放回抽样,表示取出次品的只数.求X的分布律；.
X1
Pk
5、汽车需要通过有4盏红绿信号灯的道路才能到达目的地。
设汽车在每盏红绿灯前通过（即遇到
绿灯）的概率都是；停止前进（即遇到红灯）的概率为，求汽车首次停止前进（即遇到红灯，或到达
目的地）时，已通过的信号灯的分布律.
解：
汽车在停止前进时已通过的信号灯数是一个随机变量，用x表示x可取值为0,1,2,3,4，
又设A的表示事件：
{汽车将通过时第i盏信号灯开绿灯}，n1,2,3,4
由题意P（An）0.6,P（An）0.4_
{x0}表示{已通过的信号灯数是0（即第一盏信号灯是红灯）},故P{x0}P（A1}0.4
{X1}表示{已通过的信号灯数是1（即第一盏信号灯是绿灯，而第二盏是红灯）,故
P{x1}P（AA2）P（A,）P（A2）0.60.4.
同理P{x2}P（A1A2A3）P（A1）P（A2）P（A3）0.620.4
P{x3}P（AAA3A4）P（A）P（A）P（A3）P（入4）0.630.4
P{x4}卩（4宀民人4）P（A1）P（A2）P（A3）P（AJ0.64
0.6k0.4,k0,123
4
0.64,k4
12
于是x的分布律为P{xk}即
x|0
Pk
6、自动生产线调整以后出现废品的机率为p，生产过程中出现废品时立即重新进行调整，求两
次调整之间生产的合格品数的分布律•
x
0
1
2
…k
Pk
p（1
p）p
（1P）2P
（1P）kp
7、一大楼内装有5个同类型的供水设备。
调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为，问在同一时刻：
（1）恰有两个设备被使用的概率是多少P{x2}c2（0.1）2（0.9）30.0729
（2）至少有3个设备被使用的概率是多少
P{x3}C；（0.1）3（0.9）2C；（0.1）40.9C；（0.1）5（0.9）°0.00856
（3）至多有3个设备被使用的概率是多少
P{x3）1P{x3}1[C；（0.1）40.9C5（0.1）5]0.99954
（4）至少有1个设备被使用的概率是多少
P{x1}1C0（0.1）°（0.9）50.40951
8、设事件A在每一次试验中发生的概率为，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，
（1）进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率•
（2）进行7次独立试验，求指示灯发出信号的概率.
解:
（1）P{5次独立试验，指示灯发出信号}=C；（0.3）3（0.7）2C；（0.3）40.7C；（0.3）50.163
（2）P{7次独立试验，指示灯发出信号}
1C0（0.3）°（0.7）7C70.3（0.6）6C；（0.3）2（0.7）50.353
31
9、设某批电子管正品率为，次品率为—，现对这批电子管进行测试，只要测得一个正品，管
44
子就不再继续测试，试求测试次数的分布律
解：
解：
设测试次数为x,则随机变量x的可能取值为：
1,2,3,，当xk时，相当于{前k1次测得的都是次品管子，而第k次测得的是正品管子}的事件，
13
P{Xk}（），（k1,2,）
44
10、每次射击命中率为，必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的命中率，
（1）不小于
（2）不小于
解：
已知n次独立射击中至少击中一次的概率为P1（10.2）n1（0.8）n；
11、电话站为300个用户服务，在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于，试用泊松定理近
似计算，在一小时内有4个用户使用电话的概率•
解：
由二项分布得P{xk}C：
pkqnkP{x4}c3°0（0.01）4（0.99）296
现用泊松定理近似计算，n300,p0.01
P{x4}
3
-0.168
12、某一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为
，在某天的该段时间内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少
（利用泊松定理计算）
解：
设x为发生事故的次数，则P{x
用泊松定理计算，np10000.0001
P{x
卄,
P{x2}1P{x0}
1}
k}Gk）00（0.0001）k（0.9999）1000k
0.1
0.1
0.1e0.10.00468
13设X服从泊松分布，且已知
P{X
1}
P{X
2}，求P{X4}
解:
P{xk}
k
e_k!
，
由P{x
1}P{x
e
2}，得可
2
e
2,0（舍去0,因为
0）P{x4}世
0.0903
（k=1,2,…），的
充分必要条件。
解：
由1
P
kbk0
且
P
k1b
k1
k
1
1b
1
b
14、.求离散型随机变量的分布律为P
bkb1bk1b
1
k0
1口
且b>0
1b
15设服从参数
=1的指数分布，
解：
2
16216（
故
P{12}
在区间（2，3）内取值的
试确
定常
数A，Bo
解:
由条
件p2
3
3
2
即
Ax
Bdx2
Ax
2
1
又
由
xdx1
解
1a
2
B0得
A=
4A
2B1
16.已知连续型随机变
求方程4x
2+4x+
+2=1
0无实根的
概率。
2）0知
1
2
2xedx
1e
2
0
AxB1x3
量的概
率密
度为
（x）
且知
0
概率是在区1
间（1，:
2）内取
值的概率的二倍，
2p1
2
Bdx
知有
丄AB0
2
3
即AxBdx4A2B1
1
1
1
B=
—
3
6
17、设有函数
sinx
0x
F（x）
0
其它
试说明F（x）能否是某随机变量的分布函数
解：
不能
因为当
3
x
时,（x）=sinx<0
2
故在0,上，（x）=sinx不是非负。
2
18、设某人计算一连续型随机变量x的分布函数为：
0,x0
sinx,0x—
F（x）4试问他的计算结果是否正确答：
不正确
x,x1
4
1,x1
19、在区间［0,a］上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标，这个质点落在［0,a］中任意
小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求x的分布函数.
