押题6 解析几何高考数学真题回顾与精准押题含答案.docx

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押题6解析几何高考数学真题回顾与精准押题含答案

押题6解析几何

【高考考纲】

1.求直线的倾斜角、斜率及直线方程

2.根据两直线平行或垂直求参数的值

3.圆的几何性质的应用

4.求圆的方程

5.利用位置关系解决参数问题

6.利用位置关系解决轨迹等综合问题

7.求圆锥曲线的标准方程、离心率、双曲线的渐近线方程

8.考查圆锥曲线的定义、性质

9.考查弦长问题

10.求直线的方程或圆锥曲线的方程

11.定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横（纵）坐标等的定值问题．

12.圆锥曲线中的最值、范围问题大致可分为两类：

一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．

13.圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：

（1）探索点是否存在．

（2）探索曲线是否存在．（3）探索命题是否成立．涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题.

【真题感悟】

例1．（2018·全国卷Ⅲ，6）直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（）

A．　　　　　　　　B．

C．D．

【答案】A

【解析】由A（－2,0），B（0，－2），则三角形ABP的底边|AB|＝2，圆心（2,0）到直线x＋y＋2＝0的距离为d＝＝2，又因为半径为r＝，所以点P到直线x＋y＋2＝0的距离的最大值为2＋＝3，最小值为2－＝，则三角形ABP的面积的最大值为Smax＝×2×3＝6，最小值为Smin＝×2×＝2，故△ABP面积的取值范围为[2,6]．

【变式探究】（2018·北京卷，7）在平面直角坐标系中，记d为点

P（cosθ，sinθ）到直线x－my－2＝0的距离，当θ，m变化时，d的最大值为（C）

A．1　　　B．2　　　　

C．3　　　D．4

【答案】C

方法二：

由已知及sin2θ＋cos2θ＝1，点P（cosθ，sinθ）在圆x2＋y2＝1上．

又直线x－my－2＝0过定点（2,0），

当d取得最大值时，即圆x2＋y2＝1上的动点P到动直线x－my－2＝0距离最大，

此时圆x2＋y2＝1的圆心（0,0）到动直线x－my－2＝0距离最大，数形结合，可知动直线为x＝2时，圆心（0,0）到动直线x－my－2＝0距离最大值为2，

所以圆x2＋y2＝1上的动点P到动直线x－my－2＝0的距离最大值为2＋1＝3，即d的最大值为3.

【举一反三】（2018·全国卷Ⅱ，19）设抛物线C：

y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k（k>0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.

（1）求l的方程．

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

【解析】

（1）由题意得F（1,0），l的方程为y＝k（x－1）（k＞0）．

设A（x1，y1），B（x2，y2），由得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0.

Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝.

所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝（x1＋1）＋（x2＋1）＝.

由题设知＝8，解得k＝－1（舍去），k＝1.

因此l的方程为y＝x－1.

（2）由

（1）得AB的中点坐标为（3,2），

所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－（x－3），即y＝－x＋5.

设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），

则

解得或

因此所求圆的方程为（x－3）2＋（y－2）2＝16或（x－11）2＋（y＋6）2＝144.

【名师点睛】

1．要注意几种直线方程的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．

2.求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究．

3.求圆的方程有两类方法：

（1）几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的半径和圆心，得出圆的方程；

（2）代数法，求圆的方程必须具备三个独立条件，利用“待定系数法”求出圆心和半径．

4.直线（圆）与圆位置关系问题的求解思路

（1）研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．

（2）利用位置关系求过圆外一定点的切线方程的基本思路；

首先将直线方程设为点斜式，然后利用圆心到直线的距离等于半径求斜率，最后若求得的斜率只有一个，则存在一条过切点与x轴垂直的切线．

5.弦长的求解方法

（1）根据半径，弦心距，弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系R2＝d2＋（其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离）．

（2）根据公式：

l＝|x1－x2|求解（其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率）．

（2）设O为原点，QM―→＝λQO―→，QN―→＝μQO―→，求证：

＋为定值．

【解析】将点P代入C的方程得4＝2p，即p＝2，

所以抛物线C的方程为y2＝4x，

（1）方法一（代数法）：

显然l斜率存在，设为k，则l：

y＝kx＋1，

由消去y得k2x2＋（2k－4）x＋1＝0，（*）

由已知，方程（*）有两个不同的根，且1不是方程的根（因为PA，PB都与y轴有交点），

所以Δ＝－16k＋16>0且k2＋（2k－4）＋1≠0，

即k<1，且k≠－3，且k≠1，

所以k<1，且k≠－3，

即直线l斜率的取值范围是（－∞，－3）∪（－3,1）．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

直线PA方程为y－2＝（x－1），

令x＝0得y＝－＋2，

即点M为（0，－＋2），

所以QM―→＝（0，－＋1），又QO―→＝（0，－1），QM―→＝λQO―→，

所以（0，－＋1）＝λ（0，－1），

所以λ＝－1＝，＝，

又点A（x1，y1）在直线l：

y＝kx＋1上，

所以＝＝＝－，

同理＝－，

由

（1）中方程（*）及根与系数的关系得，x1＋x2＝－，x1x2＝，

所以＋＝－＋－＝－＝－·＝－·＝＝2，即＋为定值2.

【名师点睛】

1．过定点问题的两大类型及解法

（1）动直线l过定点问题．解法：

设动直线方程（斜率存在）为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k（x＋m），故动直线过定点（－m,0）．

（2）动曲线C过定点问题．解法：

引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．

2．求解定值问题的三个步骤

（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；

（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；

（3）得出结论．

3．与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法

（1）数形结合法：

根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解．

（2）构建函数法：

先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：

有时需先换元后再求最值）．

4．解决圆锥曲线中范围问题的方法

一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化．

【方法技巧】存在性问题求解的思路及策略

（1）思路：

先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．

（2）策略：

①当条件和结论不唯一时要分类讨论；

②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；

③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．

【变式探究】（2018·天津卷，19）设椭圆＋＝1（a>b>0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|＝.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l：

y＝kx（k<0）与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．

【解析】（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得＝，又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b.又|AB|＝＝，

从而a＝3，b＝2.

所以，椭圆的方程为＋＝1.

（II）设点P的坐标为（x1，y1），点M的坐标为（x2，y2），由题意，x2>x1>0，点Q的坐标为（－x1，－y1）．

由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，可得|PM|＝2|PQ|，

从而x2－x1＝2[x1－（－x1）]，即x2＝5x1.

易知直线AB的方程为2x＋3y＝6，由方程组消去y，可得x2＝.

由方程组消去y，可得x1＝.

由x2＝5x1，可得＝5（3k＋2），两边平方，整理得18k2＋25k＋8＝0，解得k＝－，或k＝－.

当k＝－时，x2＝－9<0，不合题意，舍去；当k＝－时，x2＝12，x1＝，符合题意．所以，k的值为－.

【举一反三】（2018·天津卷，19）设椭圆＋＝1（a>b>0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，点A的坐标为（b,0），且|FB|·|AB|＝6.

（Ⅰ）求椭圆的方程．

（Ⅱ）设直线l：

y＝kx（k>0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若＝sin∠AOQ（O为原点），求k的值．

【解析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由已知得＝，又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b.由已知可得，|FB|＝a，|AB|＝b，

由|FB|·|AB|＝6，可得ab＝6，从而a＝3，b＝2.

所以，椭圆的方程为＋＝1.

（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故|PQ|sin∠AOQ＝y1－y2.

又因为|AQ|＝，而∠OAB＝，故|AQ|＝y2.

由＝sin∠AOQ，可得5y1＝9y2.

由方程组消去x，可得y1＝.易知直线AB的方程为x＋y－2＝0，由方程组

消去x，可得y2＝.由5y1＝9y2，

可得5（k＋1）＝3，两边平方，整理得56k2－50k＋11＝0，解得k＝或k＝.所以，k的值为或.

【变式探究】（2018·全国卷Ⅲ，20）已知斜率为k的直线l与椭圆C：

＋＝1交于A，B两点．线段AB的中点为M.

（1）证明：

k<－；

（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP―→＋FA―→＋FB―→＝0.证明：

，，成等差数列，并求该数列的公差．

【解析】

（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则＋＝1，＋＝1.

两式相减，并由＝k得＋·k＝0.

由题设知＝1，＝m，于是k＝－.①

由题设得0

（2）由题意得F（1,0），设P（x3，y3），则（x3－1，y3）＋（x1－1，y1）＋（x2－1，y2）＝（0,0）．

由

（1）及题设得x3＝3－（x1＋x2）＝1，y3＝－（y1＋y2）＝－2m<0.

又点P在C上，所以m＝，从而P，|FP―→|＝.

于是|FA―→|＝＝

＝2－.

同理|FB―→|＝2－.

所以|FA―→|＋|FB―→|＝4－（x1＋x2）＝3.

故2|FP―→|＝|FA―→|＋|FB―→|，即|FA―→|，|FP―→|，|FB―→|成等差数列．

【黄金押题】

1．若直线l1：

x＋ay＋6＝0与l2：

（a－2）x＋3x＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为（　　）

A.B．4

C.D．2

【解析】　由l1∥l2，得＝≠，解得a＝－1，

所以l1与l2的方程分别为l1：

x－y＋6＝0，

l2：

x－y＋＝0，

所以l1与l2之间的距离d＝＝.

【答案】