0x0
x
解：
P{021、某种型号的电子管寿命
X（以小时计），具有如下概率密度:
1000
2,x1000
f（x）x现有一大批此种电子管（设各电子管损坏与否相互独立），任取5
0,其它
只，问其中至少有
2只寿命大于1500小时的概率是多少并求
F（x）.
解：
设使用寿命为x小时
F（x）1
1000
x1000x
0,其它
f（x），证明：
对任
22、设随机变量X具有对称的概率密度f（x），即f（x）为偶函数，f（x）
意a0有：
1a
（1）F（a）1F（a）」（x）dx;
（2）P{|X|a}2[1F（a）]
（3）P{|X|a}2F（a）1
a
证明：
（1）F（a）f（x）dx，令xx，
aaa
F（a）f（x）dxf（x）d（x）f（x）dxf（x）dxf（x）dx1F（a）a
1a11a11
又因为：
f（x）dxf（x）dx[F（a）F（a）]
2022a22
111111
11[F（a）（1F（a））]2【2F（a）1]-F（a）1F（a）
（2）P{|x|a}2[1F（a）]
证明：
P{|x|
a}1P{|x|
a}1P{a
xa}1
[F（a）F（a）]
1
[F（a）
[1F（a）]]1
F（a）1F（a）
22F（a）
2[1F（a）]
⑶P{|
x|a}
2F（a）1
证明：
P{|x|
a}P{ax
a}P{ax
a}F（a）
F（a）
F（a）[1F（a）]2F（a）1
f（x）
x
1e5,x0
5
0,其它
某顾客在窗口等待服务，若超过
到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,
10分钟，他就离开，他一个月要
写出Y的分布律，并求P{Y1}.
解：
P{Yk}C5ke2k（1e2）5k,k0,k,1,2,3,4,5
P{Y1}0.5166
24、设X~N（3,22），求⑴P{2X5}
（2）P{2X7}
⑶P{|X|2}
⑷P{X3}⑸确定c使得P{Xc}P{Xc}
解：
⑴P{2x5}0.5328⑵0.9710（3）0.6977
⑷0.5（5）c3
25、一个工厂生产的电子管寿命X（以小时计），服从参数160，的正态分布，若要求
P{120X200}0.80，允许最大为多少
解
P{120x20C}
-.20016012016040
—（）—（）—（—）
4040
_（——）2_（—）1
^（4°）10.80Z（40）0.9401.28
31.25，故允许最大为
26、公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在米以下设计的，设男子身高x服从
2
170cm,6cm的正态分布，即X~N（170,6）问车门的高度应如何确定
解：
设车门高度为hem,按设计要求P{xh}0.01，或P{xh}0.99，
因为x~N（170,62），故P{xh}F（h）Z（h170）0.99
6
查表得1（2.33）0.99010.99h1702.33即h184cm
_6
设计车门高度为184厘米时，可使男子与车门碰头的机会不超过。
X
0
1
2
3
4
5
p
丄
1
1
丄
2
1
Pi
12
6
3
12
9
9
27、设随机变量X的分布律为
求Y2（X2）2的分布律.
解:
28、设X~N（0,1），求
（1）Y
解：
⑴设x~N（0.1）,f（x）
X2
T
Y
0
2
8
18
1
1
11
1
Pi
3
4
36
9
⑵丫
1的概率密度
的概率密度
2X2
Xe
（3）求丫|X|的概率密度
y'ex0,xIny,x1
（y）
1
f[lny],0y
y
其它
（y）
（lny）2
e
1,0yy
其它
2x21
当y1时,
Y的分布函数,
FyW）
P{Y
y}
P{2x2
y}P{x2
P{
y1
2
1
—e
y1
2i-2
x2
ydx
-2
\-1X2
02eTdx,
当y1时，F,y）
0,Y的概率密度
（y）a（y）
1
0
1
（y
0
—e
1）
⑶丫|x|,y
|x|
0,当
0时,
Y的分布函数
Fy（v）p{y
y}
P{|x|
y}P{yxy}
y
f（x）dx
Cx2
2y2
edx
20
0时,
FyW）
0,Y的概率密度
（y）F（y）
2f（y）,y0
0,y0
0时,
FyW）
P{|x|y}0,
（y）0
（y）
2
y
T,y
29、设电流
I是一个随机变量,
其上消耗的功率为
解：
由题意I
2I
对于
0,
由于
它均匀分布在
9安~11安之间,
若此电流通过2欧姆的电阻，在
2
W2I，求W的概率密度
的概率密度为f（x）2,9
x11
2x2,
Fw（w）
所以当
其它
x
x
11时，162w
P{w
I
}P{
0，
242
f（x）dx
w0时,
其分布函数Fw（w）
故w的概率密度f（w）Fw（w）
1w
f（w）^2w[fG2）f（
I"，
2、2w
一1,162w242
4：
2w
其它
（0，a）上均匀分布，
30、设正方体的棱长为随机变量，且求正方体体积的概率密度。
（其中解：
体体积=3
正方
y=x3在（0，a）上的反函数x
h（y）
i
y3
h（y）
a3）
31.设随
的概率密
2
x21
0,x
x0
=ln的概率密度。
的反函数x=h（y）=ey
变化时，y在（
h（y）
ey,
（y）
e
于是的
32.已知某种产品的质量指标服格，问m取多大时，才能使产品分布函数①（x）的值：
①=,①=,①
从N（,2）,并规定||m时产品合
的合格率达到95%。
已知标准正态
=,①=.
解：
P{||m}=，此式等价于P{m+m}=
因为服从N（,2）,故
m、/mm、
（）（）2（）10.95
1.96得m=
故m取时才能使产品合格率达到95%。
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